2024-2025学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=1+i，则z−z=A.−i B.i C.−2i D.2i2.已知(1,2)是角α终边上一点，则tan2α=(

)A.−43 B.−34 C.3.在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，阅这组数据的75%分位数是(

)A.6.5 B.8 C.8.5 D.94.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是CC1A.3010 B.105 C.5.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//α B.若m//α，m//β，则α//β

C.若m⊥n，n⊂α，则m⊥α D.若m⊂α，n⊥α，则m⊥n6.某次物理竞赛，得分在[120,130)的有15人，他们的平均分为128，方差为2.得分在[130,140]的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在[120,140]的平均分与方差为(

)

参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：

n1,x−,s12,A.130，16.625 B.131，17.875 C.131，16.625 D.130，17.8757.若0<α<π,cosα2=A.−7210 B.−28.已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，利用斜二测画法画此圆锥时，直观图的底面曲线中心在原点O′，底面曲线与x′轴、y′轴正半轴分别交于A，B两点，已知△O′AB面积为28.若圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为12A.73π24 B.3π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则(

)A.ω=3

B.φ=π2

C.f(x)关于点(π6,0)对称10.复数z=cosθ+isinθ(其中i为虚数单位，θ∈R)，则(

)A.|z|=1

B.|z+4−3i|的最大值为6

C.当θ=56π时，复数z对应的点在第四象限

D.当θ=π4时，11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1A.存在点Q，使PQ//平面MBN

B.MN与PB为异面直线

C.线段QR的最小值是2

D.经过M，B，C，N四点的球的表面积为9π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(−2,2)，b=(m+1,2m)，c=(2,−1)，若(2a+13.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜的概率为______．14.已知△ABC中，AB=AC=4，BC=2，将顶点C绕棱AB旋转到C′，当CC′=22时，三棱锥A−BCC′的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140]分组的样本频率分布直方图，如图所示．

(1)求直方图中a的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数；

(2)现在从分数在[80,90)和[90,100)的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好一人分数在[80,90)内，另一人分数在[90,100)内的概率．16.(本小题15分)

如图.在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=BC=2，M是PB的中点．

(1)求三棱锥P−ABC的表面积；

(2)求二面角M−AC−B的平面角的正弦值．17.(本小题15分)

已知直三棱柱ABC−A1B1C1，AB⊥AC，D，E分别是边AB，B1C1的中点．

(1)证明：DE//平面ACC1A1；

(2)若三棱锥C118.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=(a,b+c)，n=(3sinC+cosC,1)，m⋅n=2b+3c．

(1)求A；

(2)已知BM=2MC，AM=2．

(i)若S△ABC=9219.(本小题17分)

甲、乙两人玩掷骰子游戏，由甲先掷一次骰子，记向上的点数为a，接下来甲有2种选择：

①甲直接结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为b，若a+b≤6，则乙赢，否则甲羸，游戏结束；

②甲再掷一次骰子，向上的点数记为c，若a+c>6，则乙赢，游戏结束；

若a+c≤6，甲结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为d，若a+c+d≤6，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．

问：(1)若甲只掷骰子1次，求甲赢的概率；

(2)若甲掷骰子2次，求甲赢的概率；

(3)当甲第一次掷骰子向上的点数为多少时，甲选择①赢得游戏的概率更大？

答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】把z=1+i代入z−z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】

解：∵z=1+i，

∴z−z=1−i2.【答案】A

【解析】解：因为(1,2)是角α终边上一点，

所以tanα=2，

则tan2α=2tanα1−tan2α=41−4=−3.【答案】C

【解析】解：8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，

将数据按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，9，10，

∵8×75%=6，

∴这组数据的75%分位数8+92=8.5．

故选：C．

将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解．4.【答案】D

【解析】解：取DD1的中点G，连接GA，GF，GE，

因为E，G分别是CC1，DD1的中点，CC1//DD1，

所以DG=12DD1，CE=12CC1，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1//DD1，CC1=DD1

所以DG/​/CE，DG=CE，

所以四边形DGEC为平行四边形，

所以GE//DC//AB，GE=DC=AB，

所以四边形AGEB为平行四边形，所以AG//BE，

故∠GAF为异面直线AF与BE所成角或其补角，

设正方体的棱长为2，

因为E，F，G分别是CC1，CD，DD1的中点，5.【答案】D

【解析】解：若m/​/n，n⊂α，则m/​/α或m⊂α，所以A选项错误；

若m/​/α，m//β，则α与β平行或相交成任意角，所以B错误；

若m⊥n，n⊂α，则m与α相交或m⊂α或m/​/α，所以C选项错误；

若m⊂α，n⊥α，则m⊥n，所以D正确．

故选：D．

举反例可判断ABC；由线面垂直的性质定理可判断D．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．6.【答案】C

