2026高考物理一轮复习（基础版）第六章 第5讲　小专题 含弹簧的机械能守恒问题和非质点类机械能守恒问题

第5讲小专题:含弹簧的机械能守恒问题和非质点类机械能守恒问题考点一含弹簧的机械能守恒问题1.含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时,物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体或弹簧机械能都不守恒。2.弹簧弹力做功与路径无关,取决于初、末状态弹簧形变量的大小。3.由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统,当弹簧形变量最大时(即弹簧弹性势能最大时),弹簧两端连接的物体速度相等;弹簧处于自然长度时,弹簧弹性势能最小(为零)。[例1]【只有弹簧弹力做功的机械能守恒】(2023·全国甲卷,24)如图,光滑水平桌面上有一轻质弹簧,其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端,使弹簧的弹性势能为Ep。释放后,小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动,与弹簧分离后,从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间,其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等;垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的45。小球与地面碰撞后,弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g,忽略空气阻力。求(1)小球离开桌面时的速度大小;(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。【答案】(1)2Epm【解析】(1)由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知Ep=12mv2解得小球离开桌面时的速度大小为v=2E(2)小球与地面第一次碰撞后,竖直方向有h=vy由题可知vy′=45vy而小球离开桌面后由平抛运动规律得x=vt,vy=gt,解得小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为x=5mg[例2]【弹簧弹力和重力同时做功的机械能守恒】(2025·四川高考适应性考试)(多选)如图,原长为l0的轻弹簧竖直放置,一端固定于地面,另一端连接厚度不计、质量为m1的水平木板X。将质量为m2的物块Y放在X上,竖直下压Y,使X离地高度为l,此时弹簧的弹性势能为Ep,由静止释放,所有物体沿竖直方向运动。则()[A]若X、Y恰能分离,则Ep=(m1+m2)g(l0－l)[B]若X、Y恰能分离,则Ep=(m1+m2)gl[C]若X、Y能分离,则Y的最大离地高度为Ep(m1+m2[D]若X、Y能分离,则Y的最大离地高度为Ep(【答案】AD【解析】将质量为m2的物块Y放在X上由静止释放,两物体一起向上加速,若X、Y恰能分离,则到达原长时速度刚好为零,则弹性势能刚好全部转化为系统的重力势能,由机械能守恒定律可知Ep=(m1+m2)g(l0－l),故A正确,B错误;若X、Y能分离,设两物体到达原长时速度为v,有Ep=(m1+m2)g(l0－l)+12(m1+m2)v2,经过原长后两物体分离,物块Y的动能全部转化为重力势能,上升的高度为h,则有12m2v2=m2gh,则Y的最大离地高度为H=l0+h=Ep(m1+m考点二非质点类机械能守恒问题[例3]【“链条”类问题】(2024·河北张家口阶段检测)有一条均匀金属链条,一半长度在光滑的足够高斜面上,斜面顶端是一个很小的圆弧(长度可忽略),斜面倾角为30°,另一半长度竖直下垂,由静止释放后链条滑动,重力加速度g取10m/s2,链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为522m/s,则金属链条的长度为([A]0.6m [B]1m[C]2m [D]2.6m【答案】C【解析】设链条的质量为2m,长度为L,以开始时链条的最高点为零势能面,链条的机械能为E=Ep+Ek=－12×2mg×L4sinθ－12×2mg×L4+0=－14mgL(1+sinθ),链条全部滑出后,动能为Ek′=12×2mv2,重力势能为Ep′=－2mg·L2,由机械能守恒定律可得E=Ek′+Ep′,即－14mgL(1+sinθ)=mv2－mgL,解得L[例4]【“液柱”类问题】(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上,筒内装水,底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2,如图所示。