2021年沪教版高一数学暑假作业：向量的应用【含答案】

2021年沪教版高一数学暑假作业：向量的应用【含答案】

一、单选题

1.在等式①6以=。;②03=。；③3石）1=万<5©；@|a|2=a2；⑤若方石=无祗则5=工;

正确的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.

【详解】零向量与任何向量的数量积都为o,03=0错误；

o乘以任何向量都为零向量，0刀=0正确；

向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，3-々=&♦（B-c错误;

向量模的平方等于向量的平方，正确；

无5=无?不--定彳『/2=5，故错误：

故选：c

【点睛】本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题.

2.已知点。是AABC所在平面上的一点，AA8c的三边为4c,若1，则点。是

△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】在AB，AC上分别取单位向量篇）,怠，作/=&>+能，则AE平分的C,用八表

示出0%,次代入条件式，用潘，公表示出工，则可证明A，F，。三点共线，即AO平分ZBAC-

->—>

【详解】在AB,AC上分别取点。，E,使得G=丝，A£=—1

cb

则|最）|=|欣=1•

以AO,AE为邻边作平行四边形ADEE,如图,

则四边形ADEE是菱形，B.AF=AD+AE=—+^-

cb

・•・AF为N8AC的平分线.

*/a。4+bOB+c0C=0

—>—>—>—>—>—>

••,4Q+Z?(Q4+/W)+C(OA+AC)=0，

岗)(6F-I-/?+c)OA+bAB+cAC=0，

—>

fb—

AO=-----------AB+

a+b+ca+b+ca+b+ccb<7+/?+c

，A，0,产三点共线，即。在44C的平分线上.

同理可得。在其他两角的平分线上，

二。是AAHC的内心.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.

3.已知点A（0,0）,点3（36,15）,点C的横坐标、纵坐标都为整数，则AAHC的面积的最小值为（）

13

A.—B.1C.—D.3

22

【答案】C

【分析】利用结论而=（HX），衣=（马％），则S“BC=；|五%—求出三角形面积，分析可得最

小值（需要先证明此结论）.

【详解】先证明一个结论，

若A8=（X|,y）,AC=（x2,y2）,

则S.A8C=g|XV2-*2乂|，下面对此作出证明：

SAABC=gIABHAC|•sinA=；IABHAqJl-cos2A=；^ABf\ACf-\ABf|AC|2COS2A

二；^|AB|2|AC|2-(AB-AC)2=1+y；乂*+『)_+y%P

=|收£+而-2%々y%=|&旧-*23=g,必―/R

在本题中，设c(x,y),

则通=(36,15),AC=(x,y),

所以4诋=#1%-ZY|=2|36y-15x|=/|3y-2x|,

因为x,＞都是整数，所以|3y—2x|»l,

33

所以52跋=］的一2月21

故选：C.

【点睛】结论点睛：本题考查三角形的面积，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标常常是已知的，

此时有结论：通=(%,yj,AC=(x2,y2),则山此=—内必一/乂卜

二、填空题

4.设点。在△工⑥。内部，且5厉+304+7反^6，则AABC与△AOC的面积之比为.

【答案】5:1

【分析】本题可根据奔驰定理以及5砺+3砺+7反=。得出结果.

【详解】因为点。在AABC内部，满足奔驰定理S“0c•应i+%0c•赤.云=6,且

5OA+3OB+7OC=6^

所以AABC与△AOC的面积之比为(5+3+7):3=5:1,

故答案为：5:1.

【点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考

查计算能力，是简单题.

5.在静水中划船的速度为40m/min,水流的速度为20m/min,如果船从岸边出发，最终船垂直于水流

的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是.

【答案】1200

【分析】如图所示，设水流的速度为丽，船航行的速度为通，根据平行四边形法则得到通+而=衣,

然后在直角三角形ACD中，计算出ND4c=30°，可得ND4B=120°.

【详解】如图所示，设水流的速度为丽，船航行的速度为而，

由题意可知，AB+AD=AC^且/"LOC，k4=2O(m/min),k4=40(m/min),

在直角三角形AC£>中，DC=/IB=20(m/min),A£>=40(m/min),

所以ZDAC=30°，所以NDAB=120.

所以船行进的方向与水流方向所成角是120、

故答案为：120°.

【点睛】本题考查了向量的应用，考查了平行四边法则，属于基础题.

6.已知三个力耳=(1,3),月=(—2,3)，E=(x,y)，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力

【答案】(1,-6)

【分析】根据M+£+月=0及其向量加法的坐标运算可得答案.

【详解】依题意可得M+E+月=。,

所以(l,3)+(—2,3)+(x,y)=(O,O),

1—2+x=0x-1

所以《，解得/

3+3+y=0[y=-6

所以E=。,-6)-

故答案为：(1,-6).

【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算，属于基础题.

