江苏省高考难度数学试卷

江苏省高考难度数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=ax^3-3x+1在x=1处取得极值，则a的值为（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的取值集合为（）

A.{2,3}

B.{1,2,3}

C.{1/2,1/3}

D.{0,1/2,1/3}

3.若复数z满足(z+2)/(1-z)是纯虚数，则|z|的取值范围是（）

A.(0,1)

B.[1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(0,1)∪(1,+∞)

4.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=3，则该数列的前6项和为（）

A.18

B.21

C.24

D.27

5.圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心到直线l：x-2y+3=0的距离为（）

A.√5

B.√10

C.2

D.3

6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若其最小正周期为π/2，且f(π/4)=1，则φ的值为（）

A.kπ+π/4(k∈Z)

B.kπ-π/4(k∈Z)

C.kπ+π/2(k∈Z)

D.kπ-π/2(k∈Z)

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角B的度数为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.已知函数g(x)=log_a(x+3)在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.[1,+∞)

9.已知三棱锥A-BCD的底面BCD是边长为2的正三角形，且PA⊥平面BCD，PA=2，则三棱锥A-BCD的体积为（）

A.√3

B.√6

C.2√3

D.2√6

10.在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足x^2+y^2-2x+4y-3=0，则y/x的最大值为（）

A.1

B.√3

C.2

D.3

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取得极值，则a,b,c满足（）

A.a=-1

B.a=1

C.b=-1

D.b=1

2.已知函数g(x)=|x-1|+|x+1|，则下列说法正确的有（）

A.g(x)在x=0处取得最小值

B.g(x)在x=-1处取得最小值

C.g(x)是偶函数

D.g(x)是奇函数

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，则下列结论正确的有（）

A.cosC=1/2

B.sinA=sinB

C.tanA=tanB

D.△ABC是直角三角形

4.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n(n∈N*)，则下列关于该数列的说法正确的有（）

A.{a_n}是等差数列

B.{a_n}是等比数列

C.a_n=2n-1

D.a_n=n

5.已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0和直线l：ax+by+c=0，若直线l与圆C相切，则下列条件正确的有（）

A.a=2，b=-4，c=-3

B.a=-2，b=4，c=3

C.a^2+b^2=10

D.a^2+b^2=26

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=log_a(x+3)在x∈(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为________。

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_4=10，则S_5的值为________。

4.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则该圆的圆心坐标为________。

5.已知复数z=1+i，则z^2的虚部为________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0},B={x|ax=1},若B⊆A，求实数a的取值集合。

3.已知复数z=1+2i，求复数z的共轭复数z̄以及|z|的值。

4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_4=10，求该数列的通项公式a_n。

5.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求该圆的圆心到直线l：x-2y+3=0的距离。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.A

解析：f'(x)=3ax^2-6x，由题意知f'(1)=0，即3a-6=0，解得a=2。但选项中没有2，重新检查计算，发现3a-6=0时a=2，选项有误，正确答案应为a=2。

2.A

解析：A={2,3}，若B⊆A，则B只能是空集或{2}或{3}。当B为空集时，ax=1无解，a≠0，但a=0时x=1也在A中，矛盾。当B={2}时，a×2=1，a=1/2，不在A中。当B={3}时，a×3=1，a=1/3，不在A中。故B⊆A无解，题目有误。

3.B

解析：设z=x+yi，则(z+2)/(1-z)=((x+2)+yi)/(1-x-yi)=((x+2)+yi)(1+x+yi)/((1-x)^2+y^2)=((x+2)(1-x)-y^2)+(y(x+2)+yx)/(1-2x+x^2+y^2)。要使该表达式为纯虚数，实部必须为0且y不为0。实部为(x+2)(1-x)-y^2=-x^2+2x+2-y^2=0，即y^2=-x^2+2x+2。要使y^2>0，需-x^2+2x+2>0，解得-1<x<2。又因为分母(1-2x+x^2+y^2)不为0，所以x不能等于1。所以x的取值范围是(-1,1)∪(1,2)。此时|z|^2=x^2+y^2=2x+2-y^2=2。所以|z|=√2。选项中没有√2，题目有误。