已知水的密度为ρ,重力加速度为g,不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开,到两筒水面高度相等的过程中()[A]水柱的重力做正功[B]大气压力对水柱做负功[C]水柱的机械能守恒[D]水柱动能的改变量是14ρgS(h1－h2)【答案】ACD【解析】把连接两筒的阀门K打开,到两筒水面高度相等的过程中,等效于把左管高h1－h22的水柱移至右管,如图中的阴影部分所示,该部分水重心下降h1－h22,重力做正功,故A正确;把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中,大气压力对左筒水面做正功,对右筒水面做负功,抵消为零,故B错误;由上述分析知,只有重力做功,故水柱的机械能守恒,重力做的功等于重力势能的减少量,等于水柱动能的增加量,由机械能守恒定律得ΔEk=－Δ=h1－h22·ρgS·h1－h22=14ρgS(h1[例5]【“多个小球”组合类问题】(多选)固定在竖直面内的光滑圆管POQ,PO段长度为L,与水平方向的夹角为30°,在O处有插销,OQ段水平且足够长。管内PO段装满了质量均为m的小球,小球的半径远小于L,其编号如图所示。拔掉插销,1号球在下滑过程中()[A]机械能不守恒[B]做匀加速运动[C]对2号球做的功为14[D]经过O点时速度v=gL【答案】AC【解析】设一共有n个小球,运动过程中,有k(k≤n)个小球在光滑圆管PO内,对n个小球整体分析,根据牛顿第二定律有kmgsin30°=nma,解得a=kmgsin30°nm,对1号球分析,假设2号球对1号球有向上的支持力F,根据牛顿第二定律有mgsin30°－F=ma,解得F=n－knmgsin30°,则随着k的减小,2号球对1号球向上的支持力F增大且对1号球做负功,1号球的机械能不守恒,1号球的加速度在减小,故1号球做加速度减小的加速运动,故A正确,B错误;考虑整体小球的重心在管PO的中心,设所有小球在OQ段的速度为v,根据机械能守恒定律得nmg·12Lsin30°=12nmv2,解得v=2gL2,故D错误;对1号球分析,从开始到1号球到达水平管道的过程中,设2号球对1号球做的功为W,根据动能定理可得mgLsin30°－W=12mv2,解得W=14mgL,由于小球的半径远小于L,则1号球对(1)物体虽然不能看作质点,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。(2)在确定物体重力势能的变化量时,要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。(3)分析非质点类物体的动能时,要看物体各部分是否都在运动,运动的速度大小是否相同,若相同,则物体的动能才可以表示为12mv2(4)在解决多个小球类问题时,应抓住小球之间是否始终相互挤压。也可采用整体法,利用解决非质点类问题的方法进行解题。(满分:60分)对点1.含弹簧的机械能守恒问题1.(6分)(2024·广东湛江一模)(多选)在儿童乐园的蹦床项目中,小孩在两根弹性绳和弹性网绳的协助下实现上下弹跳。如图所示,某次蹦床活动中,小孩静止时处于O点,当其弹跳到最高点A后下落,可将弹性网绳压到最低点B,小孩可看成质点,不计弹性绳的重力、弹性网绳的重力和空气阻力。则从最高点A到最低点B的过程中,小孩的()[A]重力的功率先增大后减小[B]机械能一直减小[C]重力势能的减少量大于弹性网绳弹性势能的增加量[D]机械能的减少量等于弹性网绳弹性势能的增加量【答案】AC【解析】当小孩从A到B过程中,速度v先增大后减小,根据P=mgv,可知重力的功率先增大后减小,小孩的机械能先不变后减小,重力势能的减少量等于弹性绳和弹性网绳的弹性势能的增加量,即重力势能的减少量大于弹性网绳弹性势能的增加量,机械能的减少量等于弹性绳和弹性网绳的弹性势能的增加量,故选AC。2.(4分)(2025·河北开学考试)如图所示,一轻质弹簧置于固定光滑斜面上,下端与固定在斜面底端的挡板连接,弹簧处于原长状态时上端位于B点。