2023年沪教版初中数学知识点

第一章数的整除

1.1整数和整除的意义

1.在数物体的时候,用来表达物体个数时数1,2,3,4,5,……，叫做整数

2.在正整数1,2,3,4,5,……,时前面添上“一”号，得到的数一1,-2,-3,-4,一

5,……，叫做负整数

3.零和正整数统称为自然数

4.正整数、负整数和零统称为整数

5.整数a除以整数b,假如除得的商恰好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或

者说b能整除a。

1.2因数和倍数

1.假如整数a能被整数I:整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数

2.倍数和因数是互相依存H勺

3.•种数的因数的个数是有限的，其中最小日勺因数是1,最大的因数是它自身

4.一种数的倍数D勺个数是无限的，其中最小的倍数是它自身

1.3能被2,5整除的数

1.个位数字是0,2,4,6,8U勺数都能被2整除

2.整数可以提成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数

3.在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数

4.在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数

5.个位数字是0,5的数番能被5整除

6.0是偶数

1.4素数、合数与分解素因数

1.只具有因数1及自身的整数叫做素数或质数

2.除了1及自身尚有别的因数，这样日勺数叫做合数

3.1既不是素数也不是合数

4.奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数

5.每个合数都可以写成兀种素数相乘的形式，这几种素数都叫做这个合数的素因数

6.把•种合数用素因数相乘的形式表达出来，叫做分解素因数。

7.一般用什么措施分解素因数：树枝分解法,短除法

1.5公因数与最大公因数

1.几种数公有的因数，叫做这几种数的公因数，其最大的一种叫做这几种数的最大公因数

2.假如两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素数

3.把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数

4.假如两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数日勺最大公因数较小的数

5.假如两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是1

1.6公倍数与最小公倍数

1.几种数公有的J倍数，叫做这几种数的公倍数

2.几种数中最小的公因数，叫做这几种数的最小公倍数

3.求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有日勺素因数和他们各自独有的素因数连乘,

所得的积就是他们FI勺最小公倍数

4.假如两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的J那个数

5.假如两个数是互素数，那幺这两个数的或小公倍数是；两个数日勺乘积

第二束分数

2.1分数与除法

1.一般地，两个正整数和除口勺商可用分数表达，即被除数+除数=

用字母表达为p+q=-（p、q为正整数）

q

2.会用数轴上口勺点表达分数

2.2分数的基本性质

1.分数的分子和分母同步乘以一种不为零的整数，分数的值不变

2.分子分母只有公因数1曰勺分数叫做最简分数

3.把一种分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分

2.3分数的比较大小

1.同分母分数的I大小只需要比较分子的大小，分子大B勺比较大，分子小H勺比较小

2.通分的一般环节是：

（1）求公分母一一求分母的最小公倍数；

（2）根据分数的基本性质，将每个分数化成分母相似的分数。

3.异分母分数比较大小需要先通提成同分母分数再按照同分母分数比较大小

2.4分数的加减法

1.同分母分数相加减，分母不变，分子相加减

2.异分母分数相加减，先通提成同分母分数，再按照同分母分数相加减

3.分子比分母小的分数，叫做真分数

4.分子不小于或者等于分母的J分数叫假分数

5.整数与真分数相加所成口勺分数叫做带分数

6.假分数化为带分数：分母不变，整数部分为原分子除以分母的商，分子则为原分子除以分

母的余数

7.列方程求未知数日勺一般书写环节：（1）设未知数为x;（2）根据题意列出方程：（3）根

据加减互为逆运算，表达出x等于那些数相加减；（4）计算出x的值，并写出上结论

2.5分数的乘法

1.两个分数相乘，分子相乘作为分子，分母相乘作为分母

2.假如乘数是带分数，先化成假分数，再进行运算

2.6分数的除法

1.一种数与其相乘的积为1的数为这个数的倒数；0没有倒数

2.除以•种分数等于乘以这个分数B勺倒数

3.被除数或除数中有带分数的先化成假分数再进行运算

2.7分数与小数的互化

1.一种分数能不能化为有限小数和分数的分母有关

2.从小数点后某一位开始不停地反更出现前一种或一节数字口勺无限小数叫做循环小数

3.被反复I内一种或一节数码称为循环小数的循环节

4.一种分数总可以化为有限小数或无线循环小数

2.8分数、小数的四则混合运算

2.9分数运算的应用

第三*比和山/

3.1比的意义

1.将a与b相除叫a与匕H勺比，记作a:b,读作a比b

2.求a与b日勺比，b不能为零

3.a叫做比例前项，b叫做比例后项，前项a除后来项b的商叫做比值

4.求两个同类量的比值时，假如单位不一样，先统一单位再做比

5.比值可以用整数、分数或小数表达

3.2比的基本性质

1.比的基本性质是比的前项和后项同步乘以或除以用似的数（0除外），比值不变

2.运用比的基本性质，可以把比华为最简整数比

3.两个数H勺比，可以用比号日勺形式表达，也可以用分数的形式表达

4.三项连比性质是：假如a：b=m：n,b：c=n：k,那么a：b：c=m：n：k

假如kHO,那么a:b:c=ak:bk:ck=::

