2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第二节　同角三角函数基本关系式与诱导公式

第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切1.已知角α的终边经过点（－4，3），则cos（α＋π）＝（）A.－35 B.3C.－45 D.解析：D由题意得cosα＝－4(-4）2＋32＝－45，所以cos（α＋2.已知sinθ＋cosθ＝－15，θ∈（0，π），则sinθ－cosθ＝（A.15 B.－C.75 D.－解析：C（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝125，2sinθcosθ＝－2425＜0，∵θ∈（0，π），∴θ∈（π2，π），sinθ＞cosθ，（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝4925，∴sinθ－cosθ＝3.sin2490°＝，cos－52π3答案：－12－解析：sin2490°＝sin（7×360°－30°）＝－sin30°＝－12.cos－52π3＝cos52π3＝cos（16π＋π＋π3）＝cos4.已知sinα－2cosα3sinα+5cosα＝－答案：－23解析：由sinα－2cosα3sinα+5cosα＝－5，知cosα≠0，等式左边分子、分母同时除以cosα，可得tanα1.同角三角函数关系式的常见变形（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα）；（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sinα）（1－sinα）；（3）（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；（4）sinα＝tanαcosα（α≠π2＋kπ，k∈Z2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksinα（k∈Z）；（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcosα（k∈Z）.1.已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为（）A.56 B.－5C.43 D.解析：B由题可得，sinα＋cosα＝23，sinαcosα＝a3.由结论1可得，49＝1＋2×a3，解得2.已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（kπ答案：{－2，2}解析：由结论2得A＝(-1）ksinαsinα＋(-1）kcosαcosα，①当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2同角三角函数基本关系式的应用考向1弦切互化【例1】（1）已知tanα＝2，则3sinα－2cosαsinα＋cosα＝；23sin（2）（2024·烟台模拟）已知cosα＝－513，则13sinα＋5tanα＝答案：（1）43712（2解析：（1）因为tanα＝2，所以3sinα－2cosαsinα＋23sin2α＋14cos2α＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2α（2）∵cosα＝－513＜0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角①若α是第二象限角，则sinα＝1－cos2α＝1－（－513）2＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝1213－513＝－12②若α是第三象限角，则sinα＝－1－cos2α＝－1－（－513）2＝－1213，∴tanα＝sinαcosα＝－1213－513＝125，此时13sinα＋5tanα解题技法1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的2.形如asinx＋bcosxcsinx＋dcosx，asin2x＋bsin考向2sinα±cosα与sinα·cosα之间关系的应用【例2】若sinθ－cosθ＝43，且θ∈（34π，π），则sin（π－θ）－cos（π－θ）＝（A.－23 B.C.－43 D.解析：A由sinθ－cosθ＝43，得1－2sinθcosθ＝169，即2sinθcosθ＝－79，∴（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝29，又θ∈（34π，π），∴sinθ＋cosθ＜0，∴sinθ＋cosθ＝－23，则sin（π－θ）－cos（π－θ）＝sinθ＋cos解题技法1.注意公式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.1.已知α是第四象限角，tanα＝－815，则sinα＝（A.1517 B.－C.817 D.－解析：D因为tanα＝－815，所以sinαcosα＝－815，所以cosα＝－158sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝64289，又α是第四象限角2.