沪科 八年级 数学 上册 第5章《 5.1 勾股定理及其逆定理》课件

5.1 勾股定理及其逆定理第五章

勾股定理与实数学习目标课时讲解1课时流程2勾股定理勾股定理的证明勾股定理的应用勾股定理的逆定理逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点勾股定理1文字语言直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方图示符号语言因为在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2变式a2=c2-b2，b2=c2-a2

知1－讲感悟新知基本思想方法勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范拓展设三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），则在锐角三角形中满足a2+b2>c2，在钝角三角形中满足a2+b2<c2

感悟新知知1－讲特别提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理。2.已知直角三角形的任意两边可以求出第三边。感悟新知知1－讲特别解读运用勾股定理求边长时，关键是要分清直角边和斜边，明确所求的是哪一条边。若题目中没有明确指出哪条边是斜边，则需要分类讨论，以免漏解。知1－练感悟新知[母题教材P125练习T1]在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C

的对边长分别为a，

b，c，∠C=90°。(1)已知a=6，b=8，求c；(2)已知c=17，a=15，求b；(3)已知a∶b=3∶4，c=15，求b。例1解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答。知1－练感悟新知解：(1)因为∠C=90°，a=6，b=8，所以由勾股定理，得c

2=a

2+b

2=62+82=100。所以c=10。(2)因为∠C=90°，c=17，a=15，所以由勾股定理，得b

2=c

2-a2=172-152=64。所以b=8。(3)因为a∶b=3∶4，所以设a=3x，则b=4x（x﹥0）。又因为∠C=90°，c=15，所以由勾股定理，得(3x)

2+(4x)

2=152，所以x=3。所以b=4x=12。知1－练感悟新知1-1.在Rt△ABC

中，斜边BC=10，则BC2+AB2+AC2=(

)A.20 B.100C.200 D.144C知1－练感悟新知1-2.若直角三角形的两直角边为a，b，且满足a2

－6a+9+|b

－4|=0，则该直角三角形的斜边长为______________

。5感悟新知知2－讲知识点勾股定理的证明2

方法图形说明“赵爽弦图”知2－讲方法图形说明刘徽“青朱出入图”设大正方形的面积为S，则S=c2。

根据“出入相补，以盈补虚”的原理，有S=a2＋b2，所以a2＋b2＝c2知2－讲方法图形说明加菲尔德总统拼图知2－讲方法图形说明毕达哥拉斯拼图知2－讲感悟新知特别解读通过拼图证明命题的方法：1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变；2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；3.利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论。感悟新知知2－练图5.1-1①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a

和b，斜边长为c。图5.1-1②是以c

为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。(1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形；(2)利用这个图形证明勾股定理。例2

知2－练感悟新知思路导引：知2－练感悟新知解：如图5.1-2即为所求。它是直角梯形。(1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形；知2－练感悟新知

(2)利用这个图形证明勾股定理。知2－练感悟新知2-1.如图①，Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，∠ACB=90°，以AC为一边作正方形ACDE，点B在边CD上，将△ABC裁剪拼接至△AFE的位置，如图②，请用图①、图②的面积不变证明勾股定理。证明：如图，连接BF。因为AC＝b，所以正方形ACDE的面积为b2。易知CD＝DE＝AC＝b，EF＝BC＝a，所以BD＝CD－BC＝b－a，DF＝DE＋EF＝a＋b。易知∠CAE＝90°，所以∠BAC＋∠BAE＝90°。易知∠BAC＝∠FAE，所以∠FAE＋∠BAE＝90°。又因为AB＝AF＝c，所以△BAF为等腰直角三角形，感悟新知感悟新知知3－讲感悟新知知识点勾股定理的应用31.勾股定理的应用范围勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系。利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题。感悟新知2.勾股定理应用的常见类型(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；(3)证明包含有平方关系的几何问题；(4)求解几何体表面上的最短路程问题；(5)构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题。知3－讲感悟新知知3－讲特别解读运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1.从实际问题中抽象出几何图形;2.确定要求的线段所在的直角三角形;3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系;4.求得结果。知3－练感悟新知[母题教材P128习题T4]如图5.1-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，求CD

的长。例3知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“同一个直角三角形的面积的两种表示方法”求解，即利用面积法解决问题。知3－练感悟新知

知3－练感悟新知方法技巧：已知直角三角形的两边长求斜边上的高的方法第1步：用两种方法分别表示同一图形的面积；第2步：利用面积相等列出一个方程；第3步：解方程即可求出斜边上的高。感悟新知知3－讲特别提醒若所求线段不在直角三角形中，常作辅助线（如作三角形的高）构造直角三角形。知3－练感悟新知3-1.

