专题11.4乘法公式(含2课时)（高效培优讲义）数学沪教版2024七年级上册

专题11.4乘法公式(含2课时)教学目标了解平方差公式、会用平方差公式进行运算；平方差公式的应用；了解完全平方公式、会用完全平方公式进行运算；完全平方公式的应用。教学重难点1.重点（1）运用平方差公式、完全平方公式运算，含简便运算；（2）根据乘法公式求值、求参数值、求代数式的值等；（3）乘法公式的几何应用。2.难点（1）有关乘法公式的化简、变形等问题；整体思想、构造思想等；（2）乘法公式的综合应用。知识点1平方差公式1.思考(a+b)(ab)的结果有什么特征?(a+b)(ab)=a²ab+abb²=a²b²,即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差.平方差公式：(a+b)(ab)=a²b².2.思考分别计算图1121(1)(2)中涂色组合图形的面积，你能从中发现平方差公式吗?满足平方差公式特征的整式乘法，可以用平方差公式直接写出运算结果.要点：在这里，既可以是具体数字，也可以是整式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：【即学即练】1．计算：【分析】本题考查了平方差公式运算；掌握平方差公式是解题的关键．2．计算：(3)13【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．（1）直接利用平方差公式求解即可；（2）直接利用平方差公式求解即可；（3）直接利用平方差公式求解即可；（4）直接利用平方差公式求解即可．（3）解：133．用简便方法计算：(2)1【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，将原式化成含有平方差公式的形式是解题的关键．（1）运用平方差公式进行简便运算即可；（2）先对原式进行变形，然后再运用平方差公式进行简便运算即可．．4．下列各式可以用平方差公式计算的是（

）【答案】B故选；B．5．如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式．（请用含a，b的等式表示）∵两幅图中阴影部分面积相等，知识点2完全平方公式1.思考(a+b)²和(ab)²的结果有什么特征?(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²；(ab)²=(ab)(ab)=a²abab+b²=a²2ab+b²,即两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方的和，加上(或减去)这两个数的积的两倍.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(ab)²=a²2ab+b².2.思考你能分别根据图1122(1)(2)中涂色组合图形的面积计算发现两个完全平方公式吗?对于满足完全平方公式特征的整式乘法，可以利用完全平方公式直接写出运算结果.平方差公式与完全平方公式是常用的乘法公式.要点：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：3.补充公式【即学即练】1．计算：【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可；（3）根据完全平方公式计算即可；（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键．2．运用完全平方公式计算：【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟记完全平方公式．3．先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y），其中x=2，y=1．【分析】首先对中括号内的式子用完全平方公式和平方差公式计算，合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则以及完全平方公式，平方差公式的运算法则是解题的关键．4．下列不能用完全平方公式计算的是（

）【答案】C【分析】本题主要考查了完全平方公式计算，根据可以用完全平方公式计算的式子必须是两个数的和（差）的平方的形式即可得出答案．故选：C．A． B．0 C．4 D．【答案】D∴的取值为，故选：D．【答案】故答案为：．题型01利用平方差公式计算【典例1】．利用平方差公式计算：【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可．（2）根据平方差公式进行计算即可；（3）根据平方差公式进行计算即可；本题主要考查了整式的乘法，解题关键是熟练掌握平方差公式．【变式1】．运用平方差公式计算：【分析】此题考查了用平方差公式计算，熟练掌握公式是解本题的关键．（1）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果；（2）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果；（3）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果；（4）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果；（5）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果．【变式2】．填空：【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．（1）根据平方差公式结构特征解答即可；（2）根据平方差公式结构特征解答即可；（3）根据平方差公式结构特征解答即可；（4）根据平方差公式结构特征解答即可．（5）根据平方差公式结构特征解答即可；（6）根据平方差公式结构特征解答即可．【答案】C根据平方差公式即可进行解答．故选：C．题型02辨析是否能用平方差公式计算【典例1】．下列各式可以用平方差公式计算的是（