（1）若sinα＋cosα＝33，则tanα＋1tanα（2）若sinx－cosx＝12，则sin3x－cos3x＝答案：（1）－3（2）11解析：（1）∵sinα＋cosα＝33，∴sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝13，∴sinαcosα＝－13，故tanα＋1tanα＝sinα（2）∵sinx－cosx＝12，∴sin2x＋cos2x－2sinxcosx＝14，∴sinxcosx＝38，∴sin3x－cos3x＝（sinx－cosx）（sin2x＋sinxcosx＋cos2x）＝12×（1＋3诱导公式的应用1.化简cos（π＋A.－1 B.1C.tanα D.－tanα解析：C由诱导公式得，原式＝－cosα·(-sinα）2.已知π＜α＜2π，cos（α－7π）＝－35，则sin（3π＋α）·tanα－7答案：3解析：∵cos（α－7π）＝cos（7π－α）＝cos（π－α）＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin（3π＋α）·tanα－72π＝sin（π＋α）·［－tan（72π－α）］＝sinα·tanπ2－α＝sinα·sin3.已知cos（75°＋α）＝13，则cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝答案：0解析：因为（105°－α）＋（75°＋α）＝180°，（15°－α）＋（α＋75°）＝90°，所以cos（105°－α）＝cos[180°－（75°＋α）]＝－cos（75°＋α）＝－13，sin（15°－α）＝sin[90°－（α＋75°）]＝cos（75°＋α）＝13.所以cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝－13＋练后悟通1.利用诱导公式解题的一般思路（1）化绝对值大的角为锐角；（2）角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数2.常见的互余和互补的角（1）互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与（2）互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3同角关系与诱导公式的综合应用【例3】已知f（θ）＝sin（（1）化简f（θ），并求f（8π3（2）若f（θ）＝3，求2sin2θ－3sinθcosθ的值.解：（1）f（θ）＝sin＝sinθcosθ－sin（则f（8π3）＝tan8π3＝tan2π3（2）由（1）知，tanθ＝3.则2sin2θ－3sinθcosθ＝2＝2sin2θ－3sinθ解题技法1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数符号的影响.（2024·济宁一模）已知α是第四象限角，f（α）＝sin（（1）化简f（α）；（2）若cos（α－3π2）＝35，求f（α解：（1）f（α）＝sin＝－cosα×sin（2）∵cos（α－3π2）＝－sinα＝35，即sinα又α是第四象限角，∴cosα＝1－sin∴f（α）＝－cosα＝－451.若sin（α＋π6）＝13，则cos（α＋2π3A.13 B.－C.79 D.－解析：B因为sin（α＋π6）＝13，所以cos（α＋2π3）＝cos［π2＋（π6＋α）］＝－sin（π6＋2.（2024·莆田模拟）已知α∈（π，3π2），且tanα＝34，则cosαA.－35 B.C.－45 D.解析：C由α∈（π，3π2）可知α为第三象限角，故cosα＜0，由tanα＝34＝sinαcosα，又sin2α＋cos2α＝1，解得cos3.（2024·淮南第一次联考）已知tanα＝2，则1+sin2α＋coA.32 B.C.4 D.5解析：D1+sin2α＋cos2αsin24.（2024·唐山高三模拟）若π2＜α＜π，则－cosα｜cosαA.0 B.1C.2 D.－2解析：C∵π2＜α＜π，∴cosα＜0，sinα＞0，结合诱导公式可得原式＝－cosα－cosα＋sinα5.（多选）在△ABC中，下列结论正确的是（）A.sin（A＋B）＝sinCB.sinB＋C2C.tan（A＋B）＝－tanC（C≠π2D.cos（A＋B）＝cosC解析：ABC在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，A正确；sinB＋C2＝sin（π2－A2）＝cosA2，B正确；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanC（C≠π2），C正确；cos（A＋B）＝cos（π－C）6.（多选）已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝15，则（A.π2＜α＜π B.sinαcosα＝－C.cosα－sinα＝75 D.cosα－sinα＝－解析：ABD∵sinα＋cosα＝15，等式两边平方得（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝125，得sinαcosα＝－1225，故B正确；∵α∈（0，π），sinαcosα＝－1225＜0，∴α∈（π2，π），故A正确；cosα－sinα＜0，且（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×（－1225）＝4925，解得cosα－sinα＝－757.sin（－570°）＋cos（－2640°）＋tan1665°＝.