5.将三个整数比化为最简整数比，就是给每项除以最大公约数；

将三个分数化为最简整数比，先求分母的最小公倍数，再给各项乘以分母H勺最小公倍数;

将三个小数比化为最简整数比先给各项同乘以10,100,1000等，化为整数比，再化为最简

整数比

6.求三项连比日勺一般环节是：（Do寻找关联量，求关联量对应的两个数日勺最小公倍数

（2）根据毕的基本性质，把两个比中关联量化成相似的数

（3）对应写出三项连比

3.3比例

1.a（第一比例项）：b（第二比例项）=c（第三比例项）：d（第四比例项）；其中a、d

叫做比例外项，b、c叫做比例内项

2.假如两个比例内项（外项）相似，即a:b=b:c,那么b叫做a、c比例中项

3.运用比例的基本性质，可以把比例方程转化化为我们常见的形式ad=be,简朴的说，就

是内项之积等于外项之积

4.列方程解应用题的一般书写环节分四步：（1）设未知数（2）列方程（3）解方程（4）

答

5.列比例方程时，一定要注意对应关系，一定要注意同类量R勺单位要对应统一

3.4比例的意义

1表达一种数是另一种数的百分之几的）数叫做百分数，表达n%,读作百分之……

2.把百分数化为小数

3.把小教化为百分数

3.5比例的应用

1.三个关键词：是，占.时

2.一条主线：求部分占全体的J百分数；

三类情景：一般文字题，记录图和登记表，恩格尔系数

3.获利问题的俩个基本公式：售价一成本二获利，获利率二获利/成本X100%；在售价、成

本和获利三个量中，只要懂得其中H勺两个量，就可以计算出获利率

打折问题的一•种基本公式：原（售）价X折数;现（售）价：在原价、现价和折数三个量中,

只要懂得其中两个量，就可以计算出第三个量

亏损时获利意义相对的量：获利=售价一成本，亏损=成本一售价

4.银行利息的结算和本金、利率和期数有关(注意：贷款利息不纳税)

利息=本金X利率X期数；利息税=利息X20%；

税后本息和二本金+税后利息:本金+利息一利息税;本金+利息X(1-20%)

增长率=增长的量/本来的基数X100%

3.6等也许事件

1.从实际生活中感悟那些事件是也许事件，哪些事件是不也许事件

2.也许性的大小可以用一种真分数或百分数表达

第皿章圆和扇形

4.1圆的周长

1.周长公式C=/d=2irr,其中冗是一种无限不循环小数，一般取兀=3.14

2.会根据题意，有其中2个量求第三个量的值

4.2弧长

1.如图，圆上A.B两点间H勺部分就是弧，记作读作弧AB,NA0B称为圆心角/

2.圆心角所对日勺弧长是圆周长日勺\

3.设圆的半径为r,圆心角所对的弧长是，弧长公式：=7tr

4.3圆的面积

1.圆的J面积S=3T

2.环形的面积;大圆的面积一小圆的面积S=K(-)

4.4扇形的面积

1.扇形面积公式=T]=

2.现定阴影部分面积，要善亍抓住图形冏依J氏尊关系和数量关系迸行合适的|物补

第五常有理数

5.1有理数的意义

1.整数和分数统称为有理数

2.有理数整数：正整数、零、负整数

分数：正分数、负分数

5.2数轴

1.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

2.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。

3.所有时数都可以用数轴上时点来表达。也可以用数轴来比较两个数的大小

4.在数轴上表达H勺两个数，正方向时数不小于负方向时数

3.零是正数和负数H勺分界。

4.只有符号不一样的两个效，我们称其中一种数为另一种数的相反数，也称为这两个数互为

相反数，零的相反数是零。

5.3绝对值

1.一种数在数轴上所对应时点与原点H勺距离，叫做这个数的I绝对值

2.一种正数的绝对值是它自身c

3.一种负数的绝对值是它的相反数。

4.零的绝对值是零。

5.两个负数，绝对值大的那个数反而小。

5.4~5.5有理数的加减

1.有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取本来的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为零，绝对值不相等时，其和"勺绝对值为较大绝对值减

去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数H勺符号。

（3）一种数同零相加，仍得这个数。

2.有理数加法H勺运算律:

（1）互换律:a+b=b+a

（2）结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

3.有理数的减法法则

（1）减去一种数，等于加上这个数的相反数

（2）a-b=a+（-b）

5.6~5.7有理数的乘除

1.两数相乘日勺符号法则：

正正得正，正负得负，负正得负，负负得正。

2.有理数的乘法法则

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数与零相乘，都得零。

3.注意连成的符号：

（1）几种不等于零日勺数相乘，积的符号由负因数日勺个数决定

（2）当负因数有奇数个时，积为负

（3）当负因数有偶数个时，积为正

（4）几种数相乘，有因数为零，积就为零

4.有理数除法法则：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）零除以任何一种不为零的数，都得零。

