2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第15讲 函数的概念与性质-章末复习（教师版）

第15讲函数的概念及其性质

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1函数的概念及其表示

1.函数的定义

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都

有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子

集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依

据．

(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函

数．

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.

值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．

(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

(3)各段函数的定义域不可以相交.

4．常用结论

(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；

(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；

(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；

(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；

(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．

如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．

知识点2函数的基本性质

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意

两个自变量的值x1，x2

当x1<x2时，都有

定义

当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间Df(x1)>f(x2)，那么

上是增函数就说函数f(x)在

区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象

自左向右看图象是上升的

是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，

区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

对于任意x∈I，都有f(x)≤M；对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

条件

存在x0∈I，使得f(x0)＝M存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论M为最大值M为最小值

3.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，

偶函数关于y轴对称

那么函数f(x)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－

奇函数关于原点对称

f(x)，那么函数f(x)是奇函数

4.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x

＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)

的最小正周期.

注意：

（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

（4）函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).

1

②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

f（x）

1

③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

f（x）

5.对称性的三个常用结论

①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.

知识点3幂函数

1.幂函数的定义

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

2.5个常见幂函数的图象与性质

1

23－1

函数y＝xy＝xy＝xyx2y＝x

定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}

值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}

非奇非偶

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

函数

在(－∞，0)

在(－∞，0)

在R上单调递上单调递减，在R上单调递在(0，＋∞)

单调性和(0，＋∞)

增在(0，＋∞)增上单调递增

上单调递减

上单调递增

图象

过定点(0,0)，(1,1)(1,1)

解题方法

（1）函数f(x)xx3x5的定义域为R，

因为fxxx3x5fx，

所以函数f(x)xx3x5为奇函数；

（2）函数f(x)x21的定义域为R，

教材习题01

判断下列函数是否具有奇偶性：因为fxx21fx，

(1)f(x)xx3x5；所以函数f(x)x21为偶函数；

(2)f(x)x21；（3）函数f(x)x1的定义域为R，

(3)f(x)x1；因为fxx1,fxx1，

2

(4)f(x)x,x[1,3]所以fxfx,fxfx，

所以函数f(x)x1是非奇非偶函数；

（4）因为函数f(x)x2的定义域为1,3，不关于原

点对称，

所以函数f(x)x2,x[1,3]是非奇非偶函数.

【答案】(1)奇函数

(2)偶函数

(3)非奇非偶函数

(4)非奇非偶函数

解题方法

（1）解：由图可知，函数fx的最

小正周期为2.

（2）解：当0x1时，设fxkx，

则f1k1，即fxx；

教材习题02当1x0时，设fxax，则

周期函数yfx的图象如图．

f1a1，可得a1，即

fxx.

故当x1,1时，fxx，

因为函数fx是以2为最小正周期

的周期函数，故对任意的xR，

(1)求函数fx的最小正周期；fx2fx，

(2)写出函数yfx的解析式．对任意的nZ，当x2n1,2n1

时，1x2n1，

则fxfx2nx2n.

因此，函数fx的解析式为

fxx2n，x2n1,2n1，

nZ.

【答案】(1)2

(2)fxx2n，x2n1,2n1，nZ.

教材习题03解题方法

下列函数中，哪些满足性质

（1）fxx不满足T1，满足T2.

T:fxyfxfy或

1函数fxx的定义域为0,，

T2:fxyfxfy？为什么？

显然xyxy，所以fxx不

(1)fxx；

满足T1；

3；

(2)fxx又

(3)fx2x；fxyxyxyfxfy

(4)fx1；fxx，

1所以满足T

(5)fx．fxx2.

x

3

（2）fxx不满足T1，满足T2.

显然

3

xyx33x2y3xy2y3x3y3，故

不满足T1；

3

fxyxyx3y3fxfy，故满

足T2.

（3）fx2x满足T1，不满足T2.

fxy2xy2x2yfxfy

，故满足T1；

fxy2xy2x2yfxfy，故不

满足T2.

（4）fx1不满足T1，满足T2.

fxy12fxfy，故不满足

T1；

fxy1fxfy，故满足T2.

1

（5）fx不满足T，满足T.

x12

111

fxyfxfy，故

xyxy

不满足T1；

111

fxyfxfy，故满足

xyxy

T2.

【答案】(1)不满足T1，满足T2，理由见解析

(2)不满足T1，满足T2，理由见解析

(3)满足T1，不满足T2，理由见解析

(4)不满足T1，满足T2，理由见解析

(5)不满足T1，满足T2，理由见解析

考点一函数的概念及其表示

1．已知函数f2x1x23x，则f5（）

A．1B．2C．2D．0

【答案】D

【详解】令2x15，则x3，

所以f5f23132330.

