线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert\)的值为（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)2.设向量组\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\beta=(1,1,1)^T\)，则\(\beta\)由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示的表达式为（）A.\(\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)B.\(\beta=\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\beta=\alpha_1+\alpha_2\alpha_3\)D.\(\beta=-\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)3.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B\)是\(n\timesm\)矩阵，则（）A.当\(m>n\)时，必有行列式\(\vertAB\vert\neq0\)B.当\(m>n\)时，必有行列式\(\vertAB\vert=0\)C.当\(n>m\)时，必有行列式\(\vertAB\vert\neq0\)D.当\(n>m\)时，必有行列式\(\vertAB\vert=0\)4.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^{-1}\)的特征值是（）A.\(\frac{1}{\lambda}\)B.\(-\lambda\)C.\(\lambda\)D.\(\lambda^2\)5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&4&0\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\0&1&6\end{pmatrix}\)二、填空题（每题3分，共15分）1.已知行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=3\)，则\(\begin{vmatrix}2a&2b\\c&d\end{vmatrix}=\)______。2.设向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，则该向量组的秩为______。3.设\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为______。4.已知\(3\)阶矩阵\(A\)的特征值为\(1,2,3\)，则\(\vertA\vert=\)______。5.若二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_22x_1x_3+4x_2x_3\)是正定的，则\(t\)的取值范围是______。三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)的值。2.设\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&2\\1&3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)。3.求向量组\(\alpha_1=(1,1,2,4)^T\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)^T\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)^T\)，\(\alpha_4=(1,2,2,0)^T\)的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。4.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&1&2\\5&3&3\\1&0&2\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。5.用正交变换化二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3\)为标准形，并写出所用的正交变换。四、证明题（每题10分，共20分）1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=E\)（\(E\)为\(n\)阶单位矩阵），证明\(A\)，\(B\)可逆，且\(A^{-1}=B\)，\(B^{-1}=A\)。2.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，向量组\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\cdots\)，\(\beta_{s1}=\alpha_{s1}+\alpha_s\)，\(\beta_s=\alpha_s+\alpha_1\)，证明：当\(s\)为奇数时，向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\)线性无关。答案一、选择题1.C根据矩阵行列式的性质：若\(A\)为\(n\)阶方阵，\(k\)为常数，则\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)。已知\(A\)为\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，\(k=2\)，所以\(\vert2A\vert=2^3\times2=16\)。2.A设\(\beta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3\)，即\(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\)，可得\(x_1=1\)，\(x_2=1\)，\(x_3=1\)，所以\(\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)。3.B因为\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B\)是\(n\timesm\)矩阵，\(AB\)是\(m\timesm\)矩阵，且\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\leqn\)。当\(m>n\)时，\(r(AB)\leqn<m\)，根据方阵行列式性质，\(\vertAB\vert=0\)。4.A设\(\xi\)是\(A\)对应于特征值\(\lambda\)的特征向量，则\(A\xi=\lambda\xi\)，两边同时左乘\(A^{-1}\)得\(\xi=\lambdaA^{-1}\xi\)，因为\(A\)可逆，\(\lambda\neq0\)，所以\(A^{-1}\xi=\frac{1}{\lambda}\xi\)，即\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值。5.A二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_{ij}x_ix_j\)，其中\(a_{ij}=a_{ji}\)，\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3\)，则\(a_{11}=1\)，\(a_{12}=2\)，\(a_{13}=0\)，\(a_{22}=2\)，\(a_{23}=1\)，\(a_{33}=3\)，所以矩阵为\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)。二、填空题1.\(6\)根据行列式的性质，若某行（列）元素乘以常数\(k\)，则行列式的值等于原行列式的值乘以\(k\)，所以\(\begin{vmatrix}2a&2b\\c&d\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=2\times3=6\)。2.\(1\)因为\(\alpha_2=2\alpha_1\)，所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2\)线性相关，其秩为\(1\)。3.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)对于二阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，其伴随矩阵\(A^=\begin{pmatrix}d&b\\c&a\end{pmatrix}\)，已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A^=\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)。4.\(6\)根据矩阵特征值的性质，\(n\)阶矩阵\(A\)的行列式等于其所有特征值的乘积，已知\(A\)的特征值为\(1,2,3\)，所以\(\vertA\vert=1\times2\times3=6\)。5.\(-\frac{4}{5}<t<0\)二次型\(f\)的矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&t&1\\t&1&2\\1&2&5\end{pmatrix}\)，\(f\)正定的充要条件是\(A\)的各阶顺序主子式都大于\(0\)。一阶顺序主子式\(\Delta_1=1>0\)；二阶顺序主子式\(\Delta_2=\begin{vmatrix}1&t\\t&1\end{vmatrix}=1t^2>0\)，解得\(1<t<1\)；三阶顺序主子式\(\Delta_3=\vertA\vert=1\times\begin{vmatrix}1&2\\2&5\end{vmatrix}-t\times\begin{vmatrix}t&2\\1&5\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}t&1\\1&2\end{vmatrix}=54t(5t+2)-(2t+1)=-5t^2-4t>0\)，即\(5t^2+4t<0\)，解得\(-\frac{4}{5}<t<0\)，取交集得\(-\frac{4}{5}<t<0\)。三、计算题1.\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\44\times1&54\times2&64\times3\\77\times1&87\times2&97\times3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&6\\0&6&12\end{vmatrix}\)\(=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\)2.先求\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&1&2\\1&3&4\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&2\\1&4\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=1\times(46)-2\times(82)+3\times(61)\)\(=-2-12+15=1\neq0\)，所以\(A\)可逆。\(A_{11}=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=-2\)，\(A_{12}=-\begin{vmatrix}2&2\\1&4\end{vmatrix}=-6\)，\(A_{13}=\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=5\)，\(A_{21}=-\begin{vmatrix}2&3\\3&4\end{vmatrix}=1\)，\(A_{22}=\begin{vmatrix}1&3\\1&4\end{vmatrix}=1\)，\(A_{23}=-\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}=-1\)，\(A_{31}=\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}=1\)，\(A_{32}=-\begin{vmatrix}1&3\\2&2\end{vmatrix}=4\)，\(A_{33}=\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}=-3\)。\(A^=\begin{pmatrix}-2&1&1\\6&1&4\\5&1&3\end{pmatrix}\)，\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\begin{pmatrix}-2&1&1\\6&1&4\\5&1&3\end{pmatrix}\)。3.\((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&0&3&1\\1&3&0&2\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+r_1,r_32r_1,r_