）【答案】B故选；B．【变式1】．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）【答案】D【分析】本题考查平方差公式的应用，判断各选项是否符合“和与差的乘积”结构即可．故选：D．题型03平方差公式求值问题【答案】7．【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据平方差公式进行化简，去括号，然后合并同类项，最后将和的值代入即可求解．题型04平方差公式的简便运算【典例1】．用简便方法计算：【答案】(1)25000(2)1【分析】该题考查了运用平方差公式进行简便计算．（1）根据平方差公式可以化简题目中的式子即可解答．（2）根据平方差公式可以化简题目中的式子即可解答．．【变式1】．用简便方法计算：【答案】(1)6399【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行简便运算，将原式进行正确的变形是解题的关键．（1）利用平方差公式计算即可；（2）利用平方差公式计算即可．【变式2】．利用平方差公式计算．(3)1【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．（1）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；（2）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；（3）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；．题型05利用平方差公式求代数式的值A．24 B．16 C．8 D．4【答案】B故答案为：B．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便．A．5 B．10 C．15 D．25【答案】D【分析】借助已知条件a−b=5，原式利用平方差化简边代入边求解即可．【详解】解：∵a−b=5，∴原式故选：D．【点睛】此题考查平方差公式，熟悉平方差公式及代数式求值技巧是关键，此题主要是边代入边求解．A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】根据平方差公式即可求解．故选：B．题型06多重平方差公式【分析】本题主要考查了平方差公式，先利用平方差公式计算前两项的乘积，再继续用平方差公式一步步计算即可得到答案．A．1 B．316216 C．332+232 D．332－232【答案】B【分析】根据含乘方的有理数的计算法则和平方差公式进行求解即可.故选B.【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数乘法计算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式.【答案】C【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可．故答案为：C．【点睛】此题主要考查平方差公式的运算，解题的关键是根据式子的特点进行添项．【分析】此题考查了平方差公式，首先利用平方差公式的逆运算求解，然后计算乘法即可．题型07平方差公式的代数应用【分析】本题考查了平方差公式的应用；【答案】B【分析】利用平方差公式，积的乘方，零指数幂等知识将各数进行计算求出结果进行比较即可．故选：．【点睛】本题考查有理数的大小比较，平方差公式，积的乘方，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键．【答案】A【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．所以原式能被8整除．故选A．题型08平方差公式的几何应用【典例1】．根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是．【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正确得出图形面积是解题关键．直接利用已知图形面积进而分析得出公式．【变式1】．如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积是5【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD）＝（AB﹣BE）（BC+BD）＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×10＝5．答：阴影部分的面积是5．【点睛】本题主要考查平方差公式与三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键．【变式2】．我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（

）【答案】B【分析】本题主要考查了平方差公式，故选：B．题型09平方差公式的综合应用【典例1】．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作可以得到一个公式：；(2)【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提．；【变式1】．乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的面积是_________（用a，b表示，并写成整式乘法的形式），(3)比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________（用等式表达）．(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，代数式表示式，整式的混合运算，利用数形结合求解是解题关键．（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）利用等面积法建立等式就可得出公式；【变式2】．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请直接用含a，b的代数式表示______，_______；写出上述过程所揭示的乘法公式：_________．（1）分别根据图1、图2的图形特征，用面积公式表示出、，再通过面积相等得出乘法公式．【详解】（1）解：图1中阴影部分是大正方形减小正方形，大正方形边长为，小正方形边长为，故答案为．【变式3】．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”：(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号）【答案】(1)①③(2)16【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用平方差公式进行简算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键：（1）用两种方法表示出阴影部分的面积，进行判断即可；（2）利用平方差公式进行简算即可；故答案为：①③题型10运用完全平方公式计算【典例1】．计算：【分析】（1）利用完全平方公式展开计算即可；（2）利用完全平方公式展开计算即可；（3）利用完全平方公式展开计算即可．【变式1】．运用完全平方公式计算：【变式2】．计算：【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可；（3）根据完全平方公式计算即可；（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键．题型11辨析是否能用完全平方公式计算【典例1】．下列整式乘法中，能用完全平方公式计算的是（

）【答案】B【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式判断即可．故选：B．【变式1】．下列整式乘法中，能用完全平方公式计算的是（）【答案】C故选C．【点睛】本题考查了乘法公式，整式乘以整式，掌握完全平方公式是解题的关键．题型12辨析完全平方公式的变形是否正确【典例1】．下列计算正确的是（）【答案】D【分析】根据完全平方公式，即可解答．D、原计算正确，故此选项符合题意．故选∶D．【答案】C故选C【点睛】本题考查了乘法公式，熟练应用完全平方公式是解题的关键.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查的是完全平方公式与平方根公式的变形，理解并掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式与平方差公式的含义变形即可判断．故选：BA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】利用完全平方公式以及平方差公式，进行逐一判断即可．错误的有2个，故选C．【点睛】本题主要考查了乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式进行计算判断即可．故选：B．题型13利用乘法公式计算【典例1】．计算：【分析】本题考查了乘法公式，理解并掌握乘法是解决问题的关键；（1）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解；（2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解；（3）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解；（4）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．【变式1】．利用乘法公式计算：【分析】本题主要考查乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键；（1）根据平方差公式可进行求解；（2）根据平方差公式可进行求解；（3）根据平方差公式及完全平方公式可进行求解；（4）根据平方差公式及完全平方公式可进行求解．【变式2】．利用乘法公式计算：【答案】(1)【分析】本题考查乘法公式的应用：．题型14乘法公式求值问题【答案】，9【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式．先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘整式的运算法则进行计算，再合并同类项即可化简，最后代入求值．【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．题型15根据完全平方公式求参数值A．5或5 B．25 C．10或 D．8【答案】C【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特点“首平方、尾平方、中间为2倍项”成为解题的关键．根据完全平方式的结构特征求解即可．确定常数项对应的平方根，进而求出一次项系数．所以的可能值为10或．故选C．A． B． C．1 D．4【答案】D故选D.是（