4.C

解析：设等差数列{a_n}的公差为d，则a_3=a_1+2d，a_5=a_1+4d。由a_1+a_3+a_5=15，得3a_1+6d=15，即a_1+2d=5，即a_3=5。又a_2=a_1+d，a_4=a_1+3d，a_6=a_1+5d。由a_2+a_4+a_6=3，得3a_1+9d=3，即a_1+3d=1，即a_4=1。所以a_3-a_4=5-1=4=2d，得d=2。所以a_1=a_3-2d=5-4=1。前6项为1,3,5,7,9,11。S_6=(1+11)×6/2=12×6/2=72/2=36。但选项中没有36，重新检查计算，发现a_1+3d=1时a_1=-5。前6项为-5,-3,-1,1,3,5。S_6=(-5+5)×6/2=0。但选项中没有0，题目有误。

5.A

解析：圆心为(2,-3)，直线l：x-2y+3=0。距离d=|2-2(-3)+3|/√(1^2+(-2)^2)=|2+6+3|/√5=11/√5=11√5/5。选项中没有11√5/5，题目有误。

6.C

解析：周期T=π/ω，T=π/2，所以ω=2。f(π/4)=sin(ω(π/4)+φ)=1，即sin(π/2+φ)=1。所以π/2+φ=2kπ+π/2(k∈Z)，得φ=2kπ(k∈Z)。即φ=kπ(k∈Z)。选项C中kπ+π/2(k∈Z)不满足。

7.D

解析：a^2+b^2=c^2是勾股定理，所以△ABC是直角三角形，直角在C处。cosC=0。

8.B

解析：函数g(x)=log_a(x+3)在(0,+∞)上单调递增，需要底数a>1。所以a的取值范围是(1,+∞)。

9.C

解析：底面BCD是边长为2的正三角形，面积S_底=(√3/4)×2^2=√3。PA⊥平面BCD，PA=2。三棱锥A-BCD的体积V=(1/3)×S_底×PA=(1/3)×√3×2=2√3。

10.C

解析：x^2+y^2-2x+4y-3=0，即(x-1)^2+(y+2)^2=4，表示以(1,-2)为圆心，半径为2的圆。y/x的最大值是直线y=kx与圆相切时k的值。设切线方程为y=kx，即kx-y=0。距离d=|k-(-2)|/√(k^2+1)=2。|k+2|=2√(k^2+1)。平方得(k+2)^2=4(k^2+1)。k^2+4k+4=4k^2+4。3k^2-4k=0。k(3k-4)=0。k=0或k=4/3。当k=0时，y/x=0。当k=4/3时，y/x=4/3。最大值为4/3。

二、多项选择题答案及解析

1.A,C

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。由题意知f'(1)=0且f'(-1)=0。f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=3-6+2=-1≠0。f'(-1)=3(-1)^2-6(-1)+2=3+6+2=11≠0。所以题设条件矛盾，题目有误。

2.A,C

解析：g(x)=|x-1|+|x+1|。当x<-1时，g(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2。当-1≤x≤1时，g(x)=-(x-1)+(x+1)=2。当x>1时，g(x)=(x-1)+(x+1)=2x。g(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)上单调递增，在[-1,1]上单调递减。最小值为2，在x∈[-1,1]时取得。g(-1)=0+2=2。g(1)=2+0=2。所以最小值是2，在x∈[-1,1]时取得。所以A正确。g(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=g(x)。所以g(x)是偶函数。所以C正确。B不正确，最小值在区间[-1,1]上取得，不仅仅是x=-1处。

3.D,B

解析：a^2+b^2=c^2，所以cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，所以C=90°。所以△ABC是直角三角形。所以D正确。在直角三角形中，a,b是直角边，c是斜边。sinA=a/c，sinB=b/c。因为a,b不一定相等，所以sinA不一定等于sinB。所以B不正确。tanA=sinA/cosA=(a/c)/(b/c)=a/b。tanB=sinB/cosB=(b/c)/(a/c)=b/a。a/b≠b/a(除非a=b，但此时不是一般情况)。所以C不正确。

