2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第三节　等式性质与不等式性质

第三节等式性质与不等式性质课标要求1.梳理等式的性质，理解不等式的概念.2.会比较两个数（式）的大小.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.1.比较实数的大小（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于0，那么ab；如果a－b是负数，那么ab.反过来也对；（2）符号表示：ab⇔a－b＞0；ab⇔a－b＝0；ab⇔a－b＜0.2.等式的基本性质（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝b3.不等式的基本性质（1）对称性：a＞b⇔b＜a；（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋cb＋d；（4）可乘性：a＞b，c＞0⇒acbc；a＞b，c＜0⇒acbc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；（5）可乘方性：a＞b＞0⇒anbn（n∈N，n≥2）；（6）可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，n≥1.倒数性质若ab＞0，则a＞b⇒1a＜1若ab＜0，则a＞b⇒1a＞1

2.分数性质若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b（2）假分数性质：ab＞a＋mb＋m；ab＜a1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（）（2）若a＞b，则ac2＞bc2.（）（3）若ab＞1，则a＞b.（（4）a＝b⇔ac＝bc.（）2.（人A必修一P43习题3（2）题改编）设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（）A.M＞N B.M≥NC.M＜N D.M≤N3.（人A必修一P43习题8题改编）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A.ac＞bc B.1a＜C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c4.已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是.5.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为.比较两个数（式）的大小（基础自学过关）1.设x，y，z的平均数为M，x与y的平均数为N，N与z的平均数为P.若x＜y＜z，则M与P的大小关系是（）A.M＝P B.M＜PC.M＞P D.不能确定2.已知0＜a＜1b，且M＝11+a＋11+b，N＝a1+a＋b1+bA.M＞N B.M＜NC.M＝N D.不能确定3.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c

练后悟通不等式的基本性质（师生共研过关）（1）〔多选〕已知a，b∈R，则下列选项中能使1a＜1b成立的是（A.b＞a＞0 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a D.b＜a＜0（2）〔多选〕设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（）A.ac＜bc B.a－b＜c－dC.ad＞bc D.ca－db听课记录解题技法利用不等式的性质判断命题真假的两种方法（1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可；（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.〔多选〕已知a＞b＞0，b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ba2＜ab2 B.ac2＞C.1a－c＜1b－c D.a不等式性质的应用（师生共研过关）（1）（人A必修一P43习题5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是，ab的取值范围是；（2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e（a－解题技法1.根据不等式的性质求取值范围的策略（1）严格运用不等式的性质，注意其成立的条件；（2）同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围；（3）建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.2.利用不等式的性质证明简单的不等