[中考·重庆]如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若AB=5，BC=6，则AD的长度为________

。4知3－练感悟新知[母题教材P128习题T6]如图5.1-4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A，B，C

的面积分别是15，12，17，求正方形D

的面积。例4

知3－练感悟新知思路导引：知3－练感悟新知解：根据勾股定理可知，S

正方形A+S

正方形B=S

正方形P，S

正方形C+S

正方形D=S正方形Q，S

正方形P+S

正方形Q=S

正方形M，所以S

正方形A+S

正方形B+S

正方形C+S

正方形D=S

正方形M。因为S

正方形M=82=64，所以S

正方形A+S

正方形B+S

正方形C+S

正方形D=64。又因为正方形A，

B，C

的面积分别是15，12，17，所以S正方形D=64-（15+12+17）=20，即正方形D

的面积为20。知3－练感悟新知规律总结：与直角三角形三边相关的正方形、等边三角形、半圆形等，一般都具有相同的结论：两条直角边上图形的面积之和等于斜边上图形的面积。知3－练感悟新知4-1.如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若AD=4，则阴影部分的面积为(

)A.8 B.16C.24 D.32B知3－练感悟新知如图5.1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM

是中线，MN⊥AB，垂足为N。求证：AN2－BN2=AC2。例5知3－练感悟新知思路导引：知3－练感悟新知证明：因为MN⊥AB，所以在Rt△AMN中，AN

2+MN

2=AM

2。在Rt△BMN中，BN

2+MN

2=MB2。所以AM2-AN

2=MB

2-BN

2，即AN

2-BN

2=AM

2-MB

2。在Rt△AMC中，因为∠C=90°，所以AM

2-MC

2=AC

2。又因为AM

是中线，所以MC=MB。所以AM2-MB

2=AC

2。所以AN

2-BN

2=AC

2。知3－练感悟新知5-1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P。求证：BP2=BC2+AP

2。知3－练感悟新知证明：如图，连接BM。因为PM⊥AB，所以△BMP和△AMP均为直角三角形。所以BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2。因为∠C＝90°，所以BC2＋CM2＝BM2，所以BP2＋PM2＝BC2＋CM2。因为CM＝AM，所以CM2＝AM2＝AP2＋PM2。所以BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2。所以BP2＝BC2＋AP2。知3－练感悟新知一架5m长的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动()A.0m B.1mC.2m D.3m例6

知3－练感悟新知思路导引：知3－练感悟新知解：根据题意，建立如图5.1-6所示的模型。由题知AB=A1B

1=5m，AA

1=1m，BC=3m。因为在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，所以

AC2=AB

2－BC

2=16。所以AC=4m。因为在Rt△A1B

1C

中，∠A

1CB

1=90°，A1C=AC－AA

1=4－1=3（m），所以B

1C

2=A

1B

12－A

1C

2=16。所以B

1C=4m。所以BB

1=B

1C-BC=4－3=1（m）。所以梯足将滑动1m。答案：B知3－练感悟新知6-1.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为________

km。50知3－练感悟新知6-2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为7m，顶端距离地面24m。如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20m，则小巷的宽度为__________

。22m

感悟新知知4－讲知识点勾股定理的逆定理41.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。2.利用边的关系判定直角三角形的步骤感悟新知知4－讲3.勾股定理与其逆定理的关系勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC

中，∠A，

∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C=90°在△ABC中，∠A，∠B，∠C

的对边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2结论a2＋b2＝c2△ABC

为直角三角形，且∠C=90°

知4－讲感悟新知特别提醒1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形。2.a2＋b2＝c2只是一种表现形式，满足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边长。感悟新知知4－讲勾股定理勾股定理的逆定理关系

感悟新知知4－练[母题教材P127例3]判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC

中，∠A=25°，∠C=65°；(2)在△ABC中，AC=12，AB=20，BC=16；(3)一个三角形的三边长a，b，c

满足a∶b∶c=5∶12∶13。例7知4－练感悟新知解题秘方：紧扣“有两个角互余的三角形是直角三角形”和“勾股定理的逆定理”进行判断。知4－练感悟新知解：

(1)在△ABC