2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第21讲 指数函数与对数函数-章末复习（教师版）

第21讲指数函数与对数函数

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1指数与指数函数

1.根式

(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

a,a0,

(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝

a,a0

2.分数指数幂

m

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意

m

1

义是an＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

nam

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

3.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>10<a<1

图象

定义域R

值域(0，＋∞)

性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x>0时，y>1；当x<0时，y>1；

当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1

在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数

4.常用结论

1

（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1，.

a

（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.

知识点2对数与对数函数

1.对数的概念

x

如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做

真数.

2.对数的性质、换底公式与运算性质

logNb

(1)对数的性质：①aa＝N；②logaa＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M

②loga＝logaM－logaN；

N

n

③logaM＝nlogaM(n∈R)；

nn

④logamM＝logaM(m，n∈R，且m≠0).

m

logaN

(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).

logab

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a>10<a<1

图象

定义域：(0，＋∞)

值域：R

性质

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；

当0<x<1时，y<0当0<x<1时，y>0

在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

4.反函数

x

指数函数y＝a(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

5.常用结论

①.换底公式的两个重要结论

1nn

(1)logab＝；(2)logamb＝logab.

logbam

其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.

②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

1

③.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，1，函数图象只在第一、四

a

象限.

知识点3函数的应用

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点⇔存在性定理)⇔

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间

(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数图象与零点的关系

Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx

＋c(a>0)的图象

与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无

零点个数210

3．几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

a

“对勾”函数模型y＝x＋(a>0)

x

4.三种函数模型的性质

函数

xn

y＝a(a>1)y＝logax(a>1)y＝x(n>0)

性质

在(0，＋∞)

单调递增单调递增单调递增

上的单调性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随x的增大，逐渐表随x的增大，逐渐表随n值变化而各有不

图象的变化

现为与y轴平行现为与x轴平行同

nx

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<x<a

5.二分法

1、二分法的定义：对于区间[a,b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数f（x）。通过不断把它的零点

所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。

2、二分法要点辨析：

（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；

（2）函数图象在零点附近连续不断；

（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如yx2，该函数有

零点0，但不能用二分法求解。

3、关于精确度

（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，

这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即ab＜；

“精确到”是指某区间数的数位达到某个规定的数位，

2

如计算1-，精确到0.01，即0.33。

3

（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分，此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该

区间内的任意一个数值作零点近似值。

解题方法

（1）解：因为函数ylog2x在0,上为增函数，

且3.48.5，所以，log23.4log28.5.

（2）解：因为函数ylog0.3x在0,上为减函数，

教材习题01

且1.82.7，所以，log0.31.8log0.32.7.

比较下列各题中两个值的大小：

（3）解：当0a1时，函数ylogax在0,上为

(1)log23.4，log28.5；

减函数，

(2)log0.31.8，log0.32.7；

因为5.15.9，所以，loga5.1loga5.9；

(3)loga5.1，loga5.9.

当a1时，函数ylogax在0,上为增函数，

因为5.15.9，所以，loga5.1loga5.9.

综上所述，当0a1时，loga5.1loga5.9；当a1时，

loga5.1loga5.9.

【答案】(1)log23.4log28.5

(2)log0.31.8log0.32.7

(3)答案见解析

解题方法

（1）lg10x1lgx113lgx，即2lgx2，即lgx1，

教材习题

02x10.

求下列各式中x的值：

（2）3lnx6lnx2lnx6lnx3，所以xe3.

lg10x13lgx；

(1)（3）

(2)3lnx6lnx；x1

lg22lgxlgx122lgx3lgx1lgx

x103

；1

(3)lg22lgx，所以

10x103.

1

(4)log2x．1lg2lgx11

x（4）logx2xlgxlg4lg，所以

22lgx24

1

x.

4

【答案】(1)10

(2)e3

1

(3)103

1

(4)

4

解题方法

设这种放射性物质的最初质量为1，经过x年后，剩留量为y，则有

教材习题03

x，

一种放射性物质不断变化为其他y0.75

1

物质，每经过一年，剩余质量约由题意得0.75x，

3

是原来的75%．经过多少年，该

即

1

物质的剩余质量是原来的？1

3lg

1lg3lg30.4771

xlog33.820

（lg20.3010，lg30.4771，0.753lg0.75lg3lg42lg2lg320.30100.4771

，

结果精确到0.001）

1

所以大约经过3.820年，该物质的剩留量是原来的.

