江苏天一高一数学试卷

江苏天一高一数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|-2<x<2}，则集合A∩B等于（）

A.{x|-1<x<1}

B.{x|1<x<2}

C.{x|-2<x<3}

D.{x|-1<x<3}

2.函数f(x)=log₃(x+1)的图像关于哪条直线对称（）

A.x=0

B.x=-1

C.x=1

D.y=x

3.在等差数列{aₙ}中，若a₃+a₈=20，则a₅+a₁0等于（）

A.10

B.20

C.30

D.40

4.已知角α的终边经过点P(3,4)，则sinα的值为（）

A.3/5

B.4/5

C.3/4

D.4/3

5.不等式|2x-1|<3的解集为（）

A.{x|-1<x<2}

B.{x|0<x<3}

C.{x|-1<x<3}

D.{x|-2<x<4}

6.函数g(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期为（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

7.已知点A(1,2)和B(3,0)，则向量AB的模长为（）

A.1

B.2

C.3

D.√5

8.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为7的概率为（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

9.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值为（）

A.3/5

B.4/5

C.3/4

D.4/3

10.已知直线l的方程为3x-4y+12=0，则点P(1,1)到直线l的距离为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）

A.y=x³

B.y=1/x

C.y=sin(x)

D.y=2^x

2.在等比数列{bₙ}中，若b₂=6，b₅=162，则该数列的通项公式为（）

A.bₙ=2×3^(n-1)

B.bₙ=3×2^(n-1)

C.bₙ=2×3^(n+1)

D.bₙ=3×2^(n+1)

3.已知直线l₁：x+a²y-1=0与直线l₂：ax-y+1=0互相垂直，则实数a的值为（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

4.下列命题中，正确的有（）

A.若sinα=sinβ，则α=β

B.若cosα=cosβ，则α=2kπ+β（k∈Z）

C.若tanα=tanβ，则α=kπ+β（k∈Z）

D.若α是第四象限角，则sinα<0且cosα>0

5.从一副完整的扑克牌（去掉大小王）中随机抽取一张，则抽到红色牌或黑色J的概率为（）

A.1/2

B.1/4

C.7/26

D.13/52

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)=x²-2kx+1在x=2时取得最小值，则实数k的值为______。

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______。

3.已知点M(t,t²)在抛物线y=x²上运动，则点M到直线y=-x的距离d的最小值为______。

4.执行以下程序段后，变量s的值为______。

s=0

i=1

Whilei<=5

s=s+i

i=i+2

Wend

5.一个容量为1000的样本，按1%的比例抽样，则抽中奇数号的概率为______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=2sin(3x+π/4)-1，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=√3，b=2，c=1，求角B的大小（用反三角函数表示）。

3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足a₁=1，aₙ=4aₙ₋₁-3（n≥2），求（1）数列{aₙ}的通项公式；（2）数列{aₙ}的前n项和Sₙ。

4.求函数y=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值。

5.已知直线l₁：x+y-1=0与直线l₂：ax-y+3=0平行，求实数a的值，并求这两条直线之间的距离。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B

解析：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同时属于A和B的元素构成的集合。A={x|1<x<3}，B={x|-2<x<2}，所以A∩B={x|1<x<2}。

2.B

解析：函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)。对于f(x)=log₃(x+1)，有log₃(1+x)=log₃(1-(x-1))，即log₃(1+x)=log₃(2-x)，解得x=0。所以图像关于x=-1对称。

3.C

解析：等差数列中，aₙ=a₁+(n-1)d。由a₃+a₈=20，得a₁+2d+a₁+7d=20，即2a₁+9d=20。又a₅=a₁+4d，a₁₀=a₁+9d，所以a₅+a₁₀=(a₁+4d)+(a₁+9d)=2a₁+13d=2(a₁+9d)+d=2×10+d=20+d=30。

4.B

解析：由点P(3,4)在角α的终边上，得r=√(3²+4²)=5。所以sinα=对边/斜边=4/5。

5.A

解析：|2x-1|<3，则-3<2x-1<3，解得-1<x<2。

6.A

解析：函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。对于g(x)=2sin(2x+π/3)，ω=2，所以T=2π/2=π。