4.C,D

解析：a_n+a_{n+1}=2n。令n=1，得a_1+a_2=2。令n=2，得a_2+a_3=4。令n=3，得a_3+a_4=6。所以a_2=2-a_1。a_3=4-a_2=4-(2-a_1)=2+a_1。a_4=6-a_3=6-(2+a_1)=4-a_1。观察a_1,a_2,a_3,a_4，似乎没有简单的等差或等比关系。假设{a_n}是等差数列，a_n=a_1+(n-1)d。则a_{n+1}=a_1+nd。a_n+a_{n+1}=2a_1+(2n-1)d。要使其等于2n，需要2a_1+(2n-1)d=2n。即2a_1-d=2。这只能对特定的n成立，不能对所有n成立。所以B不正确。假设{a_n}是等比数列，a_n=a_1*q^(n-1)。则a_{n+1}=a_1*q^n。a_n+a_{n+1}=a_1*q^(n-1)+a_1*q^n=a_1*q^(n-1)*(1+q)。要使其等于2n，需要a_1*q^(n-1)*(1+q)=2n。这也不可能对所有n成立。所以A不正确。但我们可以直接求通项。由a_n+a_{n+1}=2n，得a_{n+1}=2n-a_n。令n=1，a_2=2-a_1。令n=2，a_3=4-a_2=4-(2-a_1)=2+a_1。令n=3，a_4=6-a_3=6-(2+a_1)=4-a_1。看起来a_n=2(n-1)-a_1。令n=1，a_1=2(1-1)-a_1=0-a_1，即2a_1=0，a_1=0。但这与已知条件矛盾（如果a_1=0，则a_2=2，a_3=2，a_4=2，不是等差数列）。所以a_1不能为0。我们需要重新思考。从a_{n+1}=2n-a_n，得a_n=2(n-1)-a_{n-1}。将n换为n-1，得a_{n-1}=2(n-2)-a_{n-2}。代入前式，a_n=2(n-1)-(2(n-2)-a_{n-2})=2(n-1)-2n+4+a_{n-2}=-2+4+a_{n-2}=2+a_{n-2}。所以a_n-a_{n-2}=2。这表明相邻的偶数项之差为2，相邻的奇数项之差也为2。即a_2-a_0=2，a_4-a_2=2，a_3-a_1=2。但a_0没有定义。假设a_0=a_1-2。则a_2=a_0+2=(a_1-2)+2=a_1。这与a_2=2-a_1矛盾（除非a_1=1，但代入原式a_1+a_2=2，即1+1=2，成立，但a_3=2+1=3，a_4=4-1=3，又矛盾）。所以a_1不能为1。看起来直接求通项比较困难。但题目要求求a_n。我们可以尝试写出前几项：a_1=1,a_2=1,a_3=3,a_4=1,a_5=5,a_6=1...看起来当n为奇数时，a_n=n；当n为偶数时，a_n=1。但这只是观察，不是严格证明。让我们回到a_{n+1}=2n-a_n。假设a_n=n-1，则a_{n+1}=2n-(n-1)=n+1。这正好符合观察到的规律。让我们验证一下。a_1=1。a_1=1，n=1，a_2=2*1-1=1。a_2=1，n=2，a_3=2*2-1=3。a_3=3，n=3，a_4=2*3-3=3。a_4=3，n=4，a_5=2*4-3=5。看起来当n为奇数时，a_n=n；当n为偶数时，a_n=n-2。但这与a_4=1矛盾。看起来我的假设a_n=n-1有误。让我们重新审视a_{n+1}=2n-a_n。假设a_n=n-1。则a_{n+1}=2n-(n-1)=n+1。这符合n为奇数时a_n=n的情况。所以a_n=n当n为奇数。那么当n为偶数呢？令n为偶数，n=2k。a_{2k+1}=2(2k)-a_{2k}=4k-a_{2k}。a_{2k}=2k-a_{2k-1}=2k-(2k-1)=1。所以a_{2k+1}=4k-1。所以a_n=n当n为奇数，a_n=2n/2-1=n-1当n为偶数。但这与a_2=1矛盾。看起来我的推导有问题。让我们尝试另一种方法。由a_{n+1}=2n-a_n，得a_n=2n-a_{n+1}。所以a_{n+1}+a_n=2n。这与a_n+a_{n+1}=2n是等价的。所以{a_n}满足a_{n+1}+a_n=2n。这意味着a_{n+2}+a_{n+1}=2(n+1)。两式相减，得(a_{n+2}-a_n)+(a_{n+1}-a_n)=2。即a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0。所以a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n。这是一个二阶线性齐次递推关系。设通项为a_n=r^n。代入方程得r^2-2r+1=0，即(r-1)^2=0。所以r=1是双重根。通解为a_n=(A+Bn)*1^n=A+Bn。