【解析】解：由题意代入数据，可得ω−=1524×128+924×136=131，

s27.【答案】B

【解析】解：因为0<α<π，则0<α2<π2，

又因为cosα2=1010，则sinα2=31010，

所以sinα=2sinα28.【答案】A

【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

则πl=2πr，所以l=2r，

所以圆锥的高为ℎ=l2−r2=3r，

由斜二测画法可知O′A=r，O′B=r2，∠AO′B=45°，

所以三角形O′AB的面积为12×r×12r×22=28，解得r=1．

所以圆锥的高为ℎ=3r=3，

若圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为12的圆锥，

9.【答案】AB

【解析】解：由题图知：函数f(x)的最小正周期T=2π3，

则ω=2π2π3=3，A=2，所以函数f(x)=2cos(3x+φ)．

将点(π2,2)代入解析式中可得2=2cos(3×π2+φ)，

即sinφ=1，则φ=2kπ+π2(k∈Z)，

因为0<φ<π，所以φ=π2，故A，B正确；

f(x)=2cos(3x+π2)=−2sin3x，

∴f(π6)=−2sin(3×π6)=−2≠0，

所以f(x)的图象关于点(π6,0)不对称，故C不正确；

因为f(π3)=−2sin(3×π3)=010.【答案】ABD

【解析】解：对于A，|z|=cos2θ+sin2θ=1，选项A正确；

对于B，由A可知复数z在复平面对应点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，

|z+4−3i|表示的是点(−4,3)到以原点为圆心，1为半径的圆上点的距离，

其最大值为点(−4,3)到原点的距离加半径，即(−4)2+32+1=6，选项B正确；

对于C，当θ=5π6时，复数z=−32+12i，对应的点为(−32,12)，在第二象限，选项C错误；

对于D，当θ=π4时，复数z=22+211.【答案】ABD

【解析】解：对A，存在，当Q为A1D1的中点时，PQ/​/平面MBN，如图，连接PQ，A1C1，

由M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，所以PQ//A1C1//MN，

由PQ⊄平面MBN，MN⊂平面MBN，所以PQ/​/平面MBN，正确；

对B，如图，连接A1B

由A1B/​/PN，而A1B∩MB=B，MB，PN分别在两个平行的平面内，所以MN与PB为异面直线，正确；

对C，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，N(0,2,1)，M(2,0,1)，

设点Q(2x,0,2)，BR=λBN，则0≤x≤1，0≤λ≤1，BR=(−2λ,0,λ)，

所以点R的坐标为(2−2λ,2,λ)，

所以|QR|=(2−2λ−2x)2+4+(λ−2)2，

所以当x=1−λ=0，λ=1时，|QR|取最小值，最小值为5，C错误；

对D，设经过M，B，C，N四点的球的球心O坐标为(a,b,c)，

所以OB=OCOM=ON12.【答案】−1

【解析】解：因为向量a=(−2,2)，b=(m+1,2m)，

所以2a+b=(m−3,2m+4)，

又因为(2a+b)//c，

所以−1×(m−3)=2(2m+4)，

13.【答案】1327【解析】解：甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，

一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束，

设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，

各次投篮互不影响．投篮1次甲获胜概率为13，

投篮3次甲获胜概率为23×12×13=19，

投篮5次甲获胜概率为23×12×2314.【答案】2【解析】解：AC′=AC=AB=4，BC′=BC=2，

由CC′=22，得BC′2+BC2=CC′2，则∠C′BC=90°，

取CC′中点O，连接AO，BO，则BO=2,AO=AC2−OC2=14，

显然BO2+AO2=16=AB2，则AO⊥BO，

又AO⊥CC′，BO∩CC′=O15.【答案】a=0.01，中位数为108；

815．【解析】(1)由频率分布直方图可得(0.006+0.012+0.04+0.026+a+0.006)×10=1，

解得a=0.01，

本次联考该校数学成绩在[80,90)的频率为0.006×10=0.06，

在[90,100)的频率为0.012×10=0.12，

在[100,110)的频率为0.04×10=0.4，

因为0.06+0.12=0.18<0.5，0.06+0.12+0.4=0.58>0.5，

所以中位数在[100,110)之间，设为m，