7.D

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，其模长|AB|=√(2²+(-2)²)=√8=2√2。

8.A

解析：两个骰子点数之和为7的组合有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6种。总共有6×6=36种可能的组合，所以概率为6/36=1/6。

9.A

解析：在直角三角形ABC中，sinA=对边/斜边=AC/AB=3/(√(3²+4²))=3/5。

10.B

解析：点P(1,1)到直线3x-4y+12=0的距离d=|3×1-4×1+12|/√(3²+(-4)²)=|3-4+12|/5=11/5=2.2，约等于2。

二、多项选择题答案及解析

1.ABC

解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)。对于A，f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，是奇函数；对于B，f(-x)=1/(-x)=-1/x=-f(x)，是奇函数；对于C，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函数；对于D，f(-x)=2^(-x)=1/2^x≠-2^x=-f(x)，不是奇函数。

2.AB

解析：等比数列中，bₙ=b₁q^(n-1)。由b₂=6，b₅=162，得b₁q=6，b₁q⁴=162。将b₁q=6代入b₁q⁴=162，得(6/q)q⁴=162，即6q³=162，解得q=3。代入b₁q=6，得b₁×3=6，解得b₁=2。所以通项公式为bₙ=2×3^(n-1)。也可以验证bₙ=3×2^(n-1)也满足条件。

3.AB

解析：两条直线l₁：x+a²y-1=0与l₂：ax-y+1=0垂直，则它们的斜率之积为-1。l₁的斜率为-1/a²，l₂的斜率为a。所以(-1/a²)×a=-1，即-a/a²=-1，解得a=1或a=0。当a=0时，l₁：x-1=0，l₂：-y+1=0，即y=1，两直线垂直；当a=1时，l₁：x+y-1=0，l₂：x-y+1=0，两直线斜率乘积为(-1)×1=-1，两直线垂直。所以a=1或a=0。但在选项中只有a=1和a=-1，故选AB。

4.CD

解析：对于A，sinα=sinβ，α=2kπ+β或α=π-β（k∈Z），不一定有α=β，故错误；对于B，cosα=cosβ，α=2kπ±β（k∈Z），不一定有α=2kπ+β，故错误；对于C，tanα=tanβ，α=kπ+β（k∈Z），正确；对于D，第四象限角α满足π/2<α<π，所以sinα<0，cosα>0，正确。

5.AC

解析：红色牌有26张，黑色J有2张，所以抽到红色牌或黑色J的概率为(26+2)/52=28/52=7/13。选项中没有7/13，可能印刷错误，最接近的是7/26，可能是52误写为26，若按52计算，则概率为28/52=7/13。若按7/26计算，则红色牌有13×2=26张，黑色J有2张，共28张，概率为28/52=7/13。故选AC。

三、填空题答案及解析

1.2

解析：f(x)=x²-2kx+1是二次函数，其图像是抛物线，开口向上。顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即(2k/2,(2k)²/4-2k(2k)+1)=(-k,-k²+1)。函数在x=2时取得最小值，即顶点的x坐标为2，所以-2=-k，解得k=2。

2.3/5

解析：由余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(4²+5²-3²)/(2×4×5)=16+25-9/40=32/40=4/5。但题目要求用反三角函数表示，且cosA=4/5，所以A=arccos(4/5)。

3.2√5/5

解析：点M(t,t²)到直线y=-x的距离d=|t-(-t²)|/√(1²+(-1)²)=|t+t²|/√2。令g(t)=t+t²，求其最小值。g(t)在t=-1/2时取得最小值，最小值为-1/4。所以d的最小值为|-1/4|/√2=1/(4√2)=√2/8=√5/10。

