2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-重难专攻（十一）　概率中的综合问题

重难专攻（十一）概率中的综合问题概率中的综合问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此类问题的关键是通过阅读题意，作出分析判断，获取关键信息；搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型，把实际问题转化为数学问题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策.概率与函数的交汇问题【例1】某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p（0＜p＜1），假设每道题答对与否互不影响（1）当p＝14时①在甲答对了某道题的条件下，求该题是甲自己答对的概率；②甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求X的数学期望E（X）﹔（2）乙答对每道题的概率为23（含亲友团），现甲、乙两人各答两道题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p解：（1）①记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“该题是甲自己答对的”，则P（A）＝12＋12×14＝58，P（AB）＝12，所以P（B｜A）＝P②由题意，X～B4，58，故E（X）＝4×5（2）记事件Ai为“甲答对了i道题”，事件Bi为“乙答对了i道题”，i＝0，1，2.其中甲答对某道题的概率为12＋12p＝12（1＋p），答错某道题的概率为1－12（1＋p）＝12则P（A1）＝C21·12（1＋p）·12（1－p）＝12（1－p2），P（A2）＝12（1+pP（B0）＝132＝19，P（B1）＝C21×2所以甲答对题数比乙多的概率为P（A1B0∪A2B1∪A2B0）＝P（A1B0）＋P（A2B1）＋P（A2B0）＝12（1－p2）·19＋14（1＋p）2·49＋14（1＋p）2·19＝136（3p2＋10解得23≤p＜1，即甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值为2解题技法概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0＜p＜1.（1）设甲以3∶1获胜的概率为f（p），求f（p）的最大值；（2）记（1）中f（p）取得最大值时的p为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数，求X的分布列和均值E（X）.解：（1）甲以3∶1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，所以f（p）＝C32·p2·（1－p）·p＝3p3－3p4，0＜p＜则f'（p）＝9p2－12p3＝3p2（3－4p）.令f'（p）＞0，得0＜p＜34；令f'（p）＜0，得34＜p所以f（p）在（0，34）上单调递增，在（34，1）所以当p＝34时，f（p）取得最大值，为81（2）由（1）知p＝p0＝34由题意知X的所有可能取值为3，4，5.则P（X＝3）＝（34）3＋（14）3＝2764＋1P（X＝4）＝C32×（34）3×14＋C31×34×（14）P（X＝5）＝C42×（34）3×（14）2＋C42×（34）2×（14）所以X的分布列为X345P74527X的数学期望E（X）＝3×716＋4×45128＋5×27128概率与数列的交汇问题【例2】（2023·新高考Ⅰ卷21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，解：（1）设“第2次投篮的人是乙”为事件A，则P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.（2）设“第i次投篮的人是甲”的概率为Pi，则第i－1次投篮的人是甲的概率为Pi－1，第i－1次投篮的人是乙的概率为1－Pi－1，则Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）×0.2（i≥2），即Pi＝15＋25Pi－1（i≥则Pi－13＝25（Pi－1－1又P1＝12，∴P1－13＝12－13＝∴数列Pi－13是以16为首项，25∴Pi－13＝16（25）i－1，即Pi＝16（25）i∴第i次投篮的人是甲的概率为16（25）i－1＋（3）设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，∴P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，∴E（Xi）＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，则E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由（2）知，pi＝13＋16×（25）i∴p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3＋16×［1＋25＋（25）2＋…＋（25）n－1］＝n3＋16×1－（25）解题技法概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；（3）解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.（2024·临沂一模）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，….①直接写出p1，p2，p3的值；②求pn＋1与pn的关系式，并求pn（n∈N*）.