第07讲等腰三角形的性质与判定（4大知识点11大典例变式训练过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新八年级数学衔接讲义（浙教版2024）

第07讲等腰三角形的性质与判定（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）典型例题一等腰三角形的定义典型例题二等边对等角典型例题三三线合一典型例题四根据等角对等边证明等腰三角形典型例题五根据等角对等边证明边相等典型例题六根据等角对等边求边长典型例题七作等腰三角形(尺规作图)典型例题八格点图中画等腰三角形典型例题九找出图中的等腰三角形典型例题十等腰三角形的性质和判定典型例题十一等边三角形的判定和性质知识点01等腰三角形的概念与性质等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．【即时训练】【答案】D【分析】本题考查等腰三角形，根据等腰三角形的两腰相等，分两种情况进行讨论求解即可．故选D．【即时训练】【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键．①当为腰时，∴该等腰三角形底边长为2．故答案为：2．知识点02等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．【即时训练】A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．故选：A．【即时训练】2．（2425八年级上·浙江宁波·课后作业）如图，墨汁遮住了三角形的一部分，则这个三角形可能是．（填其所有可能性的序号）①直角三角形；②等腰三角形；③钝角三角形；④等边三角形【答案】②③【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握知识点是解题的关键．由图可知可能为钝角三角形或等腰三角形．【详解】解：由三角形中有一个角是钝角知该三角形可能为钝角三角形，另外两个锐角可能相等，故可能为等腰三角形，故答案为：②③．知识点03等边三角形的概念与性质1.等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.注意：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°【即时训练】A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】本题考查的是等边三角形的性质，根据等边三角形的三边相等可得答案．故选：C【即时训练】【答案】2【分析】根据等边三角的性质，即可求解．故答案为：2【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，熟练掌握等边三角的性质是解题的关键．知识点04等边三角形的判定（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【即时训练】【答案】B【详解】解：如图，连接，故选：B．【即时训练】【答案】【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键．故答案为：．【典型例题一等腰三角形的定义】【例1】（2324八年级上·福建漳州·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（

）A．9 B．12 C．9或12 D．以上都不是【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．故选：B．【答案】B【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．∴不满足三角形的三边关系，不能围成三角形；故选：B．【答案】【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可．∴此时能构成三角形，∴此时不能构成三角形，故答案为：．【答案】故答案为：．A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分情况取不同的三角形，进行拼接，再由等腰三角形的定义判断即可得解．将与拼接在一起，如图所示：，将与拼接在一起，如图，，，，，，综上所述，拼成的等腰三角形有种，故选：D．【答案】或故答案为：或．3．（2425八年级上·陕西榆林·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法固式分解，下面是甲、乙两让同学对多项式进行因式分解的过程．两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并解答以下问题：【分析】本题考查分组分解法因式分解，利用完全平方公式因式分解，等腰三角形的定义，三角形三边关系，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据题干所提供的方法，结合分组分解法的分组原则进行解答即可；∵1，1，3不能构成三角形，1，3，3能构成三角形，【典型例题二等边对等角】其中，真命题的个数有（

）．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及边角关系定理；根据等腰三角形的性质及边角关系定理逐一判断四个命题的真假即可．综上，四个命题均为真；故选：A．A． B． C． D．【答案】B故选：B．【答案】故答案为：．【答案】故答案为：A． B． C． D．【答案】D故选：D．【答案】10【分析】本题考查了勾股定理，中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）利用勾股定理求解即可；故答案为：；∵为斜边上的高，∵点分别是的中点，故答案为：．3．（2425七年级下·上海·期末）小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想．求证：__________证明：【答案】见解析【典型例题三三线合一】【答案】B故选：B．A．等角对等边 B．两点之间线段最短C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短【答案】C【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质进行求解即可．依据是等腰三角形三线合一的性质．故选C．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；【详解】解：如图，连结，

