2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第三节　平面向量的数量积及应用

第三节平面向量的数量积及应用课标要求1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会运用数量积表示两个平面向量的夹角.1.向量的夹角（1）定义：已知两个向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞；（2）范围：夹角θ的范围是.提醒当a与b同向时，θ＝0；a与b反向时，θ＝π；a与b垂直时，θ＝π22.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影向量：如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为OM1＝a·（3）运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒向量的数量积运算不满足结合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不满足消去律.即a·b＝a·cb＝c.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝｜a｜｜b｜cosθa·b＝模｜a｜＝a｜a｜＝夹角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要条件a·b＝0a∥b的充要条件a＝λb（λ∈R）｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）｜x1x2＋y1y2｜≤（提醒（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.1.平面向量数量积运算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个向量的夹角的范围是［0，π2］.（（2）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量.（）（3）若非零向量a，b满足｜a·b｜＝｜a｜｜b｜，则a∥b.（）（4）若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.（）2.（人A必修二P17例9改编）已知｜a｜＝5，｜b｜＝2，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝（）A.45° B.135°C.－45° D.30°3.（苏教必修二P37习题10题改编）已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，则｜a－b｜＝（）A.42B.52C.62D.72

4.（人A必修二P24习题21题改编）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是CD的中点.则AD在BM上的投影向量为（）A.15BM BC.35BM D5.已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），当λ＝时，λa＋b与b垂直.平面向量数量积的基本运算（基础自学过关）1.已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，则AB·BC＝（）A.－3 B.－2C.2 D.32.已知向量a，b夹角的余弦值为－14，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a－b）·（b－2a）＝（A.－36 B.－12C.6 D.363.（2024·湖北七市州联合测试）已知正方形ABCD的边长为2，若BP＝PC，则AP·BD＝（）A.2 B.－2C.4 D.－44.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是.用结论极化恒等式设a，b为两个平面向量，则a·b＝14[（a＋b）2－（a－b）2].如图所示（1）在▱ABDC中，AB＝a，AC＝b，则a·b＝14（｜AD｜2－｜BC｜2（2）在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AM为中线，则a·b＝｜AM｜2－14｜BC｜2已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB＋PC）的最小值是（）A.－2 B.－3C.－43 D.－

练后悟通求两个向量的数量积的三种方法平面向量数量积的应用（定向精析突破）考向1平面向量的模（人A必修二P61复习参考题13（6）题改编）若平面向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜＝（）A.0 B.6C.0或6 D.0或6听课记录解题技法求平面向量的模的两种方法考向2平面向量的夹角与平面向量的垂直（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（）A.－2 B.－1C.1 D.2（2）（2024·兰州高三诊断考试）在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则cos＜AE，BD＞＝（）A.－2114 B.C.－214 D.听课记录

解题技法1.求平面向量的夹角的方法2.两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.1.（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（）A.12 B.C.32 D.2.已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（）A.－6 B.－5C.5 D.63.在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是线段BC上的一点，已知AE·AD＝－1，则线段CE的长为（）A.32 B.C.14 D.投影向量（师生共研过关）（2025·南宁适应性测试）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO＝AB＋AC，｜OA｜＝｜AC｜，则向量CA在向量CB上的投影向量为（）A.14CBB.34CBC.－1听课记录解题技法投影向量的两种求法（1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量；（2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos＜a，b＞·b｜1.（2025·深圳一调）已知a，b是夹