5.8有理数的乘方

1.求N个相似因数U勺积的运算，叫做乘方。乘法的成果叫做赛。在an中，a叫做底数,n叫做

指数，读作an次方,an看做是aH勺n次方成果时，读作aH勺n次解。

5.9有理数的混合运算

1.正数的任何次幕都是正数，负数的奇多次幕是负数，负数的偶多次幕是正数。

2.有理数混合运算的次序：先乘方，后乘除，再加减；记录运算从左到右；假如有括号，先算

小括号，后算中括号，再算大括号。

5.10科学计数法

1.把一种数写成aXIOn（其中lWaV10,n是正整数），这种形式日勺计数措施叫做科学计数法

2.近似数与精确数H勺靠近程度即近似程度。对近似程度日勺规定，叫做精确度。

3.有效数字：从左边第一种不为零H勺数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数H勺

有效数字

第六录一次方程r组）

友一决不等式（i&）

6.1列方程

1.用字母x、y、等表达所规定日勺未知的数量，这些字母称为未知数。具有未知数的等式叫做

方程。在方程中，所含的未知数又称为元。

2.为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。

6.2方程的解

1.假如未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解

6.3一元一次方程及其解法

1.只具有一种未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程

2.等式性质：

（1）等式两边同步加上［或减去）同一种数或一种具有字母的式子，说得成果仍是等式。

（2）等式两边同步乘以同一种数（或除以同一种不为零艮I数），所得成果仍是等式。

3.去括号的法则是：

括号前带“+”号，去掉括号时括号内各项都不变符号。括号前带“一”号，去掉括号时括号

内各项都变化符号。

4.解一元一次方程口勺一般环节是：

（1）去分母；

（2）去括号;

