18.2.1分式的乘除课件人教版八年级数学上册

18.2.1分式的乘除第十八章

分式【2025新教材】人教版数学

八年级上册

授课教师：********班级：********时间：********18.2.1分式的乘除一、教学目标理解并掌握分式的乘除运算法则，能准确阐述其与分数乘除法则的联系与区别，体会类比思想在数学知识迁移中的应用。熟练运用分式乘除法则进行运算，包括简单分式的乘除、分式乘除的混合运算以及含多项式的分式乘除，提高分式运算的准确性和熟练度。通过探究分式乘除法则的过程，培养观察、归纳、推理能力，在解决分式乘除实际问题中，增强数学应用意识和逻辑思维能力。二、知识回顾分数的乘除法则：分数乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{a×c}{b×d}\)（\(b\neq0\)，\(d\neq0\)）。例如\(\frac{2}{3}×\frac{4}{5}=\frac{2×4}{3×5}=\frac{8}{15}\)。分数除法法则：分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数，即\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{a×d}{b×c}\)（\(b\neq0\)，\(c\neq0\)，\(d\neq0\)）。例如\(\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{2×5}{3×4}=\frac{5}{6}\)。提问互动：让学生回顾并复述分数乘除法则，通过简单的分数乘除计算进行练习巩固，如计算\(\frac{3}{4}×\frac{2}{9}\)和\(\frac{5}{6}÷\frac{10}{3}\)，为引出分式乘除法则做铺垫。三、分式乘除法则的探究与推导类比猜想：引导学生观察分数乘除法则，思考分式是否具有类似的运算规则。通过具体例子，如\(\frac{x}{y}\)与\(\frac{a}{b}\)相乘、相除，类比分数乘除，猜想分式的乘除法则。归纳法则：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为\(\frac{A}{B}×\frac{C}{D}=\frac{A×C}{B×D}\)（\(B\neq0\)，\(D\neq0\)，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式）。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即\(\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}=\frac{A×D}{B×C}\)（\(B\neq0\)，\(C\neq0\)，\(D\neq0\)，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式）。法则解析：强调分式乘除运算的结果要化为最简分式或整式，在运算过程中，可先约分再进行计算，这样能简化运算过程。当分式的分子、分母是多项式时，要先对多项式进行因式分解，然后再按照法则进行乘除运算。四、典型例题精讲（一）简单分式的乘除运算例1：计算\(\frac{2x}{y^2}×\frac{3y}{4x^2}\)分析：根据分式乘法法则，将分子相乘，分母相乘，再进行约分。解答：\(\begin{align*}\frac{2x}{y^2}×\frac{3y}{4x^2}&=\frac{2x×3y}{y^2×4x^2}\\&=\frac{6xy}{4x^2y^2}\\&=\frac{3}{2xy}\end{align*}\)例2：计算\(\frac{3a^2b}{4c^2}÷\frac{9ab^2}{2c}\)分析：依据分式除法法则，将除法转化为乘法，即\(\frac{3a^2b}{4c^2}×\frac{2c}{9ab^2}\)，然后进行计算和约分。解答：\(\begin{align*}\frac{3a^2b}{4c^2}÷\frac{9ab^2}{2c}&=\frac{3a^2b}{4c^2}×\frac{2c}{9ab^2}\\&=\frac{3a^2b×2c}{4c^2×9ab^2}\\&=\frac{6a^2bc}{36ab^2c^2}\\&=\frac{a}{6bc}\end{align*}\)（二）分式乘除的混合运算例3：计算\(\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}×\frac{x+2}{x-1}÷\frac{x+1}{x+2}\)分析：先对分子分母中的多项式进行因式分解，\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，\(x^2+4x+4=(x+2)^2\)；再将除法转化为乘法，然后依次进行约分和计算。解答：\(\begin{align*}&\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}×\frac{x+2}{x-1}÷\frac{x+1}{x+2}\\=&\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2}×\frac{x+2}{x-1}×\frac{x+2}{x+1}\\=&\frac{(x+1)(x-1)(x+2)(x+2)}{(x+2)^2(x-1)(x+1)}\\=&1\end{align*}\)（三）分式乘除的实际应用例4：一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的\(150\)倍。用这台机器收割\(10\)公顷小麦比\(100\)个农民人工收割这些小麦少用\(1\)小时，求这台收割机每小时收割多少公顷小麦？分析：设一个农民每小时收割小麦\(x\)公顷，则收割机每小时收割\(150x\)公顷。根据工作时间=工作总量

