2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第12讲 函数的单调性与最值（学生版）

第12讲函数的单调性与最值

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意

两个自变量的值x1，x2

当x1<x2时，都有

定义

当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间Df(x1)>f(x2)，那么

上是增函数就说函数f(x)在

区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象

自左向右看图象是上升的

是下降的

知识点2单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，

区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定

义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能是开区间。

（2）单调区间D定义域I。

（3）遵循最简原则，单调区间尽可能大。

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和来表示。”

知识点3函数单调性的判断

1、定义法证明函数单调性的步骤

1，＜

取值：设x1x2为区间nei任意的两个值，且x1x2；

2（）-（）

作差变形：fx1fx2，通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值

符号的方向变形；

3定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；

4下结论：根据定义做出结论。

2、函数的复合：f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)

f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)

增+增=增增-增

增+减增-减=增

减+减=减减-减

减+增减-增=减

注意：加同不变，减异随前。

3.复合函数：yfg(x)

ug(x)内函数yf(u)外函数yfg(x)

增增增

增减减

减增减

减减增

注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。

知识点4函数的最值

前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

对于任意x∈I，都有f(x)≤M；对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

条件

存在x0∈I，使得f(x0)＝M存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论M为最大值M为最小值

解题方法

x3a,x0

要想满足fx2在R上是减函数，

xax1,x0

教材习题01

a

x3a,x0则二次函数yx2ax1的对称轴x0，且

已知函数fx2在2

xax1,x0

020a103a，

定义域R上是减函数，求实数a的

1

取值范围．解得0≤a≤，

3

1

所以实数a的取值范围是0,.

3

1

【答案】0,

3

解题方法

证明：任取x1,x2R，且x1x2，

则

y1y22x132x232x1x2

教材习题02

因为x1x2，所以x1x20，所以

证明：函数y2x3在定义域R上是增函数．

y1y2，

所以函数y2x3在定义域R上是增

函数.

【答案】见解析

解题方法

因为

bdbdbdbcad

教材习题03xx

axbaaacacaacaac

axby1

研究函数y的图象和性质，cxdcdcdcdcd

cxdxxxx

cccc

其中a，b，c，d都是实常数，

bcad

ac0．bcadaxb

若0，所以y可以由反比例函数ac经过平

accxdy

x

移而得到，

da

所以函数的定义域为x|x，值域为y|y，对称中心为

cc

da

,，

cc

bcaddd

当0，函数在,上单调递减，在,上单调递

accc

减；

da

①当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

②当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

③当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

④当0且0时函数图象如下所示：

cc

bcaddd

当0，函数在,上单调递增，在,上单调递

accc

增；

da

①当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

②当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

③当0且0时函数图象如下所示：

cc

da

④当0且0时函数图象如下所示：

cc

bcadada

若0，则y，函数的定义域为x|x，值域为，

acccc

da

图象为一条平行于x轴的直线（去掉点,）.

cc

【答案】见解析

考点一定义法判断或证明函数单调性

f(x)f(x)

12

1．已知函数yf(x)的定义域为R，对任意的x1,x2R且x1x2，总有0，则f(x1)f(2x)

x1x2

的解集是．

x1

2．已知函数fx，x3,5.

x2

(1)判断函数fx的单调性，并证明；

(2)求函数fx的最大值和最小值.

3．已知函数fx在R上满足fxyfxfyf01，且当x0时，0fx1；当x0时，

fx1．

(1)求f0的值；

(2)判断并证明函数fx的单调性；

1

(3)若f1，求不等式fxx24的解集．

2

3

4．求证：fxx1在R上是减函数．

考点二求函数单调区间

2024ax

1．已知函数f(x)在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）

a1

A．(,0)(1,2024]B．(,0)(0,2024]

C．(,0)(1,)D．(,0)(0,1)

（多选题）2．已知函数fx在R上是增函数，则下列说法错误的是（）

1

A．yf(x)在R上是减函数B．y在R上是减函数

f(x)

C．y[f(x)]2在R上是增函数D．yaf(x)（a为实数）在R上是增函数

x22ax9,x1,

（多选题）3．已知函数f(x)4若f(x)的最小值为f(1)，则（）

xa,x1,

x

A．函数f(x)在(,1)上单调递减B．函数f(x)在(1,)上单调递增

C．a2D．函数f(x)的最小值为102a

4．函数fxx2x12的单调递减区间为.