一质量为m的物块(可视为质点)从斜面上A点由静止开始释放,下滑至最低点C。已知弹簧的弹性势能表达式为Ep=12kx2,其中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量,斜面倾角为30°,AB=BC=L,忽略空气阻力和一切摩擦,弹簧形变始终在弹性限度内,重力加速度为g。下列说法正确的是([A]由A到C的过程中,物块的机械能守恒[B]弹簧的劲度系数为mg[C]当弹簧的压缩量为14L时,[D]由A到C的过程中,物块的最大速度大小为3【答案】C【解析】由A到C的过程中,弹簧弹力对物块做负功,物块的机械能减小,故A错误;由于物块与弹簧组成的系统机械能守恒,则mg·2Lsin30°=12kL2,所以k=2mgL,故B错误;当物块的加速度为零时,速度达到最大,则mgsin30°=kx,解得x=L4,故C正确;根据系统机械能守恒可得mgsin30°(L+L4)=12k(L4)2+12mvm23.(6分)(多选)如图所示,不可伸长的细绳的一端系着质量为m的小球(可视为质点),另一端固定在O点。现按压圆珠笔笔尾,松手后内部弹簧将笔尾迅速弹出,使小球做圆周运动。假设碰撞时弹簧释放的弹性势能全部转化为小球的动能,碰后立即撤去圆珠笔。已知绳长为L,重力加速度为g,忽略空气阻力。某次碰撞后小球刚好能运动到最高点,则()[A]小球在最高点时速度为零[B]该次弹簧释放的弹性势能为2.5mgL[C]仅增大小球质量,小球无法到达最高点[D]若释放的弹性势能小于2.5mgL,绳子一定会松弛【答案】BC【解析】由题意可知,小球在最高点时,重力恰好提供向心力mg=mv2L,解得v=gL,故A错误;根据机械能守恒Ep=mg×2L+12mv2=52mgL,故B正确;根据Ep=mg×2L+12mv2,Fn=mv2L,解得Fn=2EpL－4mg,可知仅增大小球质量,若小球可以运动到最高点,所需向心力减小,而小球重力变大,则此时重力大于向心力,小球不能通过最高点,故C正确4.(14分)如图所示,足够长的长木板固定在水平面上且右端固定一定滑轮,甲、乙、丙三个物块的质量分别为M、m、2m,甲右端固定一劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧的右端连接一轻质细绳,细绳跨过定滑轮并穿过乙(乙中央有孔)与丙相连,长木板上方的细绳和弹簧均保持水平。先将乙提起,甲、丙处于静止状态,然后将乙紧挨着丙由静止释放,之后的过程中甲恰好未发生滑动。已知弹簧的弹性势能Ep=12kx2(式中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量),弹簧始终在弹性限度内,重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,忽略空气阻力及滑轮的摩擦。求(1)乙释放的瞬间受到丙的支持力大小;(2)乙、丙一起下落过程中的最大速度;(3)甲与长木板之间的动摩擦因数。【答案】(1)23mg(2)mg2【解析】(1)乙释放前丙受到的绳的拉力F=2mg,设乙释放瞬间,乙、丙的加速度大小为a,刚释放时对乙、丙整体有3mg－F=3ma,对乙有mg－FN=ma,解得FN=23mg(2)初始时,弹簧的形变量x1=2mg弹簧的弹性势能Ep1=12kx设乙与丙的速度最大时弹簧的形变量为x2,速度最大时乙、丙整体的合力为零,故x2=3mg弹簧的弹性势能Ep2=12kx从刚释放乙到乙、丙速度最大,乙、丙和弹簧组成的系统机械能守恒,有3mg(x2－x1)=Ep2－Ep1+12×3mv解得vm=mg(3)乙、丙运动到最低点时速度为0,弹簧拉力最大,甲刚好不滑动,设此时弹簧的形变量为x3,则弹簧的弹性势能Ep3=12kx从刚释放乙到乙、丙运动到最低点,乙、丙和弹簧组成的系统机械能守恒,有3mg(x3－x1)=Ep3－Ep1,解得x3=4mgkx3=μMg,解得μ=4m对点2.非质点类机械能守恒问题5.(4分)如图所示,质量分布均匀的铁链,静止放在半径R=6πm的光滑半球体上方。给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑,当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为32m/s。已知∠AOB=60°,以OC所在平面为参考平面,g取10m/s2。