解：（1）X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝C31C22C53＝310，P（P（X＝3）＝C33C所以随机变量X的分布列为X123P331（2）①若刚好抽到甲、乙、丙三个人做传球训练，且n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，…，则有p1＝0，p2＝222＝12，p3＝2②记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，An＋1＝An·An＋1＋An·An＋1，所以pn＋1＝P（An·An＋1＋An·An＋1）＝P（An·An＋1）＋P（An·An＋1）＝P（An）·P（An＋1｜An）＋P（An）·P（An＋1｜An）＝（1－pn）·12＋pn·0＝1即pn＋1＝－12pn＋12，n∈N所以pn＋1－13＝－12（pn－13），且p1－1所以数列{pn－13}表示以－13为首项，－1所以pn－13＝－13×（－12）n所以pn＝－13×（－12）n－1＋13＝13［1－（－12即n次传球后球在甲手中的概率是13［1＋(概率中的证明问题【例3】（2022·新高考Ⅰ卷20题节选）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P（B｜A）P（B｜A（1）证明：R＝P（A｜（2）利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜B）的估计值，并利用（1）的结果给出R的估计值.解：（1）证明：R＝P（B｜由题意知，证明P＝P（A左边＝P（AB）右边＝P（AB）左边＝右边，故R＝P（A｜（2）由调查数据可知P（A｜B）＝40100＝2P（A｜B）＝10100＝1且P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝35P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝910所以R＝2535×解题技法解决概率中的证明问题的关键是理解随机事件中互斥、对立、独立事件的概念及相互关系，理解条件概率、全概率公式的意义及性质，掌握随机变量的分布列、均值、方差的计算公式，掌握二项分布、超几何分布、正态分布概率模型的特点及求解规律.会灵活运用上述定义、性质及公式进行逻辑推理、数学运算，进而推出要证结论成立.最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p（0＜p＜1）.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次.记X为试验结束时所进行的试验次数，X的数学期望为E（X）.（1）证明：E（X）＜1p（2）某公司意向投资该产品，若p＝0.2，每次试验的成本为a（a＞0）元，若试验成功则获得8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由.解：（1）证明：由题意，X＝1，2，3，…，8，故P（X＝k）＝p（1－p）k－1，k＝1，2，…，7，P（X＝8）＝（1－p）7.分布列如下表所示：X1234Ppp（1－p）p（1－p）2p（1－p）3X5678Pp（1－p）4p（1－p）5p（1－p）6（1－p）7所以X的数学期望E（X）＝p（1－p）0＋2p（1－p）1＋3p（1－p）2＋…＋7p（1－p）6＋8（1－p）7，记S＝（1－p）0＋2（1－p）1＋3（1－p）2＋…＋7（1－p）6，（1－p）S＝（1－p）1＋2（1－p）2＋3（1－p）3＋…＋7（1－p）7，作差可得，pS＝（1－p）0＋（1－p）1＋（1－p）2＋…＋（1－p）6－7（1－p）7＝1-(1－p）7p－则E（X）＝pS＋8（1－p）7＝1-(1－p）7p＋（1－（2）由（1）可知E（X）＜1p＝5，则试验成本的期望小于5a元试验成功则获利8a元，且8a＞5a，则该公司应该投资该产品.1.为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天、A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛A部获胜的概率为p（0＜p＜1），每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.（1）记第一天需要进行的比赛局数为X.①求E（X），并求当E（X）取最大值时p的值；②结合实际，谈谈①中结论的意义.（2）当p＝12时，记一共进行的比赛局数为Y，求P（Y≤5）解：（1）①X的所有可能取值为2，3.P（X＝2）＝p2＋（1－p）2＝2p2－2p＋1；P（X＝3）＝2p（1－p）＝－2p2＋2p.故E（X）＝2（2p2－2p＋1）＋3（－2p2＋2p）＝－2p2＋2p＋2，即E（X）＝－2（p－12）2＋52，则当p＝12时，E（X②结合实际，当p＝12时，双方实力最接近比赛越激烈，则一天中进行比赛的局数会更多.（2）当p＝12时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为12×12比分为2∶1或1∶2的概率均为2×12×12×12Y≤5则Y＝4或Y＝5.Y＝4即获胜方两天均为2∶0获胜，故P（Y＝4）＝2×14×14＝Y＝5即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，故P（Y＝5）＝2×（14×14×2＋14×14×2×1所以P（Y≤5）＝P（Y＝4）＋P（Y＝5）＝18＋38＝2.（2024·朔州模拟）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；（3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为18，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.解：（1）设样本平均数的估计值为x，则x＝10×（40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004）＝62.所以样本平均数的估计值为62.（2）因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ＝62，σ≈14.所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90.所以P（X≥90）＝P（X≥μ＋2σ）≈12×（1－0.9545）＝所以估计能参加复试的人数为0.02275×8000＝182.（3）由该学生获得一等奖的概率为18可知：a2b＝1则P＝a2（1－b）＋C21a（1－a）b＝a2＋2ab－38＝a2＋1令P＝f（a）＝a2＋14a－38，0＜a＜1.f'（a）＝2a－14a当0＜a＜12时，f'（a）＜0当12＜a＜1时，f'（a）＞所以f（a）在区间（0，12）上单调递减，在区间（12，1）所以f（a）min＝f（12）＝14＋12－3所以P的最小值为383.