3

【答案】3.820

考点一指对运算

1．[多选]下列运算正确的是（）

1

A．(0.25)2(5π)0210

2

0.52

3

．27493101

B(0.008)(π1)

89259

C．23a2b(6a3b)36a6b51

1

11

xx1

D．若22，则．

xx6x2x223

【答案】BD

【分析】由指数幂的运算性质对选项一一计算即可得出答案.

11

【详解】对于A，(0.25)2(5π)0210.511，A错误；

2

2

0.52

3

对于．2749310

B(0.008)(π1)

8925

22

3711471471

12512，B正确；

235259325939

211115

对于C，原式2a3b26a2b33a6b6

211115

[2(6)(3)]a326b2364ab04a，C错误；

112

11

对于，当时，221，得1，

Dx2x26xxx2x6xx4

2

由xx1x22x216，得x2x214，

xx141

所以，D正确．

x2x221423

故选：BD.

1

2

131

2．求值：3.

log25log220

278

3

【答案】/0.75

4

【分析】根据指数幂与对数运算的运算性质，准确计算，即可求解.

1

21

13111513

【详解】由333332.

log25log220[()][()]log232

278322044

3

故答案为：.

4

ln42

3．计算：elog525lg100lg2lg50(lg5)．

【答案】11

【详解】原式

22

44log552lg2(1lg5)(lg5)10lg2lg2lg5(lg5)

10lg2lg5(lg2lg5)10lg2lg511．

11

4．（1）已知2a5b1000，求的值；

ab

32

（2）已知32x43y126，求的值.

xy

1

【答案】（1）；（2）1

3

【分析】先利用指对互化，再利用换底公式化简.

【详解】（1）由已知，alog21000,blog51000，

11111

所以log10002log10005log10310.

ablog21000log510003

2x3y66

（2）因为3412，所以2xlog3126log312，解得x3log312，

6

3ylog4126log412，解得y2log412，

323211

所以log123log124log12121.

xy3log3122log412log312log412

5．计算：

7

(1)log352loglog7log1.8；

55355

(2)lg3535.

【答案】(1)2；

1

(2).

2

【分析】利用对数的运算法则结合对数的性质，计算求解.

【详解】（1）原式

9

log572log7log3log7loglog5log72log72log3log72log3log52.

5555555555555

12111

（2）原式lg3535lg3535295lg10.

2222

考点二最值问题

4xa

1．已知函数fx,gxx24x6.

2x

(1)当a1时，求fx在区间2,上的最小值；

(2)若x11,4，总存在x21,4，使得fx2gx1，求实数a的取值范围.

17

【答案】(1)

4

(2)160,0

【分析】（1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得fx在区间2,上的最小值.

（2）先求得gx的最大值和最小值，对a进行分类讨论，由此列不等式来求得a的取值范围.

4x11

【详解】（1）当a1时，fx2x，

2x2x

令t2x，则由x2,，可知t的取值范围为4,，

1

故原函数可化为ytt4，

t

1

由对勾函数性质，可知yt在4,上单调递增，

t

117

因此yt在t4时取到最小值，此时x2，

t4

17

所以当x2时，fx在x2,上取到最小值f2.

4

（2）依题意gx(x2)22，

故当x11,4时，g(x)ming22,g(x)maxg46.

因为x11,4，总存在x21,4，使得fx2gx1，

设fx在1,4上取值的集合为集合A，则有2,6A.

当a0时，显然有fx在区间1,4上单调递增，

aa

此时f(x)f12,f(x)f416，

min2max16

a

22

2

a

由2,6A,可知166，解得160a0;

16

a0

xa

当a0时，由基本不等式fx22a，当且仅当4xa时等号成立，

2x

因此有2a2，即0a1，

因为x1,4时，2x2,16，故0a1时，fx在[1,4]上单调递增，

aa

此时f(x)f12,f(x)f416，

min2max16

a

22

2

a

由此可得166无解，

16

0a1

综上，实数a的取值范围为160,0.

【点睛】方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最

小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况.

2．已知函数fx9xm3x1．

(1)若m1，求fx在区间2,1上的最小值；

x1

(2)设函数gx2，若对任意的x12,1，总存在x2R，使得fx1gx2，求实数m的取值范围．

5

【答案】(1)

4

242

(2)(,]．

9

1

【分析】（1）利用t3x换元，求得t,3，将函数化成二次函数的最小值求解；

9

（）由题意得，根据函数的单调性和奇偶性得，从而将问题转化成

2fx1mingx2mingx2ming02

x33

m3对任意的x2,1恒成立，通过换元t3x后，利用函数的单调性求出t的最小值即可.

