2026版三维设计一轮高中总复习数学-必刷小题18　椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质

必刷小题18椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质一、单项选择题1.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的离心率是（A.32或C.32解析：A∵m是2和8的等比中项，∴m＝4或m＝－4，当m＝4时，方程为x2＋y24＝1，表示椭圆，∴a＝2，b＝1，c＝a2－b2＝3，∴离心率为32，当m＝－4时，方程为x2－y24＝1，表示双曲线，∴a＝1，b＝2，c＝a2.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F.若直线x＝4与C交于A，B两点，且｜AB｜＝8，则｜AF｜＝（）A.3B.4C.5 D.6解析：C将x＝4代入y2＝2px，解得｜y｜＝22p，则A（4，22p），B（4，－22p），所以｜AB｜＝42p＝8，解得p＝2，则｜AF｜＝p2＋3.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的面积为62π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点.直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－89A.3 B.6C.22 D.42解析：B椭圆的面积S＝πab＝62π，即ab＝62，①.因为点P为椭圆C的上顶点，所以P（0，b）.因为直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，不妨设A（m，n），则B（－m，－n）且m2a2＋n2b2＝1，所以m2＝a2－a2n2b2.因为PA，PB的斜率之积为－89，所以n－bm·－n－b－m＝－89，把m2＝a2－a2n2b2代入整理化简得4.已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴的交点为D，过焦点F的直线l与抛物线C的一个交点为A，交准线于点B，若FA＝2BF，则△BDF的面积为（）A.5 B.25C.42 D.22解析：A直线l过该抛物线的焦点F（1，0），过A作准线的垂线，垂足为E，如图所示，易得△BDF∽△BEA，由抛物线的定义知：｜FD｜＝2.因为FA＝2BF，所以｜AE｜＝6，所以xA＝5，yA＝－25，故A（5，－25），所以｜ED｜＝25，｜BD｜＝5，所以S△BDF＝5.故选A.5.经过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，A.x25＋y24＝1 B.xC.x220＋y216＝1 D.x解析：D设椭圆的半焦距为c，由题意知，椭圆的左焦点为（－c，0），上顶点为（0，b），则直线l的方程为x－c＋yb＝1，即bx－cy＋bc＝0，因为椭圆M的中心为坐标原点，所以bcb2＋c2＝2①.又短轴长是焦距的2倍，所以2b＝2×2c，即b＝2c②.联立①②，解得b2＝20，c2＝5，所以a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆M的方程为6.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，直线l与C交于P，Q两点，D为线段PQ的中点，O为坐标原点，则lA.2 B.3C.4 D.6解析：B设P（x1，y1），Q（x2，y2），D（x0，y0），则x12a2－y12b2=1，x22a2－y22b2=1，两式作差，并化简得，（x1－x2)(x1＋x2）a2＝（y1－y2)(y1＋7.设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2a2－1＝1（a＞1）的左、右焦点，过F1垂直于长轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3.P（1，1）为C内一点，Q为C上任意一点，则｜PQ｜＋A.3 B.4C.5D.6解析：A连接QF2，PF2，由椭圆方程可得c＝a2－a2+1＝1，故F1（－1，0），F2（1，0），在椭圆方程x2a2＋y2a2－1＝1（a＞1）中，令x＝－1，则y＝±a2－1a，因为｜AB｜＝3，故2×a2－1a＝3，解得a＝2，故椭圆方程为x24＋y23＝1.而｜PQ｜＋｜QF1｜＝｜PQ｜＋4－｜QF2｜，因为｜｜PQ｜－｜QF2｜｜≤｜PF2｜，故｜PQ｜－｜QF2｜≥－｜PF2｜，当且仅当P，Q，F2三点共线且P在F2，Q中间时等号成立，故｜PQ｜8.我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”.已知F1，F2是一对“优美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当∠F1MF2＝π3时，这一对“优美曲线”中双曲线的离心率是（A.2 B.2C.2解析：D设F1M＝m，F2M＝n（m＞n＞0），F1F2＝2c，由余弦定理（2c）2＝m2＋n2－2mncos60°，即4c2＝m2＋n2－mn①，设a1是椭圆的长半轴长，a2为双曲线的实半轴长，由椭圆以及双曲线的定义，可得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，∴m＝a1＋a2，n＝a1－a2，代入①式，可得3a22－4c2＋a12＝0，又ca1·ca2＝1，即c2＝a1a2，可得3a22－4a1a2＋a12＝0，解得a1＝3a2，e1·e2＝ca1·二、多项选择题9.已知双曲线C：x2a2－y23＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点A.双曲线C的实轴长为2B.双曲线C的一条渐近线方程为y＝3xC.