（2024·石家庄一模）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛，某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准.（1）从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率.经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了110，以获得“巧手奖”次数的期望为参考，试预测该同学能否进入决赛解：（1）由题可知，所有可能的情况有：①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率P1＝C41·②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率P2＝C42·③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率P3＝C42·故所求的概率为325＋925＋950（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为p1，创意作品入选的概率为p2，则p1＋p2＝45＋35＋110由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：P＝C21p1（1－p1）·C22p22＋C22p12·C21p2（1－p2）＋C22p12·C22p22＝2p1p2（p1＋p2）－∵p1＋p2＝32，且p1≥45，p2≥35，也即32－p2≥45，32－p1≥35，即p2≤故可得45≤p1≤910，35≤p2p1·p2＝p1（32－p1）＝－（p1－34）2＋∴p1·p2∈［2750，1425令p1p2＝t，则P（t）＝－3t2＋3t＝－3（t－12）2＋34在［2750，14∴P（t）≤P（2750）＝－3×（250）2＋34∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X～B（5，P），∴E（X）＝5P＜5×34＝154＜4，4.（2024·宁波一模）某中学在运动会期间，举行了绳子打结计时的趣味性比赛，若现场有n（n∈N*）根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（1）当n＝3时，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；（2）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为22解：（1）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝C41·P（X＝2）＝C31·2CP（X＝3）＝1C62所以X的分布列为X123P821所以E（X）＝1×815＋2×615＋3×115（2）证明：不妨令绳头编号为1，2，3，4，…，2n，可以与绳头1打结形成一个圈的绳头有2n－2种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下n－1根绳子进行打结.令n（n∈N*）根绳子打结后可围成一个圈的种数为an，那么经过一次打结后，剩下n－1根绳子打结后可围成一个圈的种数为an－1，由此可得an＝（2n－2）an－1，n≥2，所以anan－1＝2n－2，an－1an－2所以ana1＝（2n－2）×（2n－4）×…×2＝2n－1·（n显然a1＝1，故an＝2n－1·（n－1）！.另一方面，对2n个绳头进行任意2个绳头打结，打结种数N＝C2n2·C所以这n根绳子恰好能围成一个圈的概率P＝anN＝2n5.“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.某公司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种.每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币.（1）某员工活动前两天获得A1，A4两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？（2）通过抽样调查发现，活动首日有34的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前一天选择“球类”的员工中，次日会有13的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工中，次日会有12的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某员工第n天选择“球类”的概率为①计算P1，P2，并求Pn；②该公司共有员工1400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？解：（1）设事件E为“该员工前四天恰好能集齐这4枚纪念币”，由题意知，样本点总数N＝4×4＝16，事件E包含的样本点的个数n＝2×1＝2，所以该员工前四天恰好能集齐这四枚纪念币的概率P（E）＝216＝1（2）①由题意知，P1＝34P2＝13P1＋12（1－P1）＝12－16P1＝12－1当n≥2时，Pn＝13Pn－1＋12（1－Pn－1）＝12－16P所以Pn－37＝－16（Pn－1－3又因为P1－37＝34－37所以{Pn－37}是以928为首项，以－1所以Pn－37＝928×（－16）n即Pn＝37＋928×（－16）n②由①知，当n足够大时，选择“球类”的概率近似于37假设用ξ表示一天中选择“球类”的人数，则ξ～B（1400，37）所以E（ξ）＝1400×37＝600即选择“球类”的人数的均值为600，所以选择“田径”的人数的均值为800.即经过足够多天后，估计该公司接下来每天有600名员工参加球类运动，800名员工参加田径运动.6.（2024·大连一模）国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为23，答对第二题的概率为12，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同