答案：1解析：原式＝sin（－570°＋720°）＋cos（－2640°＋2880°）＋tan（1665°－1620°）＝sin150°＋cos240°＋tan45°＝sin30°－cos60°＋1＝12－12＋18.（2024·郑州模拟）已知α是第三象限角，且f（α）＝sin（（1）若cos（α＋3π2）＝－35，求f（α（2）若α＝－32π3，求f（α）解：f（α）＝sinα·cosα（1）∵cos（α＋3π2）＝sinα，∴sinα＝－35.∵α是第三象限角，∴cosα＝－1－（－35）2＝－45（2）f（α）＝－cos（－32π3）＝－cos（－2π39.（2024·海宁模拟）已知tanαtanβ＝1，则cosαcosβ的最大值为（）A.12 B.14C.22 D.解析：A∵tanαtanβ＝1，sinαsinβ＝cosαcosβ，∴（cosαcosβ）2＝sinαcosα·sinβcosβ≤sin2α＋cos2α2·sin2β＋cos2β2＝14⇒10.（2024·荆州模拟）已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4，x∈R，且f（2023）＝3，则f（2024）＝（）A.3 B.4C.5 D.6解析：C由f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4，得f（2023）＝asin（2023π＋α）＋bcos（2023π＋β）＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝3，即asinα＋bcosβ＝1，则f（2024）＝asin（2024π＋α）＋bcos（2024π＋β）＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝1＋4＝5.故选C.11.在△ABC中，3sin（π2－A）＝3sin（π－A），cosA＝－3cos（π－B），则△ABC为（A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析：B由3sin（π2－A）＝3sin（π－A）可得3cosA＝3sinA，即tanA＝33，又0＜A＜π，所以A＝π6，再由cosA＝－3cos（π－B）可得cosA＝3cosB，所以cosB＝12，又0＜B＜π，所以B＝π3，所以C＝π2，所以12.（多选）已知sinα＋cosαsinα－cosα＝3，－πA.tanα＝2 B.sinα－cosα＝－5C.sin4α－cos4α＝35 D.1－解析：ACD因为－π2＜α＜π2，所以cosα≠0，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，所以tanα＝2，故A正确；因为tanα＝sinαcosα＝2＞0，且－π2＜α＜π2，所以0＜α＜π2，所以sinα＞0，cosα＞0，由sinα＋cosαsinα－cosα＝3＞0，可得sinα－cosα＞0，故B错误；sin4α－cos4α＝（sin2α－cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α13.已知函数f（x）＝sin2x，若存在非零实数a，b，使得f（x＋a）＝bf（x）对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝，b＝.答案：π2－1（答案不唯一解析：当a＝π2时，f（x＋π2）＝sin（2x＋π）＝－sin2x，即b＝－1，故当a＝π2，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对x∈14.（2024·邵阳一模）已知－π2＜α＜0，且函数f（α）＝cos3π2＋α－sin（1）化简f（α）；（2）若f（α）＝15，求sinαcosα和sinα－cosα的值解：（1）∵－π2＜α＜0，∴sinα＜0，∴f（α）＝sinα－sinα·（1+cos＝sinα＋sinα·1+cosαsinα－1＝sinα＋（2）法一由f（α）＝sinα＋cosα＝15，两边平方可得sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α＝125，即2sinα·cosα＝－∴sinα·cosα＝－1225又－π2＜α＜0，∴sinα＜0，cosα＞0∴sinα－cosα＜0，∵（sinα－cosα）2＝1－2sinα·cosα＝4925∴sinα－cosα＝－75法二联立方程sin解得sinα＝∵－π2＜α＜0，∴∴sinαcosα＝－1225，sinα－cosα＝－715.（多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”.已知sin（π＋α）＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（A.sinβ＝154 B.cos（π＋β）＝C.tanβ＝15 D.tanβ＝15解析：AC∵sin（π＋α）＝－sinα＝－14，∴sinα＝14，cosα＝±154，∴若α＋β＝π2，则β＝π2－α.对于A，sinβ＝sin（π2－α）＝cosα可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；对于B，若B符合，则cos（π＋