则0.06+0.12+(m−100)×0.04=0.5，

解得m=108，

所以本次联考该校数学成绩的中位数为108；

(2)成绩在[80,90)的人数与成绩在[90,100)的频率的人数之比为1：2，

抽取的6人中成绩在[80,90)的有2人，成绩在[90,100)的频率的有4人，

假设成绩在[80,90)的2人分别记为A1，A2，成绩在[80,90)的4人分别记为B1，B2，B3，B4.随机抽取两人的样本空间为：

{A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,

A2B4，B1B16.【答案】6+2+4；【解析】(1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

，

所以PA⊥BC，

又因为AC⊥BC，AC∩PA=A，AC，PA⊂面PAC，

所以BC⊥面PAC．

又PC⊂面PAC，所以BC⊥PC，

又因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

故PA⊥AB，

即△ABC中,AC⊥BC,PA=2,AC=BC=2，

所以AB=22,PC=6，

所以S△PAB=12×22×2=2,S△PBC=12×2×6=6，S△PAC=12×2×2=2,S△ABC=12×2×2=2，

所以三棱锥P−ABC的表面积S=6+2+4；

(2)取AC中点N，取AB中点E，连接MN，ME，EN．

由(1)知PC⊥BC，

因为M是PB的中点，

所以在Rt△PCB中，MC=12PB，

又PA⊥AB，

在Rt△PAB中，MA=12PB，

所以MC=MA，

所以MN⊥AC，

又因为NE/​/BC，AC⊥BC，

所以NE⊥AC，

又因为面MAC∩面ABC=AC，

所以∠MNE为二面角M−AC−B的平面角．

在Rt△MEN中，ME=12PA=217.【答案】证明见解析；

22【解析】(1)证明：取A1C1中点F，连接EF，FA，

则EF为△A1B1C1中位线，

所以EF//A1B1，EF=12A1B1

又AD//A1B1AD=12A1B1，

所以EF/​/AD，且EF=AD，

所以四边形ADEF为平行四边形，

所以DE/​/AF，

又因为AF⊂平面ACC1A1，DE⊄平面ACC1A1，

所以DE/​/平面ACC1A1；

(2)由题可知AA1⊥AB，AB⊥AC，AA1∩AC=A．

所以AB⊥面AA1C1C，

因为三棱锥C1−A1CB即三棱锥B−A1C1C，

所以V三棱锥B−A1C1C=18.【答案】A=2π3；

(i)c+2b=12；(ii)3【解析】(1)根据题意可知，m⋅n=2b+3c，得3asinC+acosC+b+c=2b+3c，

∴3asinC+acosC=b+2c，

根据正弦定理得3sinAsinC+sinAcosC=sinB+2sinC，

故3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+2sinC，

∴3sinAsinC=sinC(cosA+2)，

∵C∈(0,π)，sinC≠0，∴3sinA−cosA=2，整理得sin(A−π6)=1，

又∵A∈(0,π),A−π6∈(−π6,56π),A−π6=π2，∴A=2π3；

(2)根据题意可知，BM=2MC，则AM=13AB+23AC，

得|AM|2=(13AB+23AC)2=19AB2+49AC2+49AB⋅AC，

∵AB=c，AC=b，AM=2，即|AM|=2，

∴4=19c2+49b2+49b⋅ccos2π3=19c2+49b2−29b⋅c，

即36=c2+4b2−2bc=(c+2b)2−6bc，

(i)根据题意可知，S△ABC=9219.【答案】712；

35108；

3或4或5或6【解析】(1)如果甲只掷骰子1次，甲赢的情况如下，

如果甲掷出向上的点数为1，乙掷出向上的点数为6，此时有1种情况，

如果甲掷出向上的点数为2，乙掷出向上的点数为6、5，此时有2种情况，

如果甲掷出向上的数点为3，乙掷出向上的点数为6、5、4，此时有3种情况，

依此类推，甲赢的情况共有1+2+3+4+5+6=21种，

根据古典概型概率公式，

将m=21，n=36代入公式，可得甲赢的概率P=2136=712，

综上，如果甲只掷骰子1次，甲赢的概率为712；

(2)如果甲掷骰子2次，甲赢的情况如下，

①甲第1次掷骰子向上的点数为1，

如果第2次掷骰子向上的点数为1，乙掷骰子向上的点数为6，5，此时有2种情况，

如果第2次掷骰子向上的点数为2，乙掷骰子向上的点数为6、5、4，此时有3种情况，

依此类推

如果第2次掷骰子向上的点数为5，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2、1，此时有6种情况，

以上有2+3+4+5+6=20种情况，

②甲第1次掷骰子向上的点数为2，

如果第2次掷骰子向上的点数为1，乙掷骰子向上的点数为6、5、4，此时有3种情况，

如果第2次