（3）移项；

（4）化成ax=b（a#0）H勺形式

（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解x=b/a

6.4一元一次方程的应用

1.列方程解应用题口勺一般环节是：

（1）设未知数（元）；

（2）列方程；

（3）解方程；

（4）检查并作答。

6.4不等式及其性质

用不等号隈”“2”表达的关系式,叫做“不等式”。

不等式性质：

1.不等式的两边同步加上（或减去）同一种数或同一种具有字母H勺式子，不等号的方向不变,

即：

假如a>b,那么a+m>o+m

假如a<b,那么a+m<3+m

2.不等式的两边同步乘以（或除以）同一种正数，不等号的方向不变，即：

假如a>b,且m>0,那么am>bm（或a/m>b/m）

假如a<b,H.m>0,那么amVbm（或a/m<b/m=

3.不等式的两边同步乘以（或除以）同一种负数，不等号的）方向变化，即：

假如a>b,且mVO,那么amVbm（或a/m>b/m）

假如aVb,且mVO,那么am>bm（或a/mVb/m）

6.6一元一次不等式的解法

1.在具有未知数H勺不等式中，能使不等式成立FJ勺未知数的值，叫做不等式的解。

2.一般状况下，一元一次方程的J解只有一种，一元一次不等式的解可以有无数个。不等式的I

解的全体叫做不等式的解集。

3.只具有一种未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。

4.解一元一次不等式时一般环节与解一元一次方程类似。

6.7一元一次不等式组

1.由几种具有同一种未知数的一次不等式构成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

2.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组I内解集。

3.求不等式组日勺解集的过程叫做解不等式组。

4.假如各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解。

5.解一元一次不等式组的一般环节是：

(1)求出不等式组中各个不等式的解集；

(2)在数轴上表达各个不等式的解集；

(3)确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组口勺解集。

6.8二元一次方程

1.具有两个未知数日勺一次方程叫做二元一次方程。

2.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

3.二元一次方程H勺解有无数个，二元一次的解的全体叫做这个二元一次方程的解集。

6.9二元一次方程组及其解法

1.由几种方程构成日勺一组方程叫做方程组。假如方程组中具有两个未知数，且含未知数H勺项

的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元••次方程组。

2.在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。

3.通过“代入”消去一种未知数，将方程式转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法,

简称代入法。

4.通过将两个方程相加(或相减)消去一种未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解

法叫做加减消元法。

6.10三元一次方程组及其解法

1.假如方程组中有三个未知数，且具有未知数日勺项的次数都是一次，这样日勺方程组叫做三元

一次方程组。

6.11一次方程组的应用

1.列方程解应用题时要灵活选择未知数I向个数。

2.对于具有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于具有三个未知数H勺应

用题一般采用列三元一次方程组求解。

第七*线段芍角的面法

7.1线段的大小比较

1.联结两点II勺线段的长度叫做两点之间的距离。

7.2画线段的和、差、倍

1.两条线段可以相加（或相减），它们口勺和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段

的长度附和（或差）。

2.将一条线段提成两条相等线段欧I店叫做这条线段口勺中点。

7.3角概念与比较

1.角是具有公共端点的两条射线构成的图形。公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角E勺边。

7.4角的大小比较、画相等的角

1.角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一种位置所成的图形。处在初始位置的那条射线叫

做角。勺始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。

7.5画角的和、差、倍

1.两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一种先，它II勺度数等于这两个角U勺角

度的和（或差）。

2.从一种角的顶点引出一条射线，把这个角提成两个相等日勺角，这条射线叫做这个角的平分

线。

7.6余角、补角

1.假如两个角口勺度数的和是90二，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。其中一种角成为

另一种角的余角。

2.假如两个角的度数的和是180二，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。其中一种角称为

另一种角的补角。

3.注意：

（1）同角（或等角）H勺余角相等；

（2）同角（或等角）的补角相等；

4.提问：

（1）一种角与它"勺余角相等，这个角是怎样的角？是锐角

（2）一种角与它的补角相等，这个角是怎样日勺角？是直角

（3）.互补的两个角能否都是锐角？不能

（4）互补的J两个角能否都是直角？也许

（5）互补的两个角能否都是钝角？不能

第八重氏方体时再以聚

1.长方体有六个面，八个顶点，十二条棱。

2.长方体的每个面都是长方形。

3.长方体的十二条棱可以分为三组，每组中H勺四条棱的长度相等。

4.长方体的六个面可以分为三组，每组中H勺两个面的形状和大小都相似。

5.长方体中棱与棱位置关系的认识：

一条棱与另一条棱所在的直线在同一种面内，它们有惟一H勺公共点，我们称这两条棱相交。

一条棱与另一条棱所在的直线在同一种面内，但它们没有公共点，我们称这两条楂平行。

一条棱与另一条棱所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面。

6.一般地，假如直线AB与直线CD在同一平面内，具有惟一公共点，那么称这两条直线日勺位

置关系为相交，读作：直线AB与直线CD相交。

7.假如直线AB与直线CD在同一平面内，但没有公共点，那么称这两条直线的位置关系为平

行，记作:AB〃CD,读作：直线AB与直线CD平行。

8.假如直线AB与直线CD既不平行，也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作:

直线AB与直线CD异面。

9.直线PQ垂直于平面ABCD,记住：直线PQ_L平面ABCC,读作：直线PQ垂直于平面ABCD。

10.怎样检查直线与平面垂直呢？可以用“铅垂线”检查。

假如细棒垂直于墙面，可以用“三角尺”检查。

还可以用“合页型折纸”检查直线与否垂直于平面。

11.直线PQ平行于平面ABCD,记作：直线PQ〃平面ABCD,读作：直线PQ平行于平面ABCD.

12.怎样检查直线与平面平行呢？可以用“铅垂线”检查。

也可以用“长方形纸片”检杳。

第九束整我

9.1字母表达数

9.2代数式

1.代数式：用括号和运算符号把数或表达数的字母连接而成的式子叫代数式。单独时数或字

母也是代数式。

2.代数式的书写：

（1）代数式中出现乘号一般写作“-”或省略不写，但数与数相乘不遵照此原则。

（2）数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。

（3）带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。

（4）相似字母相乘一般不把每个因式写出来，而写成幕的形式。

（5）代数式不能具有“=、W、＜、＞、2、符号。

9.3代数式的值

1.用数值替代代数式中的字母，按照代数式H勺运算关系计算出H勺成果，叫代数式的值。

2.注意：

(1)代数式中省略了乘号，带入数值后应添加义。

(2)若带入时值是负数时，应添上括号。

(3)注意解题格式规范，应写“当……时，原式=……

(4)在实际问题中代数式所取的值应使实际问题故意义。

9.4整式

1.由数与字母H勺乘积构成时代数式称为单项式。单独一种数或字母也是单项式。

2.系数：单项式中日勺数字因数叫做这个单项式的系数。

3.单项式的次数：一种单项式中所有字母H勺指数的和叫做这个单项式的次数。

4.多项式：几种单项式的却叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母H勺项

叫做常数项。

5.多项式的次数：多项式里次数最高H勺项的次数叫做这个多项式的次数

6.整式：单项式和多项式统称为整式。

9.5合并同类项

1.同类项：所含字母相似，并且相似字母日勺指数也相似的项叫做同类项。

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。一种多项式合并后具有儿

项，这个多项式就叫做几项式。

3.合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的成果作为合并后的系数，字母和字母的指数

不变。

9.6整式的加减：

1.去括号法则：

(1)括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里各项的不变号；

(2)括号前面是“一”号，去抻“一”号和括号，括号里H勺各项都变号。

2.添括号法则

(1)所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

(2)所添括号前面是“一”号，括到括号里的各项都变化符号。

9.7同底数瓶的乘法

1.同底数聚相乘，底数不变，指数相加:am•an=am+n(m、n都是正整数)。

9.8赛的乘方

1.冢的乘方，底数不变，指数相乘：(am)n=amn(m.n都是正整数)

9.9积的乘方

1.积的乘方等于各因式乘方的积：(ab)n=anbn(m,n都是正整数)

2.任何一种不等零日勺数的・p(p是正整数)指数累，等于这个数的p指数帚的倒数：

3P=1自壬Cn层TF螃新1

9.10整式的乘法

1.单项式与单项式相乘：

单项式与单项式相乘，把它们H勺系数、相似字母分别相乘，对于只在一种单项式里具有日勺

字母，则连同它的指数作为积的一种因式。

2.单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，就是根据分派率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得I为积相加,

