2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性

第三节函数的奇偶性、周期性与对称性1.结合具体函数，了解函数奇偶性、周期性的概念和几何意义.2.能够通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式及推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.1.已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝（）A.－13 B.C.12 D.－解析：B∵f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f（－x）＝f（x），∴b＝0，∴a＋b＝12.（2024·咸阳一模）定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[0，1）时，f（x）＝x，则f（－32）＝（A.22 B.C.－22 D.－解析：C因为f（x）的图象关于直线x＝－1对称，所以f（x）＝f（－2－x），因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1）时，f（x）＝x，所以f（－32）＝f（－2＋32）＝f（－12）＝－f（12）＝－123.（多选）（2024·济宁模拟）给出下列函数，其中是奇函数的为（）A.f（x）＝x4B.f（x）＝x5C.f（x）＝x＋1D.f（x）＝1解析：BC对于f（x）＝x4，f（x）的定义域为R，由f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），可知f（x）＝x4是偶函数，同理可知f（x）＝x5，f（x）＝x＋1x是奇函数，f（x）＝1x2是偶函数，故选4.若f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2－x，则f（2025）＝.答案：1解析：∵f（x）的周期为2，∴f（2025）＝f（1）＝2－1＝121.函数奇偶性常用结论（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f（x）定义域内任一自变量x：（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）；（2）若f（x＋a）＝1f（x），则T＝2a（（3）若f（x＋a）＝－1f（x），则T＝2a（a3.函数图象的对称性（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.1.已知函数f（x）＝kx＋b（k≠0），则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：C由f（0）＝0，所以b＝0，函数f（x）为奇函数；因为函数f（x）为奇函数，且f（x）＝kx＋b（k≠0）的定义域为R，由结论1知，f（0）＝0.所以“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.故选C.2.已知函数f（x＋1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0恒成立，设a＝f（－12），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（A.b＜a＜c B.c＜b＜aC.b＜c＜a D.a＜b＜c解析：A由结论3知，函数f（x）关于直线x＝1对称，当1＜x1＜x2时，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0，则f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，∴a＝f－12＝f1－32＝f1+32＝f52，∵3＞52＞2＞1，因此3.已知定义在R上的函数满足f（x＋2）＝－1f（x），当x∈（0，2]时，f（x）＝2x－1，则f（答案：1解析：由结论2知T＝4，f（9）＝f（1）＝1.函数的奇偶性考向1函数奇偶性的判断【例1】（1）（2021·全国乙卷4题）设函数f（x）＝1－x1+x，A.f（x－1）－1 B.f（x－1）＋1C.f（x＋1）－1 D.f（x＋1）＋1（2）（多选）下列函数中为偶函数的是（）A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y＝ex－1D.y＝xln（x2+1－答案：（1）B（2）AD解析：（1）法一因为f（x）＝1－x1+x，所以f（x－1）＝1-(x－1）1+（x－对于A，F（x）＝f（x－1）－1＝2－xx－1＝2－2xx，定义域关于原点对称，但不满足F（x对于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝2－xx＋1＝2x，定义域关于原点对称，且满足G（x）＝－G对于C，f（x＋1）－1＝－xx+2－1＝－x－x－对于D，f（x＋1）＋1＝－xx+2＋1＝－x＋x+2x+2法二f（x）＝1－x1+x＝2-(x+1）1+x＝21+x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f（x）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为（2）A中，y＝xsinx为偶函数.B中，函数y＝xlnx的定义域为（0，＋∞），为非奇非偶函数.C中，f（－x）≠－f（x），且f（－x）≠f（x），则y＝ex－1为非奇非偶函数.D中，y＝xln（x2+1－x）解题技法函数奇偶性的判断方法（1）定义法（2）图象法（3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函数f（x）是奇函数.考向2函数奇偶性的应用【例2】（1）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x∈[－1，0]时，f（x）＝aex＋1＋1e，若f（1）＝1，则f（0）＝（A.e B.－eC.1e D.－（2）（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）·ln2x－12x+1为偶函数A.－1 B.0C.12 D.（3）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－1，则当x＜0时，f（x）＝.答案：（1）C（2）B（3）－e－x＋1解析：（1）因为f（x）是定义域为R的偶函数，则f（－1）＝f（1），即ae＋1＋1e＝1，解得a＝－1，所以f（0）＝－1＋1＋1e＝1（2）法一要使函数f（x）有意义，必须满足2x－12x+1＞0，解得x＜－12或x＞12.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－12）∪（12，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln－2x－1－2x+1＝（x＋a）ln2x－12x+1，则（x－a）ln2x－12x+1＝（x法二因为f（x）＝（x＋a）ln2x－12x+1为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln3，f（1）＝（a＋1）ln13＝－（a＋1）ln3，所以（a－1）ln3＝－（a＋1）ln3，（3）当x＜0时，－x＞0，∵当x≥0时，f（x）＝ex－1，∴f（－x）＝e－x－1.又∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝－f（－x）＝－e－x＋1.解题技法函数奇偶性的应用类型及解题策略（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式；（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上的函数值求解；（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，进而得出参数的值.对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.1.若q（x），g（x）均为奇函数，f（x）＝aq（x）＋bg（x）＋1在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上，f（x）有（）A.最小值－5 B.最小值－2C.最小值－3 D.最大值－5解析：C设φ（x）＝aq（x）＋bg（x），∵q（x），g（x）均为奇函数，∴φ（－x）＝aq（－x）＋bg（－x）＝－aq（x）－bg（x）＝－φ（x），∴φ（x）为奇函数.∵在（0，＋∞）上，f（x）＝φ（x）＋1有最大值为5，∴φ（x）在（0，＋∞）上有最大值为4，则φ（x）在（－∞，0）上有最小值为－4，∴f（x）＝φ（x）＋1在（－∞，0）上有最小值为－4＋1＝－3.2.