【数学】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期期中联考试题（解析版）

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题选择题部分一、单项选择题.1.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：C.2.已知，是上半圆上的两点（不包括端点），那么与的大小关系为（）A. B. C. D.不能确定【答案】A【解析】如图所示，由导数的几何意义可知与分别表示在上半圆上两点，，作切线的切线斜率，由半圆可知，当时，切线斜率，当时，切线斜率，即，故选：A.3.已知等比数列的前项积为，且，那么数列的公比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知数列为等比数列，设其公比为，则，即，则，所以，解得，又，所以，则，故选：B.4.若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知直线与直线平行，则，即，此时直线与直线，即满足平行，则两直线间距离，故选：D.5.如图是杭州地铁一号线的运行线路图的一部分，现有甲、乙、丙、丁4名游客乘坐湘湖至萧山国际机场方向的地铁一号线去西湖游玩，已知定安路站、龙翔桥站、凤起路站均可到达西湖景区，每名游客只在其中一个车站下车，且每个车站至少有一名游客下车，已知甲在定安路站下车，那么这4名游客下车的不同方案有（）种.A.24 B.20 C.12 D.6【答案】C【解析】因为每个车站至少有一名游客下车，所以要将乙、丙、丁名游客分成组．从名游客中选个人为一组，剩下个人为一组，则分组方法有种．

将分好的组全排列，安排到龙翔桥站和风起路站这个车站，则排列方法有种．

前面分组有种方法，排列有种方法，所以这名游客下车的不同方案有种．又因为甲已经确定在定安路站下车，这是一种确定的情况，不需要参与组合排列计算，所以最终的方案数就是种（乘是因为甲在定安路站下车后，剩下人分组排列后可以看作是另外两个站的人员分配情况，而对于这两个站的顺序有种情况）．

这名游客下车的不同方案有12种．故选：C．6.已知，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，解得，故选：B．7.已知数列的通项公式为，则使数列的前项和满足的的（）A.最小值为49 B.最大值为49 C.最小值为50 D.最大值为50【答案】C【解析】，故，，解得，解得，所以的最小值为50.故选：C8.在正方体中，，，在平面上存在一点，使得，则点的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】D【解析】连接交于，连接，设正方体的棱长为，则，由，，可得，所以，所以，因为，所以空间中的点的轨迹是以为旋转轴的圆锥，圆锥在平面内的两条母线中，其中母线与的延长线所成的角的正切值为，所以，所以，所以，所以，又平面，平面，所以截面与圆锥的曲面的交线为抛物线，所以点的轨迹为抛物线.故选：D.二、多项选择题.9.下列说法正确的有（）A.若平面的法向量，，则点平面B.若平面的法向量，，则点到平面的距离为C.若平面，的法向量分别为，，则两平面的夹角的余弦值为D.空间中三个点，，，则为钝角【答案】ABC【解析】对于A，由可得，又平面，则平面，所以点平面，故A正确；对于B，由点到面距离公式可得点到平面的距离为，故B正确；对于C，设平面，的夹角为，则，故C正确；对于D，因为，即，则，故D错误；故选：ABC10.，则下列选项正确的有（）A.B.C.D【答案】ABD【解析】由已知二项式的展开式通项为，令，可得，A选项正确；由，令，得，B选项正确；根据二项式定理可知等于将展开后所有项的系数和，将代入，可得，C选项错误；设，则令，可得且，令，可得；则，D选项正确；故选：ABD.11.设实数，若不等式对任意恒成立，那么的取值可能是（）A. B. C. D.2【答案】CD【解析】，设，则对任意恒成立，，设，则，所以在单调递增，又，当时，，所以存在使得，则，当时，，则在单调递减，当时，，则在单调递增，所以，当且仅当时等号成立，解得，故选：CD．非选择题部分三、填空题.12.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则______________.【答案】2【解析】因为抛物线方程为，所以，由焦半径公式可知，，得.故答案为：2.13.已知函数在处取得极大值，则______________.【答案】【解析】由，得，则，解得或，当时，，，此时函数在，上单调递增，在上单调递减，即函数在处取极小值，不成立；当时，，，此时函数，上单调递增，在上单调递减，即函数在处取极大值，成立；综上所述，故答案为：.四、解答题.14.将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用表示编号与盒子编号相同的小球数，求的分布列．解：由题可知，可取0,1,2,4，，，，，所以的分布列为：012415.已知函数，.（1）求在点处的切线方程；（2）比较与的大小，并说明理由.解：（1）因为，所以又因为，所以所以切线方程为：（2）判断，因为，所以在单调递减，在单调递增所以恒成立，当且仅当时取到等号所以，即，证毕.16.已知椭圆的离心率为，椭圆的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程.（注：椭圆的面积公式为）解：（1）因为椭圆面积，即，离心率，可解得，，，所以椭圆的方程为：；（2）因为直线与椭圆相交于，两点，所以可以联立方程，得可得：，即则所以，又因为原点到直线的距离，所以，计算可得或，所以直线方程为和和和.17.如图，四棱锥的底面为筝形，面，点为与的交点，且．（1）求证：平面平面；（2）已知为棱上的一点，若，求二面角的余弦值．（注：筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形）解：（1）因为平面，平面，所以，又因为四边形为筝形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设则，，，，，，因为，即，所以，则，，，设平面的法向量，由，取，则，设平面的法向量，由，取，则，所以二面角的余弦值为．18.数列满足．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．解：（1）因为，且，所以数列是等比数列．（2）由（1）得数列是等比数列，且公比，所以，故．所以．故,令,,两式相减得,所以,即.19.在平面直角坐标系内，为坐标原点，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为常数.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知，，是动点的轨迹上的三点，且圆与直线，都相切，且（ⅰ）求圆的半径；（ⅱ）试问否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解：（1）设点，则点到直线的距离，且，则，化简可得，即点