即。

注意：单项式乘多项式实际上是用分派率向单项式相乘转化。

3.多项式H多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一种多项式U勺每一项乘另一种多项式的每一项，再把所得的积

相加，即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn。

9.11平方差公式

1.内容：（a+b）・（a—b）=a2—b

2.意义：两个数日勺和与这两个数日勺差日勺乘积，等于这两个数日勺平方差。

3.特性：

(1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相似，另一项互为相反数：

(2)右边是乘式中两项H勺平方差；

(3)公式中的a和b可以使有理数，也可以是单项式或多项式。

4.几何意义：平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的体现式。

5.拓展：

(1)立方和公式：(a+b)(a?—ab+b?)=a3+b3；

233

(2)立方差公式：(a-b)(a?+ab+b)=a-bo

(a-b)(a+ab+ab2+***+a2b+ab+b)=a-b□

9.12完全平方公式：

i.内容：

(a+b)2=a2+b24-2ab;

222

(a-b)=a-I-b-2abo

2.意义：

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍。

两数差日勺平方，等于它们的平方和，减去它们积的2倍。

3.特性：

(1)左边是一种二项式的完全平方，右边是一种二次三项式，其中有两项是公式左边二项

式中每一项口勺平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简记为“首平方，尾平方，积

日勺2倍在中央。”

(2)公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

4.拓展：

(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

(2)(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2;

33322

(3)(a-b)=a-b-3ab+3abo

9.13提取公因式法：

1.因式分解的意义：把一种多项式化为儿种整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式

分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几种整式的积。

2.注意：

①因式分解的规定：

(1)成果一定是积的形式，分解H勺对象是多项式；

(2)每个因式必须是整式；

(3)各因式要分解到不能分解为止.

②因式分解与整式乘法的关系：是两种不一样的变形过程，即互逆关系。

3.提公因式法分解因式：

ma+mb+mc=m(a+b+c),这个变形就是提公因式法分解因式。

这里的m可以代表单项式，也可以代表多项式，m称为公因式。

4.确定公因式措施：

系数：取多项式各项系数的最大公约数。

字母(或多项式因式)：取各项都具有的字母(或多项式因式)的最低次繇。

9.14公式法

1.平方差公式：a2—b2=(a4-b)•(a—b),,

2.完全平方公式：a24-b2+2ab=(a4-b)2;

a2+b2-2ab=(a-b)2<>

3.立方和与立方差公式：a34-b3=(a4-b)(a2—ab4-b2)；

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)o

4.注意：

(1)公式中日勺字母a、b可代表一种数、一种单项式或一种多项式。

(2)选择使用公式B勺措施：重要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方差或立方和、

立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。

9.15.十字相乘法

运用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的措施叫做十字相乘法。

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。

9.16分组分解法：

1.将多项式的项合适的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。

2.合用范围：适合四项以上的多项式的分解。

分组的原则为：分组后能提公因式或分组后能运用公式.

3.其他措施：

求根公式法：x2+bx+c=O(aHO)的两根是x1、x2,

2

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)o

4.因式分解的一般环节及注意问题：

(1)对多项式各项有公因式时，应先提供因式。

(2)多项式各项没有公因式时，假如是二项式就考虑与否符合平方差公式；假如是三项式

就考虑与否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；假如是四项或四项以上的多项式,

一般采用分组分解法。分解因式，必须进行到每一种多项式都不能再分解为止。

9.17同底数赛的除法

1.同底数帚相除，底数不变，指数相减:am-?an=am-n(aKO,mn都是正整数，Jim>n)

2.任何一种不等于零的数E勺零指数艰都等于1:aO=l(a^O)

9.18单项式除以单项式：

1.单项式与单项式相除的法则：

单项式与单项式相除，把系数、同底数塞分别相除，作为商H勺因式，对于只在被除式里具有

的字母，则连同它日勺指数作为商欧I•种因式。

2.注意：

(1)两个单项式相除，只要将系数及同底数累分别相除即可。

(2)只在被除式里具有H勺字母不不要遗漏。

9.19多项式与单项式相除：

1.多项式与单项式相除日勺法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以

这个单项式，再把所洱的商■相加，即

(ma+mb+mc+dm)+m=am+m+bm+m+cm+m+dm+m。

2.注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这

样计算的。

3.整式的J混合运算：关键是注意运算次序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号,

再去中括号，最终去大括号，先做括号里的。

X内容整顿

第十常分穴

10.1分式的意义

两个整式A/B相除，即A+B时,可以表达为A/B.假如B中具有字母,那么A/B叫做分式。A

叫做分式的分子,B叫做分式的分母。

假如一种分式的分母为零，那么这个分式无意义。

10.2分式的基本性质

2.分式的分子和分母同步乘以（或除以）同一种不为。的整式，

分式I总值不变。用式子表达为:A/B=A*C/B*CA/B=A+C/B・C

（A,B,C为整式,且B.C#为

3.约分:把一种分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

4分式的约分环节：

（1）假如分式的分子和分母都是或者是几种乘积的形式,将它们的公因式约去

（2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别，再将公因式约去.

注:公因式的提取措施:取分子和分母系数的，字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字

母『、J最小指数，即为它们的公因式.