（2021·新高考Ⅰ卷13题）已知函数f（x）＝x3（a·2x－2－x）是偶函数，则a＝.答案：1解析：法一因为f（x）＝x3（a·2x－2－x）的定义域为R，且是偶函数，所以f（－x）＝f（x）对任意的x∈R恒成立，所以（－x）3（a·2－x－2x）＝x3（a·2x－2－x）对任意的x∈R恒成立，所以x3（a－1）（2x＋2－x）＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.法二因为f（x）＝x3（a·2x－2－x）的定义域为R，且是偶函数，所以f（－1）＝f（1），所以－a2－2＝2a－12，解得a＝1，经检验，f（x）＝x3（2x－2－x）为偶函数，函数的周期性与对称性【例3】（1）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，且满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f（1）＝2，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（）A.－50 B.0C.2 D.50（2）（多选）关于函数f（x）＝sinx＋1sinx有如下四个命题，其中正确的是（A.f（x）的图象关于y轴对称B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的图象关于直线x＝π2D.f（x）的图象关于点（π，0）对称答案：（1）C（2）BCD解析：（1）法一∵f（x）在R上是奇函数，且f（1－x）＝f（1＋x）.∴f（x＋1）＝－f（x－1），即f（x＋2）＝－f（x）.因此f（x＋4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的函数，由于f（1－x）＝f（1＋x），f（1）＝2，故令x＝1，得f（0）＝f（2）＝0，令x＝2，得f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝－2，令x＝3，得f（4）＝f（－2）＝－f（2）＝0，故f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋0－2＋0＝0，∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12×0＋f（1）＋f（2）＝2.法二由题意可设f（x）＝2sin（π2x），作出f（x）的部分图象如图所示.由图可知，f（x）的一个周期为4，∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f（1）＋f（2）＝（2）∵f（x）＝sinx＋1sinx的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，f（－x）＝sin（－x）＋1sin(-x）＝－sinx－1sinx＝－f（x），∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确；∵f（π2－x）＝cosx＋1cosx，f（π2＋x）＝cosx＋1cosx，∴f（π2－x）＝f（π2＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝π2对称，故C正确；又f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＋1sin（x+2π）＝sinx＋1sinx，f（－x）＝－sinx－1sinx，∴f（x＋解题技法1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期，将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.2.求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，结合函数图象，求出函数的对称轴或对称中心进而解决求值或参数问题.1.（2024·金华调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x＜－1时，f（x）＝－（x＋2）2，当－1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝.答案：339解析：因为f（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期T＝6，于是f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－（－3＋2）2＝－1，f（4）＝f（－2）＝－（－2＋2）2＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝1，而2025＝6×337＋3，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝337×1＋1＋2－1＝339.2.已知函数y＝f（x）－2为奇函数，g（x）＝2x+1x，且f（x）与g（x）图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则y1＋y2＋…＋y6答案：12解析：∵函数y＝f（x）－2为奇函数，∴函数y＝f（x）的图象关于点（0，2）对称，又g（x）＝2x+1x＝1x＋2，其图象也关于点（0，2）对称，∴两函数图象交点关于点（0，2）对称，则y1＋y2＋…＋y6＝3函数性质的综合应用考向1函数的单调性与奇偶性【例4】（2024·石家庄模拟）已知函数f（x＋2）是定义域为R的偶函数，若f（x）在（2，＋∞）上单调递减，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集是（）A.（0，1）∪（3，＋∞） B.（1，3）C.（0，e）∪（e3，＋∞） D.（e，e3）解析：C因为f（x＋2）的图象向右平移2个单位长度得到f（x）的图象，且f（x＋2）的图象关于y轴对称，所以f（x）的图象关于直线x＝2对称.由f（x）在（2，＋∞）上单调递减可得f（x）在（－∞，2）上单调递增，由f（lnx）＜f（1），所以lnx＜1或lnx＞3，解得0＜x＜e或x＞e3.解题技法综合应用奇偶性与单调性的解题技巧（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞f（x2）的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2（或x1＞x2）求解.考向2函数的奇偶性与周期性【例5】定义在R上的奇函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），且当－1≤x＜0时，f（x）＝2x－1，则f（log220）＝（）A.14 B.C.－15 D.－解析：B依题意，知f（2＋x）＝f（－x）＝－f（x），则f（4＋x）＝f（x），所以f（x）是周期函数，且周期为4.又2＜log25＜3，则－1＜2－log25＜0，所以f（log220）＝f（2＋log25）＝f（log25－2）＝－f（2－log25）＝－（22－log25－1解题技法综合应用奇偶性与周期性的解题技巧（1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期；（2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化；（3）代入已知的解析式求解即得要求的函数值.考向3函数的对称性与周期性【例6】（多选）已知f（x）的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f（x＋3）＝f（x－3），若当x∈[0，3]时，f（x）＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是（）A.f（x）为偶函数B.f（x）在[－6，－3]上单调递减C.f（x）关于x＝3对称D.f（100）＝9解析：ACDf（x）的图象关于x＝－3对称，则f（－x）＝f（x－6），又f（x＋3）＝f（x－3），则f（x）的周期T＝6，∴f（－x）＝f（x－6）＝f（x），∴f（x）为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f（x）＝4x＋2x－11单调递增，∵T＝6，故f（x）在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f（x）关于x＝－3对称且T＝6，∴f（x）关于x＝3对称，故C正确；f（100）＝f（16×6＋4）＝f（4）＝f（－2）＝f（2）＝9，故D正确.解题技法综合应用对称性与周期性的解题技巧函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b