故选：D.

2．已知函数fx的定义域和值域均为3,3，则下列说法错误的是（）

f3x

A．函数fx2的定义域为1,5B．函数的定义域为1,1

x1

C．函数fx2的值域为3,3D．函数f2x的值域为6,6

【答案】D

【详解】函数fx2中的x需满足3x23，解得1x5，故函数fx2的定义域为1,5，故A

f3x33x3f3x

正确；函数中的x需满足，解得1x<1，故函数的定义域为1,1，故B正确；

x1x10x1

函数fx2和f2x的值域都为3,3，故C正确，D错误.

14

3．若函数f(x)，g(x)满足f(x)2f3x，且fxgx2x6，则f2g1（）

xx

A．5B．6C．7D．8

【答案】D

【详解】令x1可得f(1)2f1341，所以f(1)1；

1

令x2可得f(2)2f624；

2

11313

令x可得f()2f28，

2222

所以3f(2)9，

所以f(2)3，

令x1可得f1g1264，所以g15，

所以f2g1358.

故选：D.

fx1

4．已知函数fx的定义域为1,1，则函数gx的定义域为（）

x1

A．1,1B．1C．1,3D．1,2

【答案】D

【详解】因为函数fx的定义域为1,1，

fx1

所以gx的定义域需满足：

x1

1x11

，解得1x2.

x10

故选：D.

x1x

5．若函数f3，则f2．

x

【答案】3

【详解】令x1，则f23.

故答案为：3.

6．若函数f(x)x22axb(a1)的定义域与值域都是[1,a]，则实数b．

【答案】5

2a

【详解】函数f(x)x22axb(a1)的对称轴方程为xa1，

2

所以函数f(x)x22axb在[1,a]上为减函数，

又函数在[1,a]上的值域也为[1,a]，

f(1)a12aba①

则，即22，

f(a)1a2ab1②

由①得：b3a1，代入②得：a2-3a+2=0，解得：a1（舍），a2．

把a2代入b3a1得：b5．

故答案为：5．

7．已知Pxx3bx2cxd，且P12025，P24050，求P5P2

【答案】14259

【详解】因为Pxx3bx2cxd，所以P120251bcd，P284b2cd4050，

所以73bc2025，所以3bc2018，

所以P5P212525b5cd84b2cd

13321b7c1337201814259；

故答案为：14259

考点二函数的基本性质

f(x)

1．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2)4，若函数g(x)在(0,)上单调递增，则不

x

等式f(x)2x的解集为（）

A．[2,2]B．(,2]

C．[2,0][2,)D．(,2][0,2]

【答案】D

【详解】f(x)是定义域为R的奇函数，故f(x)f(x)，

fx

gx定义域为,00,，

x

fxfxfx

gxgx，

xxx

fx

故gx是偶函数，

x

又gx在0,上单调递增，故gx在,0上单调递减，

f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)4，故f2f24，

f24

故g22，

22

fx

当x0时，fx2x2gx2gxg2，

x

而gx在0,上单调递增，故x0,2；

其中g2g22，

fx

当x0时，fx2x2gx2gxg2，

x

而gx在,0上单调递减，故x,2；

当x0时，f00，满足不等式．

综上，x,20,2．

故选：D．

2x1

2．已知函数yf(x1)2为奇函数，g(x)，且f(x)与g(x)图象的交点为x,y,x,y,,x,y，

x1112266

则x1x2x6y1y2y6（）

A．9B．6C．18D．12

【答案】C

66

【详解】f(x)与g(x)图象的交点x1,y1,x2,y2,,x6,y6两两关于点(1,2)对称，所以xi6,yi12，

i1i1

故x1x2x6y1y2y618．

fx1fx2

3．已知函数yfx的图象关于y轴对称，且对于yfxxR，当x1,x2,0时，0

x1x2

恒成立，若f2axf2x21对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是（）

1

A．2,2B．,1C．0,2D．2,

2

【答案】A

【详解】由已知可得，函数yfx为偶函数，

fx1fx2

又对于yfxxR，当x1,x2,0时，0恒成立，

x1x2

即x1,x2,0，若x1x2，都有fx1fx2成立，

则yfx在,0上单调递减，

又函数yfx为偶函数，则yfx在0,上单调递增，

又f2axf2axf2x21对任意的xR恒成立，则可得2ax2x21．

当x0时，不等式为01显然成立；

12x21

当x0时，原不等式可化为a恒成立，只需要式子的最小值满足即可．

2x

12x211111

因为2x22x·2，

2x2x2x

12

当且仅当2x，即x时，等号成立，

x2

所以a2，解得2a2，

综上所述，实数a的取值范围是2a2.