故答案为：．【答案】10故答案为：．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可．条件不足，无法求出的度数，故错误；故选：C．【答案】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定及性质．点是的中点，故答案为：．【答案】(1)见解析【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．【典型例题四根据等角对等边证明等腰三角形】【例1】（2425八年级上·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝6cm，则AC的长为（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】C【分析】根据等腰三角形的“等角对等边”求解即可．【详解】∵在△ABC中，∠B＝∠C，∴AB=AC，∵AB＝6cm，∴AC=6cm,故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的“等角对等边”，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG=EB，DF=DC即可求得结果．∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，∴BD=DF，CE=GE，∵FG=2，ED=6，∴DB+EC=DF+GE=EDFG=62=4．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．【例3】（2425八年级上·浙江宁波·课后作业）等腰三角形的判定定理是．【答案】等角对等边【分析】根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等进行求解即可．【详解】解：等腰三角形的判定定理是：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即等角对等边故答案为：等角对等边．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定定理，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的判定定理．【答案】7【分析】由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC＝4，再证明BE＝AB＝3，即可求出BC的长，进而可求出AD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD，ADBC，AD＝BC，∵ED＝5，CD＝3，∴EC2＝DE2−CD2＝25−9＝16，∴CE＝4，∵ADBC，∴∠AEB＝∠DAE；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝CD＝3，∴BC＝BE＋EC＝7，∴AD＝7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定．A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】本题考查三角形的内角和以及等腰三角形的判定，解答关键是利用三角形内角和求出相关角度，找出相等的角度．故图中有6个等腰三角形，故选：C．【答案】①②③∴∠ABE＝∠BED，∵把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处，∴∠BED＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB，故①正确；∴∠ACD=∠D=90°，∵AC＝BD，∴CE•ACCE•BD，即S△ACE＝S△BCE，∴S△ACE﹣S△CEF＝S△BCE﹣S△CEF，∴S△BEF＝S△ACF，故②正确；∵BD⊥CD，把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处，∴∠BFE＝∠D＝90°，∴∠ABF＝90°﹣∠FAB，∴∠CAE＝90°﹣∠FAB，∴∠CAE＝∠ABF，∵∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，在△ACE和△BFA中，∴△ACE≌△BFA（AAS），故③正确；若BE＝CE，则∠ECB＝∠EBC，而∠ECB＝∠ABC，∠EBC＝∠EBD，∴∠ABC＝∠EBC＝∠EBD，∵∠ABC+∠EBC+∠EBD＝90°，∴∠ABC＝∠EBC＝∠EBD＝30°，∴BDBC，但根据已知不能得到BDBC，故④不正确；综上分析可知，正确的有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质、三角形面积、翻折的性质等知识，解题的关键是掌握翻折性质，证明△ACE≌△BFA．(2)【分析】本题考查等腰三角形的判定，与角平分线有关的计算，含30度角的直角三角形的性质：（2）根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．【典型例题五根据等角对等边证明边相等】A．2 B．3 C．4 D．7【答案】B【详解】解：如图：故选：BA．9 B．11 C．12 D．13【答案】C∵过点D作的平行线交于点E，交于点F，故选C．

【答案】

故答案为：

【答案】故答案为：【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线的性质与等角对等边是解本题的关键．A． B． C． D．【答案】B故选：B．【答案】、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，故答案为：．【答案】见解析【典型例题六根据等角对等边求边长】A．14 B．16 C．20 D．24【答案】C故选：C．A．7 B．6 C．9 D．【答案】B【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 即图中阴影部分的周长为6，故选择：B．【答案】4【分析】本题考查了中位线定理，角平分线的定义，等角对等边，解题关键是利用等角对等边证明相关线段相等．故答案为：4．【例4】（2324七年级下·山东东营·开学考试）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为海里．

【答案】90∵向北的方向线是平行的，故答案为：90．【答案】C故选：．【详解】解：∵从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，(2)若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度．（结果精确到）【答案】(1)见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【典型例题七作等腰三角形(尺规作图)】A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】利用基本作图（过已知直线上一点作直线的垂线）可判断②错误．【详解】有错误的一步是②，应该为过D点作MN⊥AD．故选B．【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【详解】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．故选D．【例3】（2425八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，∠PAQ＝18°，点B是边AP上（不同于点A）的一个点，现以点B为圆心，AB长为半径画弧与AQ交于点C（不同于点A），再以点C为圆心，CB长为半径画弧与AP、AQ分别相交于点D（不同于点B）、E，连接DE，则∠AED的度数是．【答案】63°【详解】解：如图，连接CD，∵AB＝BC，故答案为：．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及对于三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和的应用.【例4】（2425八年级上·福建宁德·期中）已知A（2，0），B（0，2），在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，则M点的坐标为（任写一个）．【分析】画AB的垂直平分线交x轴于一点，再以点A为圆心，AB为半径画弧交x轴于两点，最后以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于一点，分别写出点坐标即可．【详解】如图所示，【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质、分类讨论、数形结合等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．1．（2425八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N，作直线MN交BC于点D，连接AD若△ABC的周长为21，AB=7，则△ADC的周长为（

