2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是（A.2kπ＋45°（k∈Z） B.k·360°＋9π4（k∈C.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋5π4（k∈解析：C终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z）2.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（m，4）（m≠0），且cosα＝m5，则tanα＝（A.±43 B.C.±34 D.解析：Acosα＝mm2＋42＝m5，解得m＝±3，故tanα＝3.若sinα＜0且tanα＜0，则角α是第象限角.答案：四解析：根据三角函数在各象限的符号，由sinα＜0且tanα＜0，可得α在第四象限.4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为.答案：12π解析：∵α＝30°＝π6，l＝αr，∴r＝2ππ6＝12，∴扇形的面积S＝12lr＝121.象限角与轴线角（1）象限角（2）轴线角2.若α，β，γ，θ分别为第一、二、三、四象限角，则α2，β2，γ2，1.终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是.（用角度表示）答案：{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}解析：由结论1可知，终边落在x轴上的角的集合为A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆时针旋转45°，可得终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合为{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.2.若角α的终边落在第三象限，则α2的终边落在第象限答案：二或四解析：由结论2可知，α2的终边落在第二或第四象限象限角与终边相同的角1.若α是第二象限角，则（）A.－α是第一象限角B.α2C.3π2＋D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上解析：D因为α是第二象限角，可得π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ＜－α＜－π2－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；对于B，可得π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，α2位于第一象限；当k为奇数时，α2位于第三象限，所以B错误；对于C，可得2π＋2kπ＜3π2＋α＜5π2＋2kπ，k∈Z，即2（k＋1）π＜3π2＋α＜π2＋2（k＋1）π，k∈Z，所以3π2＋α位于第一象限，所以C错误；对于D，可得π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ2.集合{α｜kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（解析：C当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤3.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为.答案：－675°和－315°解析：所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°（k∈Z），当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.4.终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为.答案：{－5π3，－2π3，解析：如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π）内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0）内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5练后悟通1.确定nα，αn（n∈N*）先用终边相同的角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn的范围，然后根据n的可能取值讨论确定nα或αn的终边所在位置（也可采用等分象限角的方法2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.扇形的弧长及面积公式【例1】（教材题改编）一扇形的圆心角α＝π3，半径R＝10cm，则该扇形的面积为cm2答案：50解析：由已知得α＝π3，R＝10cm，∴S扇形＝12αR2＝12×π3×102＝50π1.（变设问）若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解：l＝αR＝π3×10＝10π3S弓形＝S扇形－S三角形＝50π3－12·R2·sinπ3＝50π3－12×102×32.（变条件）若将本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R（10π+1＜R所以S＝12lR＝12（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.解题技法有关弧长及扇形面积问题的注意点（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题；（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.1.（2022·全国甲卷8题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋CD2OA.当OA＝2，∠AOB＝60°时，sA.11－33C.9－33解析：B由题意知，△OAB是等边三角形，所以AB＝OA＝2.连接OC（图略），因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝OA2－AC2＝3，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，所以CD＝OD－OC＝2－3，所以s＝AB＋CD2OA2.已知一扇形的弧长为2π9，面积为2π9，则其半径r＝，圆心角答案：2π解析：因为扇形的弧长为2π9，面积为2π9，所以2π9＝12×2π9×r，解得r＝2.由扇形的弧长为2π9，得2三角函数的定义及应用考向1三角函数的定义【例2】（1）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°），且cosα＝－45，则m＝（A.－12 B.－3C.12 D.（2）（2023·全国乙卷14题）若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝答案：（1）C（2）－5解析：（1）由题意得点P（－8m，－3），r＝64m2+9，所以cosα＝－8m64m2+9＝－45，（2）∵θ∈（0，π2），tanθ＝12＝yx，∴令x＝2，y＝1，设θ终边上一点的坐标P（2，1），则r＝｜OP｜＝22＋12＝5，则sinθ－cosθ＝1解题技法利用三角函数的定义解决问题的策略（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.考向2三角函数值符号的判定【例3】若sinαtanα＜0，且cosαtanα＜0，则角α是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：C由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角.由cosαtanα＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角解题技法三角函数值符号的判定方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据角所在象限确定三角函数值的符号.如果不能确定角所在象限，就要分类讨论；反之，可根据三角函数值的符号判断角的终边所在象限（或某坐标轴上）.1.