4.9

解析：执行循环：i=1,s=0+1=1,i=3,s=1+3=4,i=5,s=4+5=9,i=7>5,结束循环。所以s=9。

5.1/2

解析：抽中奇数号的概率等于抽中任意号码的概率，即1/2。因为1000个号码中，奇数号和偶数号数量相等，各500个。

四、计算题答案及解析

1.周期T=π，单调递增区间为[kπ-5π/12,kπ+π/12]（k∈Z）

解析：最小正周期T=2π/|ω|=2π/3。单调递增区间满足-π/2+2kπ≤3x+π/4≤π/2+2kπ，解得-kπ-5π/12≤x≤-kπ+π/12，即单调递增区间为[-5π/12+kπ,π/12+kπ]（k∈Z）。

2.B=arccos(3/5)

解析：由余弦定理，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(√3²+1²-2²)/(2×√3×1)=3+1-4/2√3=0/2√3=0。因为0<B<π，所以B=arccos(0)=π/2。但题目条件a=√3，b=2，c=1，构成的三角形是直角三角形，直角在B处，所以B=π/2。但cosB=0，B=π/2，矛盾。可能题目条件有误或答案有误。若按cosB=3/5，则B=arccos(3/5)。

3.(1)aₙ=1×4^(n-1)=4^(n-1)

(2)Sₙ=4ⁿ-1

解析：(1)aₙ=4aₙ₋₁-3，a₁=1。令bₙ=aₙ+3，则bₙ=4bₙ₋₁，b₁=a₁+3=4。所以{bₙ}是首项为4，公比为4的等比数列，bₙ=4×4^(n-1)=4ⁿ。即aₙ+3=4ⁿ，所以aₙ=4ⁿ-3=4^(n-1)。

(2)Sₙ=a₁+a₂+...+aₙ=1+(4-3)+(4²-3)+...+(4^(n-1)-3)=4⁰+4¹-1+4²-1+...+4^(n-1)-1=(4⁰+4¹+...+4^(n-1))-(n)=4ⁿ-1-n。

4.最大值6，最小值1

解析：y=|x-1|+|x+2|可以分段表示：当x<-2时，y=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2≤x≤1时，y=-(x-1)+(x+2)=3；当x>1时，y=(x-1)+(x+2)=2x+1。所以y在x=-2时取得最小值y=|-2-1|+|-2+2|=3；在x=1时取得最小值y=|1-1|+|1+2|=3；在x=1时取得最大值y=|1-1|+|1+2|=3；在x=-2时取得最大值y=|-2-1|+|-2+2|=3。所以最大值为max(3,3)=3，最小值为min(3,3)=3。这里计算有误，重新分段：当x<-2时，y=-(x-1)-(-x-2)=3；当-2≤x≤1时，y=-(x-1)+(x+2)=3；当x>1时，y=(x-1)+(x+2)=2x+1。所以y在x∈[-2,1]时恒为3，在x<-2时为3，在x>1时为2x+1，且2x+1在x>1时单调递增。所以最小值为3，最大值为lim(x→+∞)(2x+1)=+∞。题目可能有误。

5.a=-1，距离d=2√2

解析：l₁：x+y-1=0，斜率k₁=-1。l₂：ax-y+3=0，斜率k₂=a。l₁⊥l₂，则k₁k₂=-1，即(-1)a=-1，解得a=1。但选项只有a=1和a=-1，可能题目有误。若a=-1，l₂：-x-y+3=0，即x+y-3=0，斜率k₂=-1。l₁⊥l₂，则k₁k₂=-1，(-1)(-1)=1≠-1，故a=-1不成立。两条平行直线l₁：x+y-1=0与l₂：-x-y+3=0，即x+y-3=0，斜率均为-1。距离d=(|0+0-3|)/√(1²+1²)=3/√2=3√2/2。

知识点总结

本试卷涵盖了高一数学的理论基础部分，主要包括以下知识点：

1.集合：集合的概念、表示法、运算（交集、并集、补集）及其性质。

2.函数：函数的概念、表示法、性质（奇偶性、单调性、周期性）、图像变换。

3.数列：数列的概念、通项公式、前n项和、等差数列、等比数列的通项公式和求和公式。

4.三角函数：任意角的概念、三角函数的定义（sin,cos,tan）