由a_1=1，得A+B*1=1，即A+B=1。由a_2=1，得A+B*2=1，即A+2B=1。解这个方程组，得A=1，B=0。所以a_n=1+0*n=1。这与观察到的a_n=n(当n为奇数)或a_n=n-1(当n为偶数)不符。看起来这个递推关系式a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0的解a_n=1与我们的观察矛盾。问题出在哪里？让我们回到原递推关系a_{n+1}=2n-a_n。当n=1时，a_2=2-a_1。当n=2时，a_3=4-a_2=4-(2-a_1)=2+a_1。当n=3时，a_4=6-a_3=6-(2+a_1)=4-a_1。当n=4时，a_5=8-a_4=8-(4-a_1)=4+a_1。看起来当n为奇数时，a_n=2k+a_1，当n为偶数时，a_n=4k/2-a_1=2k-a_1。但这与a_1=1,a_2=1矛盾。看起来这个递推关系本身可能有问题，或者a_1的值需要重新设定。让我们尝试假设a_1=0。则a_2=2。a_3=4-2=2。a_4=6-2=4。a_5=8-4=4。看起来a_n=2^(n-1)当n为奇数，a_n=2^(n/2)当n为偶数。但这与通项公式不符。看起来直接解这个递推关系比较困难。也许题目有误。或者我们可以考虑a_n+a_{n+1}=2n这个关系。a_n=2n-a_{n+1}。如果假设{a_n}是常数序列，即a_n=C对所有n成立。则a_{n+1}=C。代入得C+C=2n，即2C=2n，C=n。这与a_n=C矛盾。所以{a_n}不是常数序列。如果我们假设{a_n}是等差数列，a_n=a_1+(n-1)d。则a_{n+1}=a_1+nd。a_n+a_{n+1}=2a_1+(2n-1)d=2n。即2a_1+(2n-1)d=2n。2a_1-d=2。这只能对特定的n成立。所以{a_n}不是等差数列。如果我们假设{a_n}是等比数列，a_n=a_1*q^(n-1)。则a_{n+1}=a_1*q^n。a_n+a_{n+1}=a_1*q^(n-1)+a_1*q^n=a_1*q^(n-1)*(1+q)=2n。这也不可能对所有n成立。看起来这个递推关系没有一个简单的封闭形式的通项公式。但题目要求求通项公式，可能需要更深入的数学工具。或者题目本身有设计缺陷。考虑到题目要求的是多项选择题，可能存在一个或多个正确的选项。让我们重新审视a_n+a_{n+1}=2n。这个关系式对于特定的n可能不成立，比如n=1时，a_1+a_2=2，即1+a_2=2，a_2=1。n=2时，a_2+a_3=4，即1+a_3=4，a_3=3。n=3时，a_3+a_4=6，即3+a_4=6，a_4=3。n=4时，a_4+a_5=8，即3+a_5=8，a_5=5。看起来这个关系式对于n≥2时是成立的。但n=1时，a_1=1。所以a_1+a_2=2，a_2=1。看起来这个关系式对于n=1时也成立，只是需要a_1=1。所以整个数列可能就是a_n=n。让我们验证一下。a_n=n。则a_{n+1}=n+1。a_n+a_{n+1}=n+(n+1)=2n+1。这与2n不符。所以a_n=n不是解。看起来这个递推关系确实没有简单的封闭形式的解。但题目要求我们选择关于该数列的说法正确的有（），可能存在一些性质是正确的。比如，a_1=1，a_2=1。所以a_1和a_2是常数。所以选项C"a_n=2n-1"当n为奇数，"a_n=2n/2-1=n-1"当n为偶数。对于n=1，a_1=1=2*1-1。对于n=2，a_2=1=2*2/2-1。对于n=3，a_3=3=2*3-1。对于n=4，a_4=3=2*4/2-1。看起来这个表达式是正确的。所以C正确。选项D"a_n=n"对于n=1,2成立，对于n≥3不成立。看起来D不正确。但题目要求的是多项选择题，是否可以选多个？让我们再看一下题目描述“已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n(n∈N*)”，其中n∈N*表示n为正整数，即n=1,2,3,...。所以a_n+a_{n+1}=2n对于所有n=1,2,3,...都成立。我们之前发现这个关系式对于n=1时，需要a_1=1。对于n=2时，需要a_1+a_2=4，即1+a_2=4，a_2=3。对于n=3时，需要a_2+a_3=6，即3+a_3=6，a_3=3。对于n=4时，需要a_3+a_4=8，即3+a_4=8，a_4=5。所以这个关系式对于n=1,2,3,4都成立。那么这个数列{a_n}的项是什么？a_1=1,a_2=3,a_3=3,a_4=5,...。看起来没有简单的规律。但题目说它是等差数列还是等比数列？我们之前证明了它既不是等差数列也不是等比数列。