专题1.5二次函数的性质（知识梳理题型精析练习）基础知识专项突破讲练（浙教版2024）

专题1.5二次函数的性质目录TOC\o"12"\h\u一.知识梳理与题型精析 1【题型1】一般式化为顶点式 2【题型6】抛物线与坐标轴交点坐标 15【题型7】待定系数法求二次函数解析式（一般式） 17【题型8】待定系数法求二次函数解析式（顶点式） 18【题型9】待定系数法求二次函数解析式（两根式） 19【题型10】二次函数图象与各项系数符号 21【题型11】由二次函数图象判断式子的符号 23【题型12】二次函数的平移 27【题型13】利用二次函数图象求一元二次不等式解集 30二．同步练习​ 321.基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 322.能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 483.直通中考（选择题6题，填空题6题，解答题2题） 69一.知识梳理与题型精析【题型1】一般式化为顶点式【分析】本题主要考查将抛物线化为顶点式，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据顶点式进行配方即可得到答案．【分析】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】A【分析】本题考查了求二次函数顶点坐标，用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．用配方法把二次函数一般式化为顶点式即可得到答案．故选：A．1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．（1）在平面直角坐标系中利用描点法画出此二次函数的图象；…………【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（1）根据列表，描点，连线即可作图；（2）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解．解：（1）解：补充表格如下：…………画出抛物线如图所示．（1）求出抛物线顶点坐标和与x轴的交点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征：（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象．（2）解：列表如下：描点、连线，如图所示：【答案】①③④【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意画出对应的函数图象，再利用函数图象进行求解即可．故答案为：①③④．函数图象开口方向向上向下对称轴顶点坐标增减性最大（小）值【答案】C故选：C．【变式2】（2425九年级上·江苏无锡·期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y的值随着x值增大而减小的二次函数表达式【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点．∵对称轴右侧y的值随着x值增大而减小，∵图像过点，【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标；∴离对称轴越远，函数值越大，故的值为或．【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围．故选：A．【答案】1故答案为：1．（1）求这条抛物线的解析式；（2）解：设抛物线与轴的另一个交点为，【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数的顶点式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及性质是解答本题的关键．故答案为：B．【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于的一元一次不等式．∴点离对称轴更近，【题型6】抛物线与坐标轴交点坐标（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点．（2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．此抛物线与x轴必有两个不同的交点．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D所以，抛物线与x轴有两个交点；所以，抛物线与y轴有1个交点，所以抛物线与坐标轴有3个交点．故选：D．【答案】4故答案为：4．【题型7】待定系数法求二次函数解析式（一般式）【分析】本题考查了求二次函数的表达式．【答案】9【分析】本题主要考查看运用待定系数法求函数解析式、求函数值等知识点，求得函数解析式成为解题的关键．解：由题意可得：故答案为：9．（1）试确定此二次函数的解析式；【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式；【题型8】待定系数法求二次函数解析式（顶点式）【答案】【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得．故答案为：．【题型9】待定系数法求二次函数解析式（两根式）（1）求这个二次函数的解析式；（2）指出它的对称轴和最值．【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．（2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案．∴函数有最小值为．【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解题的关键是根据抛物线与轴的交点设出合适的函数表达式形式．项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0（a，b同号）对称轴在y轴左侧ab＜0（a，b异号）对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b24acb24ac=0与x轴有唯一交点b24ac＞0与x轴有两个交点b24ac＜0与x轴没有交点【题型10】二次函数图象与各项系数符号【答案】二解：由图象知，二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，故答案为：二．【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．故选：B．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，根据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，代入即可判断的正负．解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，故答案为：；．【题型11】由二次函数图象判断式子的符号