3xt

【详解】（1）当m1时，fx9x3x1，

2

xx1215

令t3，因为x[2,1]，所以t3,3，且h(t)tt1t，

924

155

故当t时，ht取最小值，所以fx在区间2,1上的最小值为．

244

（2）若对任意的x12,1，总存在x2R，使得fx1gx2，

可得：．

fx1mingx2min

因gx2x1为偶函数，且在[0,)上为增函数，故在(,0]为减函数，

因x，则，于是对任意的，，

2Rgx2ming02x12,1fx12

则9xm3x12对任意的x2,1恒成立，

313

从而，x，设x，则，且≤，

m3xt3t,3mt

39t

31

令tt，t,3．

t9

111242

因为t在区间,3上为增函数，所以t27

9min999

242

所以实数m的取值范围是(,]．

9

2

xmx,0＜x113

3．已知函数fx的图象过点(，)，其中mR.

＜24

log2xx1,1x2

(1)求m及f2的值；

(2)求证：x(0,2]，都有xfxx2；

(3)记函数g(x)f(x)(xa)aR在(0,2]上的最大值为M(a)，当M(a)最小时，求a的值.

【答案】(1)m1，f24;

(2)证明见解析

(3)a1.

13

【分析】（1）由f，及函数解析式即可求解；

24

（2）由0x1和1x2两段讨论即可求证；

（3）构造hxfxx，求得其最值，进而可求解.

13

【详解】（1）由图象过点(，)，

24

1m3

可得：，解得：m1，

424

f2log22214;

x2x,0＜x1

（2）由（1）fx，

＜

log2xx1,1x2

当0x1时，0x21，∴xx2xx1x2，

当1x2时，0log2x1，∴xx1log2xx1x2，

综上，x(0,2]，都有xfxx2.

x2,0x1

（3）设hxfxx，则gxfxxahxa，

log2x1,1x2

∵x2在0,1单调递增，且在x1处取最大值1，

log2x1在1,2单调递增，且在x1处取最小值1，

∴hx在0,2单调递增，值域为0,2，故agx2a,

∴当a1时，此时a2a2a，故M(a)2a，

当a1时，此时a2aM(a)不存在，

∴当M(a)最小时，a1.

4x

4．已知函数fx．

4x

(1)用定义法证明fx在4,上的单调性；

(2)若函数gxlogafx，且gx在区间1,2上的最小值为1，求a．

【答案】(1)证明见详解；

3

(2)或3．

5

，，、

【分析】（1）任取x1x24且x1x2，然后利用作差法比较fx1fx2的大小即可判断函数的单

调性；

（2）由已知，对a的取值进行分类讨论，结合复合函数的单调性，判断函数的最小值，得到关于a的方程，

解出即可.

【详解】（1）fx在4,上单调递减，证明如下：

，，

任取x1x24且x1x2，所以4x10，4x20，x2x10，

4x14x24x14x24x24x18x2x1

则fx1fx2，

4x14x24x14x24x14x2

所以fx1fx20，即fx1fx2，

所以fx在4,上单调递减.

（2）当0a1时，ylogax在0,上单调递减，

由（1）可知fx在1,2上单调递减，所以函数gxlogafx在1,2上单调递增，

4153

所以x1时，函数gx取得最小值，即g1logaf1logaloga1，解得a；

4135

当a1时，ylogax在0,上单调递增，

由（1）可知fx在1,2上单调递减，所以函数gxlogafx在1,2上单调递减，

421

所以x2时，函数gx取得最小值，即g2logf2loglog1，解得a3；

aa42a3

3

综上所述，gx在区间1,2上的最小值为1，则a的取值为或3．

5

5．已知函数fxlogax（a0且a1）.

(1)若fx在区间a,2a上的最大值与最小值之差为1，求a的值；

2

(2)解关于x的不等式log1ax1log1ax.

33

1

【答案】(1)a2或

2

(2)答案见解析

【分析】（1）已知函数fx在区间a,2a上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对

值方程求解即可；

（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集.

【详解】（1）因为fxlogax在a,2a上为单调函数，

且函数fxlogax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为1，

所以loga(2a)logaaloga21，即loga21或loga21，

1

解得a2或a.

2

ylogx

（2）因为函数1是0,上的减函数，

3

1

x

ax10a

所以ax20，即axa，

2

ax1ax1xa1

1

当0a1时，1a，原不等式解集为；

a

11

当a1时，1a，原不等式解集为1,.

aa

1

综上可得：当0a1时，不等式解集为；当a1时，不等式解集为1,.

a

6．已知函数fx32logax(a1)在2,4上的最大值与最小值之差为2．

(1)求实数a的值；

2

(2)若对任意x1,4，都有fxfxklog2x，求实数k的取值范围．

【答案】(1)a2

(2),3．

【分析】（1）利用函数单调性确定最大值与最小值，列式求解即可；

（2）令tlog2x，将问题转化成34t3tkt对任意的t0,2恒成立，通过参变分离，结合基本不等

式求解即可.