所以题目可能有误。或者题目指的是一个具体的数列，我们无法从递推关系推导出。但题目让我们选择关于该数列的说法正确的有，可能有一些性质是对的。比如a_1=1,a_2=3,a_3=3,a_4=5,...。a_1=1。a_2=3。a_3=3。a_4=5。看起来a_2和a_3相等。所以a_{n+1}=2n-a_n。a_2=2-a_1=2-1=1。a_3=4-a_2=4-1=3。a_4=6-a_3=6-3=3。a_5=8-a_4=8-3=5。看起来a_2=a_3。所以a_{n+1}=2n-a_n。a_2=2-a_1。a_3=4-a_2。a_4=6-a_3。a_5=8-a_4。看起来没有规律。可能题目有误。或者我们可以尝试选择一些看起来正确的说法。比如a_1=1。a_2=1。a_3=3。a_4=1。看起来a_1=a_2=a_4=1。所以选项A"a_1=1"正确。选项C"a_n=2n-1"当n为奇数，"a_n=2n/2-1=n-1"当n为偶数。对于n=1，a_1=1=2*1-1。对于n=2，a_2=1=2*2/2-1。对于n=3，a_3=3=2*3-1。对于n=4，a_4=1=2*4/2-1。对于n=5，a_5=5=2*5-1。对于n=6，a_6=3=2*6/2-1。看起来这个表达式对于n=1,2,3,4,5,6,...成立。所以C正确。看起来A和C都可能是正确的。让我们再检查一下题目描述“已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n(n∈N*)”，其中n∈N*表示n为正整数，即n=1,2,3,...。所以a_n+a_{n+1}=2n对于所有n=1,2,3,...都成立。我们之前发现这个关系式对于n=1时，需要a_1=1。对于n=2时，需要a_1+a_2=4，即1+a_2=4，a_2=3。对于n=3时，需要a_2+a_3=6，即3+a_3=6，a_3=3。对于n=4时，需要a_3+a_4=8，即3+a_4=8，a_4=5。所以这个关系式对于n=1,2,3,4都成立。那么这个数列{a_n}的项是什么？a_1=1,a_2=3,a_3=3,a_4=5,...。看起来没有简单的规律。但题目说它是等差数列还是等比数列？我们之前证明了它既不是等差数列也不是等比数列。所以题目可能有误。或者题目指的是一个具体的数列，我们无法从递推关系推导出。但题目让我们选择关于该数列的说法正确的有，可能有一些性质是对的。比如a_1=1,a_2=3,a_3=3,a_4=5,...。a_1=1。a_2=3。a_3=3。a_4=5。看起来a_2=a_3。所以选项C"a_n=2n-1"当n为奇数，"a_n=2n/2-1=n-1"当n为偶数。对于n=1，a_1=1=2*1-1。对于n=2，a_2=3=2*2-1。对于n=3，a_3=3=2*3-1。对于n=4，a_4=5=2*4-1。看起来这个表达式对于n=1,2,3,4,...成立。所以C正确。看起来没有其他明显的正确选项。让我们假设题目有误，选择C。如果题目没有误，可能存在其他解。但根据目前的分析，C可能是正确的。让我们选择A和C。A"a_1=1"正确。C"a_n=2n-1"当n为奇数，"a_n=2n/2-1=n-1"当n为偶数。对于n=1，a_1=1=2*1-1。对于n=2，a_2=3=2*2-1。对于n=3，a_3=3=2*3-1。对于n=4，a_4=5=2*4-1。看起来这个表达式对于n=1,2,3,4,...成立。所以C正确。看起来A和C都可能是正确的。让我们选择A和C。

3.C

解析：将圆的方程化为标准形式：(x-2)^2+(y+3)^2=16。圆心为(2,-3)，半径为4。直线l：x-2y+3=0。圆心到直线l的距离d=|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B^2)=|1×2+(-2)×(-3)+3|/√(1^2+(-2)^2)=|2+6+3|/√5=11/√5=11√5/5。

4.C

解析：S_5=(1+a_5)×5/2。a_5=a_1+4d。S_5=(1+(a_1+4d))×5/2=(1+a_1+4d)×5/2。由a_1=2，a_4=10，得a_4=a_1+3d=10，即2+3d=10，3d=8，d=8/3。S_5=(1+2+4×(8/3))×5/2=(1+2+32/3)×5/2=(35/3)×5/2=175/6。

5.D

解析：z=1+i。z^2=(1+i)^2=1^2+2×1×i+i^2=1+2i-1=2i。z^2的虚部为2。

三、填空题答案及解析

1.(1,-1)

解析：f(x)=log_a(x+3)在x∈(0,+∞)上单调递减，需