5.一种分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.约分时，一般将一种分式化

为最简分式。

6.通分：把几种异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。

7.分式的通分环节:先求出所有分式分母口勺最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母.

同步各分式按照分母所扩大的倍数，对应扩大各自"勺分子.

8.注:

最简公分母确实定措施:系数取各因式系数的最小公倍数，相似字母口勺及单独字母的箱的乘

积。

9.注:⑴约分和通分的根据都是分式的基本性质。

（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。

103分式的运算

1.分式的乘法法则:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积I向分

母.用字母表达为:a/b*c/d=ac/bd

2.分式的除法法则：

（1）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘:a/b-rc/d=ad/bc

（2）除以一种分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b+c/d=a/b*d/c异分母分式通分时，关键是

确定公分母，一般取各分母所有因式的最高次赛的积作为公分母，这样日勺公分母叫做最简公

分母。

10.4分式附加减

L同分母分式加减法则:同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减.用字母表达为：a/c±

b/c=a±b/c

2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减，先通分,化为同分母口勺分式，然后再按同分母分

式的J加减法法则进行计算用字母表达为：a/b±c/d=ad±cb/bd

10.5分式方程

1.分式方程的意义:分母中具有未知数的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法：

（1）去分母（方程两边同步乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；

（2）按解整式方程小J环节求出未知数日勺值；

（3）验根（求出未知数的莅后必须脸根,由于在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未

知数的取值范围,也许产生增根）.

10.6整数指数赛及其运算

第十BB形的运财

11.1图形的平移

1.平移H勺定义：在平面内，将一种图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平

移。平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。

2.关键：（1）平移不变化图形的形状和大小（也不会变化图形H勺方向，但变化图形H勺位置）。

（2）图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

3.平移的规律（性质）：通过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应

角相等。

4.简朴的平移作图:

平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一种特性点按一

定方向和一定的距离平行移动。

11.2图形的旋转

1.旋转的定义：在平面内，将一种图形饶一种定点沿某个方向转动一种角度，这样的运动叫

做图形的旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。

2.关键：（1）旋转不变化图形的形状和大小（但会变化图形的J方向，也变化图形的位置）△

（2）图形旋转四要索,：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

3.旋转日勺规律（性质）：通过旋转，图形上H勺每•种点都绕旋转中心沿相似方向转动了相似日勺

角度，任意一对对应点与旋转中心口勺连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相

等。（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。）

4.简朴的旋转作图：

旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一

种特性点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

11.3旋转对称图形与中心对称图形

1.旋转对称图形：把一种图形绕着一种定点旋转一种角度a后，与初始图形重叠，这种图形

叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角a满足0<

a<360）

2.中心对称图形：假如把一种图形绕着一种定点旋转180后，与初始图形重叠，那么这个图

形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

11.4中心对称

1.把一种图形绕着一种定点旋转180后，与另一种图形重叠，那么叫做这两个图形有关这点

对称，也叫做这两个图形成中兴对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做有

关中心的对称点。

11.5翻折与轴对称图形

1.轴对称图形定义：假如一种图形沿着一条直线折光后，直线两旁的部分可以互相重叠，那

么这个图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称抽。

11.6轴对称

1.两个图形有关这条直线成轴对称：假如把一种图形沿某一条直线翻，能与另一种图形重叠,

那么叫做这两个图形有关这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫

做有关这条直线H勺对称点，

2.注意：

（1）轴对称是说两个图形的J位置关系；而釉对称图形是说一种具有特殊形状的图形。

（2）成轴对称的两个图形，必然是全等图形。

3.轴对称的性质：对应点所连的线段被对称釉垂直平分；对应线段相等；对应角相等。

图形的平移

旋转对称图形中心对称图形

图形的运动图形的旋转

中心对称

轴对称图形

图形的翻折

轴对称

轴对称和轴对称图形之间的区别与联络

轴对称油对称图形

区①指两个图形而言；①对一种图形而言；

别②指两个图形口勺一种形状与位置关系。②指一种图形的特殊形状。

联①均有一条直线，都要沿这条直线折若重叠；

络②把两个成轴对称的图形当作•种整体，就是•种轴对称图形；反过来，把轴对称图形

沿对称轴提成两部分，这两部分有关这条直线成轴对称。

②把两个成轴对称的图形当作一种整体.就是一种轴对称图形：反过来,把轴对称图形

沿对称轴提成两部分，这两部分有关这条直线成轴对称。

轴对称与否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置

几何图

形的对

称轴：

名称

线段是2条垂直平分线或线段所在的直线

角是1条角平分线所在的宜线

长方形是2条对边中线所在的直线

正方形是4条对边।口线所在的直线和对角线所在H勺直线

圆是无数条直径所在的直线

平行四边形不是0条

第十二章实数

12.1实数的概念

1.有理数和无理数统称为实数。

2.实数按如下方式分类：

正有理数

有理数零有限小数或无限循环小数

负有理数

实数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

1.实数和数轴上的点一一对应，即每i种实数都可以用数轴上的一种点来表达：反过来，数

轴上的每一种点表达一种实数。

2.正数不小于零，负数不不小于零，正数不小于负数。

3.两个正数，绝对值大口勺数较大，两个负数，绝对值大口勺数反而小。

4.无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。

12.2平方根和开平方

1.假如一种数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，也就做二次方根。

2.求一种数。的平方跟的运算叫做开平方，。叫做被开方数。

3.一种正数a的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。

4.正数aH勺两个平方根可以用“土”表达，其中表达a的正时平方根(又叫算术平方根)，读作

“根号a”；表达aH勺负平方根，读作“负根号

零的平方根记作JO,V0=0.