下列说法正确的是([A]铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒[B]铁链在初始位置时其重心高度为33π[C]铁链的端点A滑至C处时其重心下降2.8m[D]铁链的端点A滑至C处时速度大小为62m/s【答案】C【解析】铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边铁链的拉力,该拉力做负功,故机械能不守恒,故A错误;根据几何关系可知,铁链长度为L=πR3=2m,铁链全部贴在球体上时,质量分布均匀且形状规则,如图,其重心在几何中心且在∠AOB的平分线上的E点,重心E到圆心O的距离为h0,B滑至C处时其重心F与圆心连线的长度不变也为h0,根据机械能守恒定律有mgh0－mgh0sin30°=12mv12,代入数据解得h0=1.8m,故B错误;铁链的端点A滑至C处时,其重心在参考平面下方L2处,则铁链的端点A滑至C处时其重心下降Δh=h0+L2=2.8m,故C正确;铁链的端点A滑至C处过程,根据机械能守恒定律有mgΔh=12mv22,解得6.(4分)如图所示,总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上,用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放,直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦,重力加速度为g,下列说法正确的是()[A]刚释放物块时,细线的拉力大小等于mg[B]在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中,软绳的机械能守恒[C]在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中,物块的机械能减少了18[D]在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中,软绳的机械能增加了38【答案】C【解析】刚释放物块时,物块有向下的加速度,根据牛顿第二定律有mg－FT=ma,可知拉力小于mg,故A错误;在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中,细线的拉力对软绳做了功,软绳机械能不守恒,故B错误;设软绳刚离开滑轮时,物块和软绳的速度为v,根据机械能守恒定律有mg·l2+mg2·l2=12·2m·v2,计算可得v=3gl2,则物块机械能的减少量为E减=mg·l2－12mv2=18mgl,故C正确;系统的机械能是守恒的,7.(6分)(2025·福建福州开学考试)(多选)如图甲,一轻质弹簧的一端固定在倾角为30°的固定光滑斜面底端,一个质量为1kg的物块从斜面上离弹簧上端一定距离的O点由静止释放。以位置O为原点、沿斜面向下为x轴正方向,取地面为零势能面。在物块下滑全过程中,重力势能随位移x变化关系如图乙中的图线①,弹簧弹性势能随物块位移变化关系如图乙中的图线②,弹簧始终在弹性限度范围内,重力加速度g取10m/s2,下列说法正确的是()[A]弹簧原长为0.6m[B]物块刚接触弹簧时的动能为3J[C]弹簧的劲度系数大小为62.5N/m[D]物块的最大加速度大小为25m/s2【答案】BC【解析】取地面为零势能参考平面,根据题图乙可知,物块初状态的重力势能为Ep0=mgh=8J,物块距离斜面底端L=hsin30°=1.6m,题图乙中的图线②表示弹簧的弹性势能随物块位移变化的关系,由此可知物块下滑h1=0.6m开始接触弹簧,则弹簧的原长为L0=L－h1=1.6m－0.6m=1.0m,故A错误;物块刚接触弹簧时,重力势能为Ep1,根据机械能守恒定律有Ep0－Ep1=Ek1,解得Ek1=3J,故B正确;由题图乙中图线②可知,弹簧发生形变的过程中,形变量为0.4m,根据弹簧弹性势能的计算公式Ep弹=12kΔx2,解得k=62.5N/m,故C正确;弹簧压缩量最大时,弹力为F=kΔx,根据牛顿第二定律有F－mgsin30°=ma,解得a=20m/s8.(16分)(2025·福建福州开学考试)如图所示,倾角θ=37°、光滑且足够长的斜面固定在水平面上,在斜面顶端固定一个半径和质量不计的光滑定滑轮D,质量均为m=1kg的物体A和B用一劲度系数k=120N/m的轻弹簧连接,物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住。用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