【详解】（1）a1时，函数fx在区间2,4上单调递减，

所以f(x)maxf(x)minf2f432loga232loga42loga22，

解得a2．

（2）由（1）知fx32log2x．

22

由fxfxklog2x，得32log2x32log2x34log2x3log2xklog2x．

令tlog2x，当x1,4时，t0,2，

所以34t3tkt对任意的t0,2恒成立，

34t3t4t215t99

所以k4t15，

ttt

9993

因为4t24t12（当且仅当4t，即t时取等号），

ttt2

9

所以4t1512153，

tmin

所以k3，即k的取值范围为,3．

考点三不等式问题

1．当0xy1时，下列不等式中正确的是（）

1y

xyxy

．．．y．

A(1x)y(1x)yB(1x)(1y)C(1x)(1x)2D(1x)(1y)

【答案】D

【分析】根据不等式的性质，结合幂函数以及指数函数的单调性，逐项检验，可得答案

1

【详解】对于A，由0xy1，则1x1，1y，

y

1

ty

易知函数ft1x在R上单调递减，所以1x1xy，故A错误；

yx

对于B，由0xy1，则1x1y，易知1y1x，故B错误；

y

对于C，由0xy1，则1x1，y，

2

y

ty

易知函数ft1x在R上单调递减，所以1x1x2，故C错误；

对于D，由0xy1，则11x1y0，

ty

易知函数ft1x在R上单调递减，函数gtt在0,上单调递增，

所以(1x)x(1x)y(1y)y，故D正确；

故选：D.

12

xx,x0,2

2

2．定义域为R的函数fx满足fx42fx，当x0,4时，fxx3，若x8,4

1

,x2,4

3

m11

时，fx，则实数m的取值范围是（）

4m

A．,20,2B．2,2

C．2,0U0,2D．2,02,

【答案】A

m11

【分析】结合题意求出函数fx在区间8,4上的最小值，根据题意得出fx，解该不等

min4m

式即可得解.

m11m11

【详解】当x8,4时，fx恒成立，则fx，

4mmin4m

因为定义域为R的函数fx满足fx42fx，

12

xx,x0,2

2

当x0,4时，fxx3，

1

,x2,4

3

当x8,6时，x80,2，

11112121

则fxfx4fx8x8x8x8x8

244284

121121

x82x81x7，

8888

1

因为1x71，此时fxf7；

8

当x6,4时，x82,4，

x83x5

111111

则fxfx4fx8，

244343

x5

111

因为1x51，则0x51，则1，所以fxf5，

334

1

所以，函数fx在8,4上的最小值为fxf5，

min4

m111m1m24

所以，fx，即0，即0，解得m2或0m2.

4mmin44m4m

因此，实数m的取值范围是,20,2.

故选：A.

3．已知函数fx1lgx3.

(1)求不等式0fx1的解集；

(2)若函数g(x)f(x)f(xa1)的图象经过原点，求gx在x[0,1]的值域.

【答案】(1)1,8

(2)[0,lg3]

【分析】（1）求出fx的解析式，再解对数不等式即可；

（2）根据图象经过原点可求得a的值，结合单调性即可求值域.

【详解】（1）由fx1lgx12，得fxlgx2，

由0fxlgx21，得1x210，即1x8，

所以不等式0fx1的解集为1,8.

（2）由题意得g(x)f(x)f(xa1)，

由g(0)f(0)f(0a1)lg2lg(a3)0，得a1，

即g(x)lg(x2)lg(2x)，

因为g(x)lg(x2)lg(2x)在0,1上是增函数，

所以g(0)g(x)g(1)0g(x)lg3，即gx在0,1上的值域为[0,lg3].

3x11x

4．设函数fxlog.

13x31x

(1)判断函数yfx的奇偶性，并证明；

(2)判断函数yfx的单调性，并利用定义加以证明；

(3)若ft2t0，求实数t的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)增函数，证明见解析

1515

(3),10,

22

【分析】（1）先利用对数函数的性质建立不等式求出定义域，再结合奇函数的定义证明即可.

（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论即可.

（3）利用奇函数的性质得到f00，结合fx的单调性和对数函数的性质将目标式合理转化，再求解参

数范围即可.

1x

【详解】（1）由