2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-微突破　三角函数中的参数ω的求解问题

微突破三角函数中的参数ω的求解问题在三角函数的图象与性质中，参数ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.本微突破整理了以下几种参数的求法，以供参考.利用三角函数的对称性求解（1）已知函数f（x）＝cos（ωx＋π3）（ω＞0）的一条对称轴为直线x＝π3，一个对称中心为（π12，0），则ω有（AA.最小值2 B.最大值2C.最小值1 D.最大值1解析：（1）因为三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是T4，所以对称中心（π12，0）到对称轴x＝π3间的距离用周期可表示为π3－π12≥T4.又因为T＝2πω，所以2πω4≤π4，所以（2）已知函数f（x）＝cos（ωx－π4）（ω＞0）的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是（CA.（134，174］ B.（94C.［94，134） D.［134解析：（2）f（x）＝cos（ωx－π4）（ω＞0），令ωx－π4＝kπ，k∈Z，则x＝（1+4k）π4ω，k∈Z，函数f（x）的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，即0≤（1+4k）π4ω≤π有三个整数k符合，由0≤（1+4k）π4ω≤π，可得0≤1+4k4ω≤1，可得0≤1＋4k≤4ω，则k＝0，1，2，点评三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω利用三角函数的单调性求解（1）（2025·北京高三阶段练习）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤π2），f（－π4）＝0，｜f（π4）｜＝1，且f（x）在（π4，π3）上单调，则ω的最大值为（A.7 B.9C.11 D.13解析：（1）函数f（x）＝sin（ωx＋φ），因为f（－π4）＝sin（－π4ω＋φ）＝0，所以－π4ω＋φ＝kπ，k∈Z①，又｜f（π4）｜＝1，所以x＝π4是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的一条对称轴，所以π4ω＋φ＝k'π＋π2，k'∈Z②，由①②可得φ＝k＋k'2π＋π4，k，k'∈Z，又因为｜φ｜≤π2，所以φ＝±π4，且ω＝－4k＋1，k∈Z或ω＝－4k－1，k∈Z，又函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期T＝2πω，又f（x）在（π4，π3）上单调，所以π3－（2）（2025·邢台阶段练习）若函数f（x）＝1－tan（ωx－π4）（ω≠0）在（0，1）上单调递增，则ω的取值范围是（DA.［－π2，0） B.（－π2，－C.（0，π4］ D.［－π4，解析：（2）由函数f（x）＝1＋tan（－ωx＋π4）在（0，1）上单调递增，根据正切函数的性质，可得－ω＞0，当x∈（0，1）时，可得－ωx＋π4∈（π4，－ω＋π4），则－ω＋π4≤π2，解得－π4≤点评根据函数f（x）在已知区间上的单调性，结合三角函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，建立不等式，即可求ω的取值范围.利用三角函数的零点求解（1）设函数f（x）＝cos（ωx－π3）（ω＞0）在[0，π]上有且只有4个零点，则ω的取值范围是（B）A.［176，236） B.［236C.［173，233） D.［233解析：（1）∵x∈[0，π]，∴ωx－π3∈［－π3，ωπ－π3］，又∵f（x）在[0，π]上有且仅有4个零点，∴7π2≤ωπ－π3＜9π2，解得23（2）（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cosωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是[2，3）.解析：（2）法一由f（x）＝cosωx－1＝0，得cosωx＝1.设g（x）＝cosωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，设g（t）＝cost，t∈[0，2πω].因为方程g（x）＝1在[0，2π]上有且仅有3个根，所以4π≤2πω＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）.法二函数f（x）＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cosx在[0，2π]上的图象可知，cosx＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cosωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即2×2πω≤2π，3×2πω>2π，又ω＞0点评利用零点求参数ω的两个思路：①直接求出函数的零点，利用零点与所给区间的关系求解；②利用函数的周期与所给区间的关系求解.利用三角函数的最（极）值求解（1）（2025·广州调研）已知函数f（x）＝sin（ωx＋π6）（ω＞0）在区间（0，π2）内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（AA.（23，83］ B.［16C.（23，56］ D.［16解析：（1）因为ω＞0，所以当0＜x＜π2时，有π6＜ωx＋π6＜π2ω＋π6.因为f（x）在区间（0，π2）内有最大值，但无最小值，结合函数图象得π2＜π2ω＋π6≤3π2（2）将函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的部分图象如图所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是（C）A.（712，1312］ B.［712C.［1112，1712） D.（1112解析：（2）由已知得函数g（x）＝sin（ωx＋φ），由g（x）图象过点（0，32）以及点在图象上的位置，知sinφ＝32，φ＝2π3，∵0≤x≤2π，∴2π3≤ωx＋2π3≤2πω＋2π3，由g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴5π2≤2π点评三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决.1.（2024·高三全国开学考试）已知x＝π4和x＝π2都是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（A.4 B.2C.1 D.1解析：A由题意可知：直线x＝π4和直线x＝π2都是函数f（x）的对称轴，设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得：kT2＝π2－π4＝π4，k∈N*，可得T＝π2k，k∈N*，且ω＞0，则2πω＝π2k，k∈N*，解得ω＝4k，k2.（2025·柳州联考）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋π6）＋1（ω＞0）在区间（0，π）上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是（A.（43，103） B.［53C.［43，103） D.（53解析：D∵0＜x＜π，ω＞0，∴π6＜ωx＋π6＜π6＋ωπ，函数f（x）在（0，π）上恰好有两个零点，即sin（ωx＋π6）＝－12在（0，π）上有两个解，∴11π6＜π6＋ωπ≤19π6，3.（2024·广州阶段练习）若函数f（x）＝sinωx＋3cosωx（ω＞0）在区间[a，b]上单调递减，且f（a）＝1，f（b）＝－1，b－a＝π2，则ω＝（A.13 B.C.23 D.解析：C由函数f（x）＝sinωx＋3cosωx＝2sin（ωx＋π3），因为f（a）＝1，f（b）＝－1，所以sin（ωa＋π3）＝12，sin（ωb＋π3）＝－12，又因为f（x）在区间[a，b]上单调递减，所以ωa＋π3＝5π6＋2kπ，k∈Z，ωb＋π3＝7π6＋2kπ，k∈Z，两式相减，可得ω（b－a）＝π3，因为b－4.（2025·福建九地市质量检测）已知函数f（x）＝2sinωx（3sinωx＋cosωx）（ω＞0）在（0，π3）上单调递增，且对任意的实数a，f（x）在（a，a＋π）上不单调，则ω的取值范围为（A.（1，52］ B.（1，5C.（12，52］ D.（12解析：Df（x）＝2sinωx（3sinωx＋cosωx）＝23sin2ωx＋2sinωxcosωx＝2sin（2ωx－π3）＋3，∵f（x）在（0，π3）上单调递增，∴2ω·π3－π3≤π2，解得ω≤54，又对任意的实数a，f（x）在区间（a，a＋π）上不单调，∴f（x）的周期T＜2π，∴T＝2π2ω＜2π，∴ω＞1