(1)当a>0时，(0)2=a,(0)2=a.

(2)当a孑。时，口=a;

当a£0时，0=-a

12.3立方根和开立方

1.假如一种数目勺立方等于a,那么这个数叫做a的立方根，用“”表达，读作“三次根号

中的。叫做被开方数，"3"叫做根指数。

2.求一种数a时立方根的运算叫做开立方。

3.正数H勺立方是一种正数，负数的立方是一种负数，零口勺立方等于零，因此正数的立方根是

一种正数，负数的立方根是一种负数，零日勺立方根是零。

4.任意一种实数均有立方根，并且只有一种立方根。

12.4n次方根

L假如一种数的n次方（n是不小于11向整数）等于。，那么这个数叫做all勺n次方根，当n为奇

数时，这个数为。的I奇次方根：当n为偶数时，这个数为。的偶次方根

2.求一种数a的n次方跟的运算叫做开n次方，a叫做被开方数,n叫做根指数。

3.实数aH勺奇次方根有且只有一种，用“团”表达，其中被开方数。是任意一种实数,根指数n

是不小于1的奇数。

4.正数a日勺偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“团”表达，负n次方根用“一”

表达，其中被开方数a>0,根指数n是正偶数（当n=2时，在土团中省略n）

5.负数的偶次方根不存在。

6.零的n次方根等于零，表达为0=0

7.“近”读作“n次根号a”

12.5用数轴上的点表达数

1.有理数范围内绝对值、相反数意义：一种实数在数轴上所对应H勺点到原点的距离叫做这个

数的绝对值。实数a日勺绝对值记作|a|.

2.绝对值相等，符号相反#J两个数记作互为相反数；

3.零时相反数是零。非零实数a的相反数是一a。

4.实数大小的比较：

（1）负数不不小于零；零不不小于正数。

（2）两个正数，绝对值大H勺数较大；两个负数，绝对值大的数较小。

（3）从数轴上看，右边的点所示时数总比左边H勺点所示的数大。

5.两点间的距离:

在数轴上，假如点A、点B所对应口勺数分别为a、b,那么A、B两点的距离AB=Ia-bI.

12.6实数的运算

设a>0,b>0,可知(0・团)=(0)2«0)2=abo

根据平方根的意义，得团=m・0o

何理：00

12.7分数指数赛

1.々a'=(a>0)

0=0(a>0)其中m、n为止整数，n>l.

2.有理数指数幕有下列性质：

设a>b,b>0,P、q为有理数，那么

(1)0•0=0,000=0

⑵SA二十

本章小结

有理数

t无理数

实数用数轴上的点表达数

运算法则及运算性质

《

实数的运算

近似数及近似计算

、「

数的开方分数指数事有理数指数转运算性质

第十三重相交线、平行线

13.1邻补角，对顶角

1.相交线的定义：在同一平面内，假如两条直线只有一种公共点，那么这两条直线叫做相交

线。

2.(1)对顶角的定义：一种角的两边分别是另一种角的两边"勺反向延长线，这两个角叫做

对顶角。

(2)对顶角的性质：对顶角相等。

3.(1)邻补角叫定义：有公共顶点和•条公共边，并且互补叼两个角称为邻补角。

(2)邻补角的性质：邻补角互补。

13.2垂线

1.垂线的定义：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的1一条直线叫做另一

条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

2.垂线aJ性质：

性质1：过一点有旦只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。

3.点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段H勺长度，叫做点到直线的距离。

13.3同位角、内错角、同旁内角（三线八角）

1.同位角：两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角。

2.内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线时两旁，这样H勺一对角叫做内错角。

3.同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。

平行线日勺概念

13.4平行线的鉴定

1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理欧I推论：假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行，被称为平行