5．求函数fxx22x3的单调区间，并指出其值域

考点三利用函数单调性求参数

11

1．已知函数f(x)，若当x[m,n](nm0)时，f(x)的值域也是[m,n]，则实数a的取值范围是（）

ax

1111

A．(,)B．(,)C．(0,)D．(0,)

4242

2xm

2．若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为3，则实数m（）

x1

A．1B．1C．3D．3

2a

3．已知函数f(x)x2ax3,g(x)，其中a0．对任意的x2,1，存在x1,2，使得f(x1)g(x2)，

x12

则实数a的取值范围为．

11

4．已知fx2xx2，xa,b的值域为,，则ab所有可能值为．

ba

m

5．已知函数f(x)4x,f(1)13．

x

(1)求m的值；

(2)用定义法证明：函数f(x)在(0,1)上是减函数；

(3)若f(x)a在1,3上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．

考点四恒成立问题

1．若当0x1时，不等式2xa0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．a0B．a0C．a2D．a2

a

2．若关于x的不等式x0aR在区间1,2上恒成立，则a的值可能是（）

x

A．2B．1C．2D．4

3．若a,bR，对x[2,2]，均有(2ab)x2bxa10恒成立，则2ab的最小值为

4．已知函数fxx22tx1（tR）

(1)设函数fx在区间2,1上的最小值为gt，求gt的表达式；

(2)对（1）中的gt，当x1,1，t1,1时，恒有x2mx3gt成立，求实数m的取值范围．

5．已知函数fxx22axax2a2x2.

(1)若a0，求函数fx的单调递增区间；

(2)若a0，不等式fxx22a对xR恒成立，求a的最大值；

(3)若a0，存在m，n0，使得fx在m,n上单调递增且在m,n上的值域为4m,4n，求a的取值范

围.

考点五能成立问题

1．若命题“xx1x3，ax2a2x20”是真命题，则a的最大值为（）

A．0B．1C．2D．3

14x2

y2

2．若两个正实数x，y满足22，且不等式xmm有解，则实数m的取值范围是．

xy4x

1

3．若当1x2时，不等式m有解，求实数m的取值范围.

x

31

4．已知函数fx2x2ax10，gxx2x，（aR）

4

(1)当a1时，求f2的值；

(2)若对任意xR，都有fxgx成立，求实数a的取值范围；

(3)若x10,2，x20,1，使得不等式fx1gx2成立，求实数a的取值范围．

5．已知函数gxax22ax1ba0在区间2,3上有最大值4和最小值1．

(1)求a，b的值；

(2)若存在x3,4，使gx2m2tm7对任意的t0,5都成立，求实数m的取值范围．

考点六函数单调性的应用

x21

1．函数fx的图象为（）

x

A．B．

C．D．

2．如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路

线为ABBOOA)，则小明到O点的直线距离与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是

（）

A．B．

C．D．

ax2b

3．函数f(x)的图象如图所示，则f(2)（）

xc

35

A．1B．C．2D．

22

4．设函数fxxx，将fx向左平移aa0个单位得到函数gx，将fx向上平移aa0个单位

得到函数hx，若gx的图像恒在hx的图像的上方，则正数a的取值范围为．

x2,x1

5．已知函数f(x)的解析式为f(x)x2,1x2.

x6,x2

(1)求f(3)，f(f(1))的值；

(2)画出这个函数的图象，并写出f(x)的最大值.

考点七分段函数单调性的判读与应用

(1a)x2a,x1,

1．已知函数f(x)1的值域为R，则a的取值范围是（）

x,x1.

x

A．(,1)B．(1,)C．[1,1)D．(1,)

g(x),f(x)g(x),

2．设函数f(x)12x2,g(x)x22x，若F(x)，则函数F(x)的最大值为（）

f(x),f(x)g(x),

1457

A．B．C．D．

9999

x2a,x3

3．已知函数f(x)4若f(3)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是．

xa,x3,

x2

2ax3,x1

4．已知函数fx2.

axx,x1

(1)若f15，求a的值；

(2)若a0，求fx的值域；

(3)若fx在R上单调递减，求实数a的取值范围．

知识导图记忆

知识目标复核

1．单调函数的定义

2．函数单调性的判断

3．函数单调性的应用

4.函数的最值

1．下列函数为增函数的是（）

1

A．fxxB．fxxC．fxx2D．fx

x

2．已知函数f(x)2|x|，若关于x的不等式f(x)x22xm的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取

值范围为（）

A．[2,1)B．(2,1)C．[2,0)D．(2,0)

a2x1,x1,

．若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（）

3fx12Ra

axax1,x1

2

44

A．,0B．2,0C．,0D．2,0

33

2

axa1,xa,

4．已知函数fx的值域为R，则实数a的取值范围是（）

x2a1,xa.

A．,2B．2,0C．2,D．2,2

x2ax5,x1

5．已知函数fxa是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）

,x1

x

A．3≤a≤2B．3a0C．a2D．a0

2

6．已知函数f(x)x3，g(x)mx5m(m0)，若对任意的x11,2，总存在x21,2，使得

f(2x1)g(x2)成立，则实数m的取值范围是（）

A．[12,)B．[10,)

C．[14,)D．[8,)

m2

（多选题）7．函数f(x)2在区间(n,)上单调递增，则下列说法正确的是（）

x1

A．m2B．m2

C．n1