故选：A．

4．已知函数fx的定义域为R,fx2为偶函数，fx1为奇函数，则（）

1

A．f0B．f10

2

C．f20D．f40

【答案】B

【详解】因为函数fx2为偶函数，则f2xf2x，可得fx3f1x，

因为函数fx1为奇函数，则f1xfx1，

所以fx3fx1，即得fx2fx，

即fx4fx，故函数fx是以4为周期的周期函数，

对于f1xfx1，令x0，则f1f1f10，

对于fx2fx，令x1，则f1f10，B正确；

1351

由题意可知fff，无法推出f0，A错误，

2222

又f2f0，f4f0，而f0是否为0不确定，故CD错误，

故选：B

mxn

5．已知函数fx是R上的偶函数，且f11．

1x2

(1)求实数m，n的值；

(2)判断函数yfx在0,上的单调性，并用定义法证明；

(3)求不等式ft22f3t0的解集．

【答案】(1)m0，n2

(2)函数yfx在0,上单调递减，证明见解析

(3)2,11,2

【详解】（1）因为函数fx是R上的偶函数，

所以fxfx恒成立.

mxnmxn

所以22mx0对xR恒成立.

1x1x

所以m0.

n

由f11f11n2.

11

故m0，n2.

2

（2）fx在0,上单调递减.证明如下：

1x2

设0x1x2，

22

222x2x12x2x1x2x1

则fxfx.

121x21x2221x21x2

121x11x212

22

因为0x1x2，所以x2x10，x2x10，1x11x20.

2xxxx

21210

所以22，所以fx1fx20，即fx1fx2.

1x11x2

2

所以fx在0,上单调递减.

1x2

（3）因为函数fx为偶函数，所以ft22f3t0ft22f3t.

由函数fx在0,上单调递减，所以函数fx在,0上单调递增，且图象关于y轴对称.

22t0t0

所以ft2f3tt23t2或2，

t23tt23t

解得1t2或2t1.

所以不等式ft22f3t0的解集为：2,11,2.

考点三幂函数

1．已知幂函数fx3m27m5xm1在0,上是增函数，则m（）

22

A．或3B．C．3D．1

33

【答案】C

2

【详解】因为fx是幂函数，所以3m27m51，解得m3或m，

3

当m3时，fxx2在0,上是增函数，符合题意，

5

2

当m时，3在0,上是减函数，不符合题意，舍去，

3fxx

所以m3，

故选：C.

2mfx1fx2

2．幂函数fxmm1x,x1,x20,都有0成立，则下列说法正确的是（）

x1x2

A．m2B．m2或m1

C．fx是偶函数D．fx是奇函数

【答案】D

2m

【详解】解：因为fxmm1x是幂函数，所以m2m11，解得m1或m2，

fx1fx2

因为x1,x20,，都有0成立，所以该函数在0,是减函数，

x1x2

所以m1，故A，B错误；

1

fxx1，定义域为,00,，定义域关于原点对称，

x

1

又fxfx，所以fx是奇函数，故D正确，C错误.

x

故选：D.

3．已知幂函数f(x)m25m7xm1，且f(x)f(x)0．

(1)求f(x)的解析式；

11

(2)若函数g(x)，且g(a)g(b)，a，b均为正数，求f(a)f(b)4的最小值．

f(x)22

【答案】(1)f(x)x

(2)8．

【详解】（1）

2m1

因为幂函数f(x)m5m7x，所以m25m71，解得m2或m3．

当m2时，f(x)x，满足f(x)f(x)0，

当m3时，f(x)x2，不满足f(x)f(x)0，所以f(x)x．

（2）

11111

由（1）得g(x)．由g(a)g(b)，得．

x22a2b22

因为f(a)f(b)4ab4a2b2，

11b2a2

所以a2b22(a2b2)22．

a2b2a2b2

b2a2b2a2

又a，b均为正数，所以22，

a2b2a2b2

当且仅当ab2时，等号成立，

所以f(a)f(b)42(22)8，即f(a)f(b)4的最小值为8．

4．已知幂函数f(x)(3m22m)xm(mR)在定义域上不单调．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)函数f(x)是否具有奇偶性？请说明理由；

(3)若f(a1)f(2a3)0，求实数a的取值范围．

1

【答案】(1)f(x)；

3x

(2)奇函数，理由见解析；

23

(3)(,1)(,).