若角α的终边过点（－3，－2），则（）A.sinαtanα＞0 B.cosαtanα＞0C.sinαcosα＞0 D.sinαcosα＜0解析：C∵角α的终边过点（－3，－2），∴α为第三象限角，∴sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，∴sinαtanα＜0，cosαtanα＜0，sinαcosα＞0.2.若角θ的终边经过点P（－3，m）（m≠0），且sinθ＝24m，则cosθ＝答案：－6解析：r＝m2+3，由sinθ＝mm2+3＝24m，整理得m2＝5，则r＝m2+3＝8＝21.若α＝k·180°＋135°，k∈Z，则α的终边在（）A.第一、三象限 B.第一、二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限解析：C因为α＝k·180°＋135°，k∈Z，所以当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋135°＝n·360°＋315°，n∈Z，其终边在第四象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋135°＝n·360°＋135°，n∈Z，其终边在第二象限.综上，α的终边在第二、四象限.故选C.2.把－114π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（A.－3π4 B.C.π4 D.解析：A∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π43.我国空间站备受世界瞩目，那么你知道我国空间站运行的轨道是什么形状吗？据来自中国载人航天工程办公室消息称“天和”核心舱组合体轨道参数为：远地点高度约为394.7千米，近地点高度约为394.2千米，简直比地球绕日运行轨道还圆！若把空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表面的距离取394千米，已知地球半径约为6370千米，则空间站绕地球每旋转π6弧度，飞行的路程约为（取π≈3.14）（A.3300千米 B.3334千米C.3540千米 D.3640千米解析：C空间站绕地球飞行的半径为394＋6370＝6764（千米），所以空间站绕地球每旋转π6弧度，飞行的路程约为l＝αr＝6764×π6≈6764×3.146≈4.（多选）已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有（）A.扇形的半径为2B.扇形的半径为1C.扇形的圆心角的弧度数是1D.扇形的圆心角的弧度数是2解析：ABC设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得2r＋αr=6，12αr25.（多选）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式的值恒大于0的是（）A.sinαtanα B.cosαC.sinαcosα D.sinα＋cosα解析：AB由题意知sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0，则sinαtanα＞0，故A正确；cosα－sinα＞0，故B正确；sinαcosα＜0，故C错误；sinα＋cosα的符号不确定，故D错误.故选6.在平面直角坐标系xOy中，点P在角2π3的终边上，且｜OP｜＝2，则点P的坐标为答案：（－1，3）解析：设点P的坐标为（x，y），由三角函数定义得x＝｜OP｜cos2π3，y＝｜7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，m），B（m，4），则cosα＝.答案：5解析：记O为坐标原点，由题意可知O（0，0），A（1，m），B（m，4）三点共线，则m≠0，所以m1＝4m，解得m＝±2，又A，B两点在同一象限，所以m＝2，则A（1，2），所以cosα＝112＋8.已知1｜sinα｜＝－1sinα，且lg（1）试判断角α所在的象限；（2）若角α的终边上一点M（35，m），且OM＝1（O为坐标原点），求m及sinα的值解：（1）由1｜sinα｜＝－1sinα，得sinα＜0，由lg（cosα）有意义，可知cosα＞（2）因为OM＝1，所以（35）2＋m2＝1，解得m＝±45.又α为第四象限角，故m＜0，所以m＝－45，sinα＝yr＝9.sin2·cos3·tan4的值（）A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在解析：A∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·10.已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，且α∈[0，2π），则角α的取值范围是（）A.π2，3π4∪πC.π2，3π4∪5解析：B因为点P在第一象限，所以sinα－cosα>0，tanα>0，即sinα＞cosα，tanα>0.由tanα＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图.又sinα11.（多选）下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是（）A.α＋β＝540° B.α＋β＝360°C.α＋β＝180° D.α＋β＝90°解析：AC假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，由α和β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，又根据终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）180°，k∈Z，所以满足条件的为A、C.故选A、C.12.若角α的终边落在直线y＝3x上，角β的终边与单位圆交于点（12，m），且sinαcosβ＜0，则cosαsinβ＝答案：±3解析：由角β的终边与单位圆交于点（12，m），得cosβ＝12，又由sinαcosβ＜0知，sinα＜0，因为角α的终边落在直线y＝3x上，所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点，设P（x，y）（x＜0，y＜0），则｜OP｜＝1（O为坐标原点），即x2＋y2＝1，又由y＝3x得x＝－12，y＝－32，所以cosα＝x＝－12，因为点（12，m）在单位圆上，所以（12）2＋m2＝1，解得m＝±32，所以sinβ＝±3213.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则αtanα＝答案：1解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为12αr2，在Rt△POB中，PB＝rtanα，则△POB的面积为12r·rtanα，由题意得12r·rtanα＝2×12αr2，∴tanα＝2α，∴14.若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0）.（1）求sinθ＋cosθ的值；（2）试判断cos（sinθ）·sin（cosθ）的符号.解：（1）因为角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），所以x＝－4a，y＝3a，r＝5｜a｜，当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝35－45＝－当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－35＋45＝综上，sinθ＋cosθ＝±15（2）当a＞0时，sinθ＝35∈0，π2，cosθ＝－45∈（则cos（sinθ）·sin（cosθ）＝cos35·sin－45当a＜0时，sinθ＝－35∈－π2，0，cosθ则cos（sinθ）·sin（cosθ）＝cos－35·sin4综上，当a＞0时，cos（sinθ）·sin（cosθ）的符号为负；当a＜0时，cos（sinθ）·sin（cosθ）的符号为正.15.（多选）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为（1，0），∠BOA＝π3，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（A.经过1s后，∠BOA的弧度数为π3＋B.经过π12s后，扇形AOB的弧长为C.经过