｜PF1｜－｜PF2｜＝2D.双曲线C的焦距为4解析：ABD由双曲线方程知b＝3，离心率为e＝ca＝a2+3a＝2，解得a＝1，故C：x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为y＝±3x，故一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝410.已知直线l：3x－y－3＝0过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法错误的是（）A.抛物线的方程为y2＝4xB.线段AB的长度为18C.∠MFN＝90°D.线段AB的中点到y轴的距离为8解析：BD由题意不妨设点A在点B上方，直线l：3x－y－3＝0与x轴交点（1，0），又l经过y2＝2px的焦点F，故F（1，0），可得p＝2，即抛物线方程为y2＝4x，A正确；由3x－y－3=0，y2=4x，可得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或13，可得A（3，23），B（13，－233），所以｜AB｜＝（3－13）2＋（23＋233）2＝163，B错误；由以上分析可知，M（－1，23），N（－1，－233），F（1，0），可得kNF·kMF＝2332×23－2＝－1，则MF⊥NF，即∠MFN＝90°，C11.已知椭圆x225＋y29＝1的左、右焦点分别为A，C，直线x＝t（－4＜t＜4）与该椭圆相交于点B，D，A.当t＝0时，△ABD的面积为12B.不存在t，使△ABC为直角三角形C.存在t，使四边形ABCD的面积最大D.存在t，使△ABD的周长最大解析：AC由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝a2－b2＝4.对于A，当t＝0时，S△ABD＝12×2b×c＝12×6×4＝12，A正确；对于B，∵b＜c，∴以AC为直径的圆与椭圆必有交点，则存在t，当B，D为以AC为直径的圆与椭圆的交点时，△ABC为直角三角形，B错误；对于C，∵当t＝0时，S△ABC取得最大值，其最大值为12×2c×b＝12，∴四边形ABCD面积的最大值为2（S△ABD）max＝2×12＝24，C正确；对于D，由椭圆的定义得：｜AB｜＋｜AD｜＋｜BD｜＝（2a－｜BC｜）＋（2a－｜CD｜）＋｜BD｜＝4a＋｜BD｜－｜BC｜－｜CD｜，又｜BC｜＋｜CD｜≥｜BD｜，∴｜BD｜－｜CD｜－｜CB｜≤0（当BD过点C时，等号成立），∴｜AB｜＋｜AD｜＋｜BD｜＝4a＋｜BD｜－｜BC｜－｜CD｜≤4a，即当直线x＝t过椭圆的右焦点时，△ABD的周长最大，此时t＝4，但－4＜t＜4，∴不存在t使得△ABD的周长最大，D错误.故选12.已知P是椭圆E：x24＋y2m＝1（m＞0）上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若｜k1｜＋｜k2｜的最小值为1，A.椭圆E的方程为x24＋y2B.椭圆E的离心率为1C.曲线y＝log3x－12经过ED.直线2x－y－2＝0与E有两个公共点解析：ACD设P（x0，y0），M（x1，y1），x0≠±x1，y0≠±y1，则N（－x1，－y1），x024＋y02m＝1，x124＋y12m＝1，所以y02＝m－mx024，y12＝m－mx124，k1k2＝y0－y1x0－x1·y0＋y1x0＋x1＝y02－y12x02－x12＝－m4.于是｜k1｜＋｜k2｜≥2｜k1｜·｜k2｜＝2｜k1k2｜＝2－m4＝m，依题意，得m＝1，解得m＝1，故E的方程为x24＋y2＝1，A正确；离心率为32，B错误三、填空题13.已知点F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足｜FA｜＋｜FB｜＝10，FA＋FB＋FO＝0，则p＝.答案：4解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），而F（p2，0），则｜FA｜＋｜FB｜＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝10，①，FA＝（x1－p2，y1），FB＝（x2－p2，y2），FO＝（－p2，0），由FA＋FB＋FO＝0，得（x1＋x2－32p，y1＋y2）＝（0，0），所以x1＋x2＝32p，14.已知双曲线C：x24－y2＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若｜PO｜＝｜PF｜，则△OPF的面积为答案：5解析：因为双曲线C：x24－y2＝1，可知右焦点为F（5，0），又｜PO｜＝｜PF｜，所以点P在线段OF的中垂线上，所以点P的横坐标为52，又双曲线C：x24－y2＝1的渐近线方程为y＝±12x，所以点P的纵坐标为±54，即△OPF的高为54，所以△OPF的面积为15.定义：点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则∠APB取最大值时，∠APB叫点P对曲线L的张角.已知点P为抛物线C：y2＝4x上的动点，设P对圆M：（x－3）2＋y2＝1的张角为θ，则cosθ的最小值为.答案：3解析：如图，cosθ＝cos∠APB＝cos2∠APM＝1－2sin2∠APM，要使cosθ最小，则sin∠APM＝｜AM｜｜PM｜＝1｜PM｜最大，即需｜PM｜最小.设P（a24，116（a2－4）2+8，∴当a2｜PM｜min＝22，sin∠APM＝1｜PM｜＝122，此时P（1，2）或（1，－2），（cosθ）min＝1－2sin2∠APM＝1－2×（116.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，且cos∠F1PF2＝79，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点Q在C答案：3解析：由题意知，P，F2，Q三