32

1

【详解】（1）由幂函数f(x)(3m22m)xm，得3m22m1，解得m1或m，

3

若m1，则f(x)x在定义域R内单调递增，不合题意；

1

11

若m，则f(x)x3在定义域,0,0,内单调递减，

33x

但f(x)在定义域,00,内不单调，符合题意；

1

所以函数f(x)的解析式为f(x).

3x

（2）函数f(x)为奇函数，理由如下：

函数f(x)的定义域,00,关于原点对称，

11

且f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数.

3x3x

（3）由f(a1)f(2a3)0及f(x)为奇函数，

得f(a1)f(2a3)f(32a)，

11

即a1332a3，

而fx在(,0)上递减且恒负，在(0,)上递减且恒正，

a10a10

a1023

所以32a0或32a0或，解得a1或a，

32a032

a132aa132a

23

所以实数a的取值范围(,1)(,).

32

考点四函数的应用（一）

1．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入成本为G（x），当年产量不足

110000

80千件时，Gxx210x（万元）；当年产量不小于80千件时，Gx51x1450（万元）．每

3x

件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生产中所获年

利润的最大值是（）

A．1150万元B．1000万元C．950万元D．900万元

【答案】B

【详解】∵每件商品售价为0.05万元，

∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，

①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入成本，

11

∴L(x)0.051000xx210x250x240x250，

33

112

当0＜x＜80时，Lxx240x250x60950，

33

∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(x)950万元；

1000010000

②当x80时，Lx0.051000x51．

xx

1000010000

∴当x80时，Lx1200x12002x12002001000，

xx

10000

当且仅当x，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)1000万元．

x

综合①②，由于950＜1000，

∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．

故选：B．

2．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳

个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算

公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所

得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）

为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：

级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数

10,3600030

236000,144000102520

3144000,3000002016920

LL

已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合

所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小

华全年应纳税所得额为t（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为y元，则yft；如果

小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税元.

0.03t,t0,36000

【答案】0.1t2520,t36000,1440003344

0.2t16920,t144000,300000

【详解】当t0,36000时，ft0.03t，

当t36000,144000时，ft0.1t2520，

当t144000,300000时，ft0.2t16920，

0.03t,t0,36000

故ft0.1t2520,t36000,144000；

0.2t16920,t144000,300000

小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额

t2200002200008%+2%+1%+9%5280060000456058640，

t5864036000,144000，故ft0.15864025203344，

故他全年应缴纳个税3344元.

0.03t,t0,36000

故答案为：ft0.1t2520,t36000,144000；3344

0.2t16920,t144000,300000

3．设矩形ABCD(ABCD)的周长为20cm，其中ABx，现将VABC沿AC向△ADC折叠至VABC的位

置，折过去后AB交DC于点P．

(1)设DPm，求m关于x的函数mfx的解析式及其定义域；

(2)求△ADP面积的最大值及相应x的值．

50

【答案】(1)fx10,定义域为5,10；

x

2

(2)△ADP的面积有最大值75502cm，此时x52cm.

【详解】（1）因为矩形ABCD(ABCD)的周长为20cm，ABx，则AD10x，

又ABAD，即x10x，又x10，5x10，

易知△ADP≌CBP，所以APCPxm，

222

在RtADP中，根据勾股定理得AP2AD2DP2，即xm10xm，

50

整理得m10,5x10，

x

50

故fx10，定义域为5,10.

x

11501500

（2）由题意，SADPADDP10x1015010x

22x2x

1500

150210x75502，当且仅当x52时，等号成立.

2x

2

所以，当x52时，△ADP的面积有最大值75502cm．

4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离x成反比，而每月的库存货物的运费y2与车

.

库到车站的距离x成正比如果在距离车站10公里处建立仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．

(1)分别求出y1和y2关于距离x的关系式；

(2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？

204

【答案】(1)y，yx．

1x25

(2)仓库应建在距离车站5公里处，此时最少费用为8万元．

k

【详解】（1）设y1，ykx，

1x22

k4

由题意可得：21，810·k，解得k20，k．

102125

204

所以y，yx.

1x25

（2）设这两项费用之和为fx，

204

则fxx.

x5

x>0，

204x

fx28，

x5

204x

当且仅当，即x5时取得等号．

x5

答：若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站5公里处，此时最少费用为8万元．

5．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出

了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩

大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产xxN*万件，

32000

需另投入成本Gx万元，且0x30时，Gx10x21600x；当x30时，Gx2020x6000，

x10

由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．

(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；

(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？

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