A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D解：抛物线开口向下，抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，抛物线与轴有两个交点，综上所述，正确的有③④，故选：DA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B解：由题意，∵抛物线开口向下，图象与轴交于正半轴，正确的有①②⑤，共个．故选：B．上述结论中，所有正确结论的序号是．【答案】①②【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．故抛物线与轴的另一个交点在和之间，∵抛物线的开口向下，故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小，综上，结论正确的有①②．故答案为：①②．二次函数的平移是指将抛物线沿着平面直角坐标系的水平方向（轴）或垂直方向（轴）移动，平移过程中抛物线的形状和开口方向不变（即二次项系数的值不变），仅位置发生改变。解题过程中首先将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，再利用其横坐标遵循“左加右减”和纵坐标规律是“上加下减”规律.【题型12】二次函数的平移（1）写出函数的顶点坐标；【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键．（1）根据函数图象的最高点得到顶点坐标；（3）根据抛物线的图象，得到在x轴上方的自变量x的取值范围解答即可．【答案】A将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：故选：A．【答案】5【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．故答案为：5．二次函数与一元二次不等式的关系紧密，解一元二次不等式的核心是借助二次函数的图象（抛物线），通过数形结合求出其解集：【题型13】利用二次函数图象求一元二次不等式解集（1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．解得：．【分析】本题主要考查，图象法解一元二次不等式，一元二次方程与二次函数综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）根据不等式的解集即为二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围求解即可；【答案】C故选：C．二．同步练习​1.基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）一、单选题A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，进而可得二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标即可得到答案．故选：A．【答案】C【分析】根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．故离对称轴越远处的点的函数值越小，距离由近到远依次为、、，故选：C．A． B． C． D．【答案】D故选：D．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值．∴两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的顶点为最高点，所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1．故选：B【答案】C故选：C．A． B．7 C． D．9【答案】C故选：C．【答案】C故答案选C【答案】D即点B到x轴的距离为，故选：D．二、填空题x﹣2﹣10123y﹣16﹣6020﹣6根据表格中的数据，画出函数的大致图象如下：【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象法是解题关键．【答案】①②③④解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴，故④正确，综上所述，正确的有：①②③④；故答案为：①②③④．【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【答案】故答案为：．

【答案】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，

故答案为：．【答案】故答案为：．【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可．【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．三、解答题（1）求函数表达式；【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质．（1）求与的值．【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．（1）求二次函数的对称轴．（3）若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围．【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键．（1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可；（3）解：∵二次函数的图象与轴有交点，（1）下列是平衡点的是______；（填序号）【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程，对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可；故答案为：①④；能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）一、单选题【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性增减性，是解题的关键．故选：D．A．或 B．1 C． D．或【答案】D【分析】该题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．将已知抛物线化为顶点式，确定顶点坐标，根据对称性得到另一条抛物线的顶点坐标，利用顶点间距离建立方程求解．∵它们的顶点相距4个单位长度，∴的值为或，故选：D．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键．故选：B．A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，关键是利用A、B两点的坐标与对称轴的关系中找出b与c的联系，然后利用判别式可以解决问题．∵该二次函数的图象与x轴有公共点，故选C．A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7【答案】D∵对称轴在y轴的右侧，∴该二次函数有最小值7，故选：D【答案】D故选：D．【答案】A故选：A．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，根的判别式，抛物线的增减性等解答即可.解：根据抛物线与x轴有两个不同的交点，故正确；∴，∴；∴,故⑤正确，根据图象，得故②错误；故③正确；故④正确；故选：A．【点拨】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，根的判别式，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键.二、填空题【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即可．∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1，∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，【答案】∵不等式组的无解，∴整数a为，，，，，故答案为：．【答案】故答案为：．∴距离更远，∴最大值与最小值的差小于等于，（1）抛物线的对称轴是直线．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（）由题意直接求解即可；故答案为：；由图可知，当点在点下方（包括点）时，抛物线与线段恰有一个公共点，∴抛物线与线段无公共点，解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，【点拨】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．三、解答题（1）求的值；【答案】（1）的值为1，的值为；（2）2025【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，根与系数的关系，解题的关键是掌握以上知识点．（1）利用待定系数法求解即可；故的值为1，的值为；（1）求抛物线的函数表达式．【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及求二次函数表达式、图形平移及函数关系，解题的关键是利用交点坐标求函数表达式，结合平移规律和抛物线性质建立函数关系．（1）先根据抛物线求出、两点坐标，再将其代入抛物线的表达式，解方程组得到、的值，确定的表达式．将点的坐标代入抛物线的表达式，将点的坐标代入抛物线的表达式，①求抛物线的顶点坐标．∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6，【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．①求的值．②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值．【分析】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．∵新抛物线的顶点到轴的距离为1，∴抛物线开口向上，∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，3.直通中考（选择题6题，填空题6题，解答题2题）一、单选题【答案】D∵抛物线与轴的交点位于轴下方，∴抛物线与轴有两个不同的交点，∴抛物线开口向上，故选：D．【答案】C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方