的传递性。

3.平行线的鉴定：

（1）两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。

（同位角相等，两直线平行）

（2）两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行。

（内错角相等，两直线平行）

（3）两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（同旁内角互补，两直线平行）

13.5平行线的性质

1.两条直线被第通过直线外地•点，有且只有•条直线与已知直线平行。

2.两条平行线被第三条直线所载，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）

3.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行•，内错角相等）

4.两条平行线被第三条直线所械，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）

5.两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的）距离都

是•种定值，这个定值叫做这两条平行线间H勺距离。

笫十皿章三角形

14.1三角形的有关概念

1.三角形的有关线段：三角形的高，中线，角平分线

2.三角形的分类：

锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形

14.2三角形的内角和

1.三角形的内角和等于0,三角形的）外角和等于团O

2.三角形的一种外角等于与它不相邻H勺两个内角的和；

三角形的一种外角不小于任何一种与它不相邻日勺内角。

14.3全等三角形的概念与性质

1.可以重叠的两个图形叫做全等形“

2.两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，通过运动后一定重叠，互

相重叠的顶点叫做对应顶点；互相重叠的边叫做对应边；互相重叠的角叫做对应角。

3.全等三角形的对应边相等，对应角相等。

14.4全等三角形的鉴定

1.鉴定措施1在两个三角形中，假如有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形

全等（简记为S.A.S）。

2.鉴定措施2在两个三角形中，假如有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形

全等（简记为A.S.A）。

3.鉴定措施3在两个三角形中，假如有两个角及其中一种角的对边对应相等，那么这两个

三角形全等（简记为A.A.S）。

4.鉴定措施4在两个三角形中，假如有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为

S.S.S）o

5.斜边和一条直角边对应相等mr两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“HL”。

6.SSA、AAA不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，假

如有两边一角对应相等时，角必须是两边H勺夹角,三角形全等H勺证明思绪

三角形全等的证明思绪

*

找夹角一sAS

【.已知两边找直角一一HL

找另一边一一SSS

’找边的对角一一AAS

・

n.已知一边一角边为角的邻边［找夹角的另一边一一sAS

找夹边的另一角一一ASA

边为角H勺对边一一找任意一角一一AAS

HI.已知两角•找夹边一一ASA

我任意一边----AAS

14.5等腰三角形的性质

1.等腰三角形H勺两个底角相等（简称“等边对等角”）。

2.等腰三角形日勺顶角平分线、底边上口勺中线、底边上口勺高互相重叠（简称为“等腰三角形的

三线合一”）。

3.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。

14.6等腰三角形的鉴定

1.假如一种三角形有两个鱼相等，那么这两个角所对。勺边也相等，这个三角形是等腰三角形

（简称为“等角对等边”八

14.7等边三角形

1.等边三角形是特殊的等腰三角形，它日勺三边都相等。

2.等边三角形的性质：等边三角形的每个内角等于0o

3.鉴定等边三角形口勺措施：

（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形。

（2）有种角等「60MJ等腰三角形是等边三角形。

第十五*平面直角坐株茶

15.1平面直角坐标系

1.在平面内取一点，过点回画两条互相垂直日勺数轴，且使它们以点团为公共原点。这样，就

在平面内建立了一种直角坐标系。一般，所画H勺两条数轴中，有一条是水平放置的I,它的正

方向向右，这条数轴叫做横轴(记作团轴)；另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条轴

叫做纵轴(记作团轴)。如图所示，记作平面直角坐标系(3；点团叫做坐标原点(简称原点)，

团轴和回轴统称为坐标轴3

2.在平面直角坐标系xOy中，点P所对应的有序实数对(a,b)叫做点P的坐标，记作Pla,b),

其中°叫做横坐标,b叫做纵坐标。

3.象限的划分：

4.通过点A(a,b)且垂直于x轴的直线可以表达为直线XM,通过点A(a,b)且垂直「y轴的直线

可以表达为直线丫=4

15.2直角坐标平面内点的运动

L点的坐标

有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一种有序数对来表达,a点对应x轴的数值为

横坐标,b点对应y轴小J数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作(a,b)。

在直角坐标平面内，

2.平行于x轴的直线上日勺两点A(“«,y)、B(W,y)Kl距离

AB=|X、_X*।.

平行于y轴的直线上日勺两点C(x,几)、D(x,小的距离

CD=|八一力|.

3.点的平移

在平面直角坐标系中，（m>0）

将点（x,y）向右平移m个单位长度，可以得到对应点：x+m,y）；

将点（x,y）向左平移m个单位长度，可以得到时应点：x-m,y）；

将点（x,y）向上平移m个单位长度，可以得到对应点：x,y+m）；

将点）向下平移个单位长度，可以得到对应点（）

（x,ymx,y-m0

4.坐标平面图

坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成口勺，也可以说坐标平面内口勺点可以分为

六个区域：x轴上,y轴匕第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中，除

x轴与y轴的一种公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点。

建立了直角坐标系H勺平面叫做直角坐标平面（简称坐标平面）。这样，本来平面内的点都可

以用有序实数对来表达。

在平面直角坐标系回中，点回所对应口勺有序实数对团叫做点回的I坐标，记作回,其中B叫做

横坐标，团叫做纵坐标。

原点团日勺坐标是回。团的坐标是回看H勺坐标是团。

5.在平面直角坐标系中对称点的特点：

（1）有关x成轴对称H勺点H勺坐标，横坐标相似，纵坐标互为相反数。（横同纵反）

(2)有关y成轴对称时点的坐标，纵坐标相似，横坐标互为相反数。(横反纵同)

(3)有关原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相

反数。(横纵皆反)

一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)有关X轴对称的点的坐标为(x,y);与点M(x,y)有关

V轴对称的点口勺坐标为(-XJ).

一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)有关原点对称W、J点口勺坐标为(-x,-y)。

第十六章二次板式

16.1二