2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第16讲 指数及其指数运算（学生版）

第16讲指数及其指数运算

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1根式

(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(na)n＝a(a＞0使na有意义)；

当n为奇数时，nan＝a，

a,a0,

当n为偶数时，nan＝|a|＝

a,a0

知识点2分数指数幂

n

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是am＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

n

1*

正数的负分数指数幂的意义是am＝(a>0，m，n∈N，且n>1)；

nam

0的正分数指数幂等于0；

0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：

aras＝ar+s；

(ar)s＝ars；

(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

知识点3指数的运算和逆运算

1.指数幂的运算中常用的乘法公式

（1）完全平方公式：（a-b）2a22abb2；（a+b）2a22abb2；

（2）平方差公式：a2b2（a+b）（a-b）；

（3）立方差公式：a3b3（a-b）（a2+ab+b2）；

（4）立方和公式：a3b3（a+b）（a2-ab+b2）；

（5）完全立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

2.指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：

11111171215

例：aaaa2a4a8a248a8；4a3a2a4a34a12.

3.指数的逆运算过程：

1

111

1813234（-）4

（5）2（）2（）4（）2.

1616229

解题方法

因为xy12,xy9，

教材习题01

112

11

x2y2xy2xy12291

x2y2所以，

已知xy12，xy9，求的11

11xy2xy12293

22

x2y2xy

值．11

x2y23

故可得.

113

x2y2

3

【答案】

3

解题方法

1111

1231

23233

（）2583523

10.1250.5

教材习题0242723

计算：

1

525313

110.5.

1

23232222

2583；

(1)0.125

1022

427411113

（2）22218323

12

40122221

(2)222183．

22221

222214223

222121

.

3

【答案】(1)

2

(2)223

解题方法

1

1

（1）b332，b3323；

教材习题0332

把下列各式中的bb0写成负分数指数幂的形式：

（2）b43327，

3

；13

(1)b3211

b4()434；

(2)b433；2727

2n3m

2n3m（3）bπ，

(3)bπm,nN．

3m

1

b2nπ2n(m,nN)．

π3m

1

【答案】

(1)b323

3

(2)b34

3m

(3)2n

bπ(m,nN)

考点一指数与指数幂的运算

1．填空：

（1）27的3次方根表示为；

（2）a6的3次方根表示为；

（3）16的4次方根表示为．

2．计算：

1

；

(1)83

2

(2)273.

3．已知xx13x0，求下列各式的值：

11

；

(1)x2x2

11

；

(2)x2x2

33

；

(3)x2x2

33

(4)x2x2

4．化简（式中的字母均为正实数）：

11

22

1a2a；

(1)1

a1

1a2

b22b2

(2)．

b2b2

5．用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）：

(1)3m2；

3

(2)mnmn；

(3)a3a．

考点二根式的化简求职

1．化简：4(ab)8.

2．计算：532.

1

622

3．计算：32(3)23160.7552(45)2．

273

4．化简：

（1）4(a4)4（a4）；

（2）3(2a)3；

（3）a22a1（a1）；

（4）(a1)23a3（a1）.

5．求下列各式的值：

3242

（1）38；（2）10；（3）43；（4）ab.

考点三无理数指数幂的运算

1．用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）：

(1)a3a；

(2)a24a3；

(3)a3a．

2．求下列各式的值（式中字母都是正数）：

2

；

(1)83

3

164；

(2)

81

x2

(3)x2x；

x

x1y1

(4)；

xy

423375

(5)x5y34x4y23x5y8．

3．已知0a1，h0，对任意的实数u，求证：auhau2hauauh．

axax

4．设a0，a1，求证：函数f(x)（xR）是奇函数.

2

5．设a，b是正数，下列各题中的两个代数式是否恒等？为什么？

n11

（）m与nm；（）与；

1aaa2nn

aa

m

m

annn

（3）n与；（4）(ab)与ab.

aan

考点四分数指数幂与根式的互化

m

m

0n1

1．设a0，m，n是正整数，且n1，则下列各式nnm；；a；正确的个数是（）

aaa1nm

a

A．3B．2C．1D．0

2．利用分数指数幂计算：(3a3b)3a23ab3b2.

3．用分数指数幂表示下列各式：

（1）a（a0）；（2）3x2；

1

（3）；（4）x3（x0）；

3a

m2

（5）x4y3（y0）；（6）（m0）；

m

（7）3(ab)2；（8）(mn)2（mn）.

4．用根式的形式表示下列各式（a0）：

113733

（）；（）；（）；（）；（）；（）

1a22a53a44a55a56a2.

5．用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）：

（1）a2a；

1

（2）；

a3

（3）aa.

考点五指数幂的化简求值

1．求下列各式的值：

1；

(1)1002

2

；

(2)83

3

；

(3)92

3

14

(4).

81

y2xy2x

2．已知yx31，求的值．

yxyx

3．化简下列各式：

32

(1)532；

(2)42．

1

4．若2x2x5，求4x的值．

4x

1

5．已知a3，求下列各式的值：

a

（1）aa1；

（2）a2a2；

aa1

（）11

3.

a2a2

知识导图记忆

知识目标复核

1．根式的定义

2．分数指数幂的运算

3．实数指数幂的运算性质

4.无理数指数幂

一、单选题

x,x0

．已知函数fx，则（）

1xff4

21,x0

33

A．3B．C．3D．

44

2．下列各式正确的是（）

4

A．382B．12333

2

31

33n2

C．4xyxy4D．nm2

m

125

3．若3m5，3n6，则下列式子值为的是（）

36

mn1

325m6n3m2n32

A．B．3C．3D．3mn

2

4．3aa(a0)的分数指数幂表示为（）

．1．3．3．都不对

Aa2Ba2Ca4D

5．设m12b,n12b，那么n（）

m1m1m1m

A．B．C．D．

m1mm1m1

2

0.5

3

．计算：7210037（）

620.123

92748

A．0B．1C．100D．5

123

7．满足axbycz，0x,y,zR的有序实数组a,b,c可以是（）

xyz

A．4,3,2B．4,2,3C．3,9,2D．18,12,2

二、多选题

8．已知a3a33，下列各式正确的是（）

A．a23a237B．a33a3324

332331

C．22D．aa25

aa5a23a3

9．下列说法正确的是（）

A．481的运算结果是3

B．16的4次方根是2

C．当n为大于1的偶数时，na只有当a0时才有意义

D．当n为大于1的奇数时，na对任意aR都有意义

10．已知f2x1x，则下列函数值计算正确的有（）

A．f(1)2B．f(2)3C．f(3)1D．f(5)2

三、填空题

x

1

,x13

11．设函数f(x)2，则f．

2