）．【答案】C【详解】试题解析：∵−10ab=2a×(−5)×b，故选C.A． B． C．14 D．14或【答案】D∴的值为或，故选：D．A．5或 B．3或 C． D．3或5【答案】A【分析】此题考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同号是解题的关键．根据完全平方公式：两数的平方和加上（减去）这两个数积的倍，即为两数和（差）的平方，列出的方程，求出即可．故选：A．A．3 B． C． D．6【答案】C【分析】根据完全平方公式进行分析计算．故选：C．A．4 B．或7 C．或4 D．7【答案】B故选：BA．或 B． C． D．或【答案】D解得：或，故选：D题型16根据完全平方公式求代数式的值【答案】(1)25(2)13【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．A．21 B．29 C．17 D．33【答案】C故选C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握公式并进行恰当变形是解题的关键．【答案】42【答案】A．4、1 B．2、C．5、1 D．10、【答案】C【点睛】本题是对完全平方公式的考查，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键.甲：无论和取何值，等式均不能成立．A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人说法均不正确【答案】C故丙说法正确，故选C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．题型17完全平方公式的代数应用最值问题A．可为任何实数 B．不小于7C．不小于2 D．可能为负数【答案】C故选：C．【答案】【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．故答案为：．【答案】∴p的最小值为，故答案为：．【答案】2故答案为：2．题型18完全平方公式的几何应用A．38 B．40 C．42 D．44【答案】A故选：A．【变式1】．有两个正方形A，B，若将B放在A的内部，则得到图1，若将A，B并列放置后构成新的正方形，则得到图2．当图1阴影面积为5，正方形A，B的面积之和为17，则图2阴影面积是（

）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】D∵图①阴影面积为5，正方形A，B的面积之和为17，∴图②阴影面积是12．故选D．(1)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法：；方法：．(3)【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果．【详解】（1）根据图形可得：（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．【变式3】．如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式；(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2(2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．【分析】（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）由计算（2a+b）2的结果可得此题结果．【详解】（1）解：∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2，∴可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）解：由计算（2a+b）2=4a2+4ab+b2可得，需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式得到相应的图形．一、单选题1．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（

）【答案】A两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项两数差，故选择A．【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征是解题关键．2．下列计算正确的是（

）【答案】A【分析】本题考查整式乘法公式的应用，涉及完全平方和公式、平方差公式、完全平方差公式等知识，逐一验证各选项的正确性即可得到答案，熟记整式乘法公式是解决问题的关键．故选：A．A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】根据平方差公式计算可得选项.．故选：D．4．给出下列式子：其中正确的是（

）A．④ B．③ C．② D．①【答案】A【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，应用平方差公式和完全平方公式逐一验证各等式是否成立，进行判断即可．综上，只有④正确，故选：A．A． B． C．14 D．14或【答案】D∴的值为或，故选：D．6．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，则a2﹣b2＝（）A．12 B．﹣12 C．24 D．±12【答案】B【分析】根据平方差公式，即可求解．【详解】解：∵a+b+3＝0，a﹣b﹣4＝0∴a+b＝3，a﹣b＝4，∴a2﹣b2=（a+b）（ab）=3×4=12．故选B．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键．A．15 B．17 C．20 D．22【答案】A【分析】题目主要考查利用完全平方公式求面积，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键根据题意得出阴影部分的面积，然后利用完全平方公式求解即可【详解】解：根据题意得，阴影部分的面积为：故选：AA． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查求代数式的值，通过变量代换简化方程，利用平方展开和合并同类项求解．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．故选：C．二、填空题9．填空【分析】直接根据平方差公式进行计算即可．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键．【分析】（1）根据平方差公式直接计算即可；（2）两次运用平方差公式计算即可.【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键.【答案】4运用平方差公式展开，移顶合并即可．故答案为：4．【答案】故答案为：．【答案】a+c；b【分析】利用单平方差公式把原式变形，注意a+c看成是一个整体．∴A=a+c；B=b.故填：a+c；b【点睛】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单．【答案】故答案为：．【答案】【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出，的值，代入原式计算即可得到结果．故答案为：．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【答案】【分析】此题考查了完全平方公式的应用，关键是熟练掌握图形的面积与公式的关系．利用完全平方公式，结合图形，即可得到答案．图形面积为，图形面积为，图形面积为，故答案为：．三、解答题17．计算：【分析】（1）根据平方差公式计算即可；（2）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可；（3）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可；（4）先利用平方差公式计算分子，再利用除法化简系数即可；（5）利用平方差公式计算即可；（6）连续使用平方差公式计算即可．【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征，使用时注意系数