÷

工作效率，可列出方程\(\frac{10}{100x}-\frac{10}{150x}=1\)，求解方程时需要运用分式的乘除运算进行化简。解答：方程两边同乘\(300x\)去分母得：\(\begin{align*}300x×\frac{10}{100x}-300x×\frac{10}{150x}&=300x×1\\3×10-2×10&=300x\\30-20&=300x\\10&=300x\\x&=\frac{1}{30}\end{align*}\)经检验，\(x=\frac{1}{30}\)是原方程的解。则收割机每小时收割：\(150×\frac{1}{30}=5\)（公顷）答：这台收割机每小时收割\(5\)公顷小麦。五、课堂练习基础练习：计算\(\frac{4m}{3n}×\frac{9n^2}{8m^3}\)计算\(\frac{5a}{12b}÷\frac{10a^2}{3b^2}\)计算\(\frac{x^2-4}{x^2+5x+6}×\frac{x+3}{x-2}\)提高练习：计算\(\frac{a^2-4}{a^2+4a+4}÷\frac{a-2}{a^2+2a}×\frac{1}{a}\)先化简，再求值：\(\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}÷\frac{x+1}{x-1}\)，其中\(x=2\)实际应用练习：甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做\(1\)天后，再由两队合作\(2\)天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的\(\frac{2}{3}\)，求甲、乙两队单独完成各需多少天？（列出分式方程并求解，过程中运用分式乘除运算）六、易错点总结与规避运算顺序错误：在分式乘除混合运算中，要按照从左到右的顺序依次进行计算，不能随意改变运算顺序。例如计算\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}÷\frac{e}{f}\)，应先算\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}\)，再将结果除以\(\frac{e}{f}\)，而不能先算\(\frac{c}{d}÷\frac{e}{f}\)。约分错误：约分过程中，要找准分子分母的公因式，确保约分彻底。当分子分母是多项式时，必须先因式分解，再约分。如对\(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}\)约分，需先将分子化为\((x+3)(x-3)\)，分母化为\((x+3)^2\)，再约去公因式\(x+3\)。忽略分母不为\(0\)的条件：在分式乘除运算中，要时刻注意分母不能为\(0\)。在进行除法运算转化为乘法运算时，要保证除数的分子分母颠倒位置后，新的分母不为\(0\)。同时，在最终结果中，也要检查分母是否可能为\(0\)。七、课堂小结法则回顾：分式乘法法则是分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母；分式除法法则是将除法转化为乘法，即乘以除数的倒数。运算要点：运算过程中，可先对分子分母因式分解，再约分计算；混合运算要注意顺序；结果要化为最简分式或整式。应用价值：分式乘除运算在解决实际问题中有着广泛应用，通过建立分式方程，利用分式运算求解，能有效解决工程、行程等实际问题。八、课后作业完成教材课后习题，巩固分式乘除运算的方法和技巧。拓展作业：已知\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)，求\(\frac{x^2-xy}{x^2+xy}×\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}\)的值。某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高\(25\%\)作为销售价，共获利\(6000\)元；第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高\(10\%\)作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了\(80\)件，并且商场第二个月比第一个月多获利\(400\)元。问此商品的进价是多少元？商场两个月共销售该商品多少件？（列分式方程求解，运用分式乘除运算）这份关于分式乘除的课件涵盖知识点与实际应用。若你觉得例题难度需调整、练习量要增减，或有其他修改方向，随时和我说，我会进一步优化。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解学习目标掌握分式的乘除运算法则，并能正确进行计算.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算.通过分式乘除法法则体会类比的数学思想.能运用分式的乘除法解决实际问题.复习导入一般方法概念意义基本性质加减乘除运算应用分数分式特殊一般概念意义基本性质加减乘除运算应用类比类比类比类比类比数与式的知识体系数式通性探究新知知识点1分式的乘法根据分数的乘法法则完成下面的计算：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母.类比分数的乘法法则，你能说出分式的乘法法则吗？思考分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.符号语言：

例1

计算：分子相乘分母相乘运算结果应化为最简形式.

例2

计算：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分.练习计算：知识点2分式的除法根据分数的除法法则完成下面的计算：一个数除以一个分数，等于乘上这个分数的倒数.类比分数的除法法则，你能说出分式的除法法则吗？思考分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.符号语言：

例1

计算：分子、分母颠倒位置除法转化为乘法注意：如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.

例2

计算：整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”.练习计算：也可先将除式约分，再计算：分数的乘除运算步骤确定运算类型，如果是除法，先转化为乘法.13约分化为最简分式或整式.2用乘法法则计算，如果是多项式，先因式分解.方法知识点3分式乘除的应用

例3

如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a–1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg小麦.（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？思考以下问题：①你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？②如何表示这两块试验田的单位产量？③怎样确定哪种小麦的单位产量高？④你能列式表示（2）的问题吗？∵a>1，∴

(a–1)2＞0，a2–1＞0，∴

＜.所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高.

解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是单位面积产量是kg/m2．(a2–1)m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a–1)2m2，由图可得(a–1)2＜a2–1，所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍.解：（2）随堂练习1.若式子有意义，则（）CA.x

≠3且x

≠4B.x

≠±3且x

≠4C.x

≠3且x

≠4且x

≠–2D.x

≠±3且x

≠4且x

≠–22.计算：【教材P148练习第1题】3.计算：【教材P148练习第2题】【教材P148练习第3题】4.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？【教材P148练习第4题】5.大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？6.已知2m2+4m+1