7.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆。Q的半径为1,圆心在线段CD（含端点）上运动，P

为。Q上及内部的动点，设向量4户=〃*月+〃入户（加、〃wR）.则m+n的取值范围是.

【答案】[2,5]

【详解】由已知得福•丽=4，〃—2〃，AP-AF=-2/7?+4n

则m+〃=g（而•丽+而•通）=g丽•（通+衣）=:而•丽.

注意到，衣.而等于Q在而方向的投影乘以|而|（|而|=4）.

当点Q在点c处、点P在BC上时，Q在而方向的投影最短为2；

当点Q在点D处、点P在AD上时，衣在方向的投影最长为5.

综上，m+〃e[2,5]

故答案为[2,5]

8.已知日=。,0）石=（2,4）,则|,+川=.

【答案】5

【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出.

【详解】解:因为〉=（1,0）石=（2,4）,

;.M+B=（3,4）,

二归+'="+4?=5

故答案为：5

【点睛】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题.

9.一个物体在力『=（1,2）的作用下产生位移『=（3,4）,那么力f所做的功为

【答案】11

【分析】根据力了所做的功卬利用平面向量数量积公式，代入已知数据计算即可.

【详解】因为力『=(1,2),位移8=(3,4)

由数量积的物理意义可知，

力f所做的功w=『后=(1,2).(3,4)

=lx3+2*4=3+8=11

故答案为11.

【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查数量积的物理意义，意在考查灵活应用所学知识解决实际问

题的能力，属于基础题.

10.一条河两岸平行，河宽2h%一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸.若船速为26切用,水流速度为lOkm/h,

则该快艇到达对岸的最快时间为分钟.

【答案】5

【分析】画图分析，根据向量的平行四边形法则求解当船朝正对岸行驶时的速度，再求出行驶时间即可.

【详解】易得当船速%与水流速度E的和速度；垂直于岸边时最快到达，此时

”==^262—102=24k?z/〃.故最快时间为w^x60=5min

V2

故答案为：5

【点睛】本题主要考查了平面向量在物理中的运用，需要根据题意确定船速与水速间的关系，再根据勾股定理

求得实际行船速度.属于基础题.

____1_1__

11.己知4^。满足|4^=3,|4。|=4,0是4针。的外心，且/1。=/14月+三一衣(；1€/?),则小4^。

的面积是.

【答案】2百或逆

2

［分析］设AC的中点为D，根据条件和。是AABC的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义,

求得3。，AC和5、0、。三点共线(/IHO),在直角三角形中求出sinN84C,代入三角形的面积公式

求出AA3C的面积；当2=0时，ABA.BC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求事AABC的面积.

【详解】

。是A46C的外心，设AC的中点为

AO=AAB+^—^AC,

2

.•.旃=茄-荏=(/-1)而+当前1=("1)而+—(就-丽)=—(沅+丽),

则沅+丽=2而，

.•.丽=(1—丸)而，即5、。、Z)三点共线.

：。是AABC的外心，当;1。0时，OD1AC,则BZ)_LAC,

BD79^4S/5

sinABAC

~~AD~3

二MBC的面积S=；x|AMx|AC|xsinNBAC=2V^；

当4=0时，此时而=,祕，即ABJ_BC，

2

AABC的面积S=gx|AB|x忸C|=；x3xVi^^=Y，

综上可得，AABC的面积是2石或短.

2

故答案为；2石或域.

2

【点睛】本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定

理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题.

三、解答题

2

12.已知向量£、石的夹角为§乃,|加=1,|51=2.

（1）求£•万的值

（2）若2d-万和夜+石垂直，求实数，的值.

【答案】⑴-1；（2）2.

【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可.

（2）利用（21加乂R+3）=0可求实数f的值.

【详解】（1）£/=同忸即等=lx2x&g）=—l.

（2）因为%—]和不+B垂直，故（2a-4（必+另）=0,

整理得到：21+（27）£石一片=0即2f+（2—f）xlx2x（-；＞4=0,

解得f=2.

【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量£石垂直的等价条件是£名=0,本题

属于基础题.

13.已知/（x）=sinxcosx-cos2x+~-

71

（i）求/G）；

4

7T

（2）若XG[0,—],求的取值范围；

2

（3）设448。的三边分别是。、b、c,周长为1,若/（8）=-；，求&ABC面积的最大值.

【答案】（1）走；（2）[--,1]；（3）及一3.

224

【分析】先将函数化简可得"x）=sin（2x-g]

71

⑴直接将X*代入化简的表达式可求出答案

(2)由％€[0,3时,可得一(<sin(721x-,得出答案.

26662V6J

⑶先山条件求出8=3-,再由余弦定理可得〃=4+/+4，站合条件利用均侑不等式r

ac—4y/ac+1>0,求出〃。的最大值，从而得出答案