）A．28 B．24 C．18.5 D．14【答案】D故选D.2．（2425八年级上·浙江杭州·期末）如图，，是已知圆上两点，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，（保留作图痕迹），这样的三角形能作______个．【答案】【分析】①求作以为一腰的圆内接等腰三角形的个数；②可以分别以、为圆心,以为半径画弧,与圆相交,分别连结、与其交点,即可得到三角形.【详解】①当以为一腰时，有两个等腰三角形可以作：分别以、两点为圆心，长为半径画弧交圆于、两点，如图：②当以为底边时，有两个等腰三角形可以作：作的垂直平分线交圆于、两点，如图：∴这样的三角形能作个.故答案是：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的作法.这类题目是一些基本作图的综合应用.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.【答案】作图见解析【典型例题八格点图中画等腰三角形】A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．【详解】解：如图所示，分以下情况讨论：故选：A．A．8 B．6 C．4 D．7【答案】C【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形．【详解】解：如图，当AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．【例3】（2425八年级上·山东青岛·期末）如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝°．【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD，【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．【例4】（2425七年级下·山西·期末）已知有6个点按如图所示的方式摆放，把这些点作为三角形的顶点，可以画个等腰三角形．【答案】11【分析】根据等腰三角形的性质画出等腰三角形即可；【详解】由图可知，每两个点之间的距离相等，所以等腰三角形分别是△ABC、△AEF、△BDE、△CFD、△EFD、△AOB、△BOC、△COA、△EOD、△DOF、△EOF．故答案为：11．【点睛】通过等腰三角形的性质和点的特征进行判断是解题的关键．1．（2425八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在正方形网格中，网格线的交点称为格点，如图是3×3的正方形网格，已知A，B是两格点，C是不同于点A和B的格点，下列说法正确的是（

）.A．ΔABC是直角三角形，这样的点C有4个B．ΔABC是等腰三角形，这样的点C有4个C．ΔABC是等腰直角三角形，这样的点C有6个D．ΔABC是等腰直角三角形，这样的点C有2个【答案】C【分析】运用分类讨论思想，分别画出满足ΔABC是等腰三角形和ΔABC是等腰直角三角形的点，则问题可解.【详解】解：当ΔABC是等腰直角三角形时，如图：分情况讨论①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故构成等腰直角三角形的点一共有6个．故ΔABC是直角三角形的点也有6个.当ΔABC是等腰三角形时，如图，分情况讨论①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故构成等腰三角形的点一共有8个．故应选C【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定，解答关键是应用分类讨论的数学思想解决问题.【分析】分别以A，B为圆心，AB为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可．【详解】①如图，以A为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有5个；②如图，以B为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有3个；③如图，在AB的垂直平分线上时，无符合题意的格点；综上，符合题意的格点共有8个，【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键．【详解】（1）解：如图，点为所求，（2）解：如图，（3）解：如图，【典型例题九找出图中的等腰三角形】【例1】（2425八年级上·湖北黄冈·期中）如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】根据等边对等角求出∠C，再根据三角形的内角和定理求出∠ADE，∠AED，∠BAD的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAD，∠CAE的度数，从而得到相等的角，根据相等的角找出等腰三角形即可得解．【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠C＝∠B＝36°，∵∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠BAD＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∴∠DAE＝36°，∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，∴∠BAE＝∠CAD＝36°+36°＝72°，等腰三角形有：△ABD、△ADE、△ACE、△ABE、△ACD、△ABC共6个．故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，根据等边对等角和三角形外角性质求出图中的角度是解决本题的关键.

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】作出图形，以AB为底边与腰长两种情况确定出点P的位置，即可得解.【详解】

如图：符合条件的点P共有6个.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质定理，坐标与图形性质，根据坐标特征确定等腰三角形是解题的关键.【答案】3【分析】先标出图三交点的字母,然后根据对称的性质便可求解．【详解】解：图三标上字母如图所示故答案为：3．【点睛】本题考查等腰三角形的判断，以及对称平移变换，属于基础题．【例4】（2425八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有个．【答案】7【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可．

D．作图痕迹没有依据，D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断．2．（2425八年级上·北京大兴·期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有个.

【答案】5【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如图，如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC．【详解】分三种情况讨论：①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，

②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，

③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，故答案为：5．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，P是菱形对角线上的一点，连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F．【答案】(1)详见解析【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键．（2）利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的判定可得出结论．（2）解：如图2，【典型例题十等腰三角形的性质和判定】【答案】B故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线的有关计算，掌握这些知识是解题的关键．A．5条 B．4条 C．3条 D．2条【答案】B【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可．这样的直线最多可画4条．故选：B．【答案】2本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，故答案为：2．【分析】【详解】A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C连接，，连接，，，，综上所述，正确的个数为个，故选：C．【答案】故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．①探究与的数量关系，并说明理由；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键．（2）解：连接交于点O，【典型例题