2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题22 正多边形与圆 (5大类型精准练) (学生版)

专题22正多边形与圆（5大类型精准练+过关检测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1.正多边形及有关概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点归纳：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的

各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，

这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边

数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

1

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似

比的平方．

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆

的外切正多边形.

知识点2.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

知识点3.正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等

分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边

所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

2

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B

为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。

要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.

【类型1】有关正多边形角的计算

1．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）正六边形的中心角是（）

A．60B．120C．360D．720

2．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形ABCDE内接于O，P为AB上一点，连接PA，PE，

则APE的度数为（）

A．18B．36C．54D．72

3．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA,OE，则AOE

的度数为（）

A．72°B．54°C．60°D．36°

4．（24-25九年级下·陕西宝鸡·开学考试）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接OC，OFCD于

3

点F，则COF的度数为．

5．（2025·安徽滁州·三模）如图，在O的圆内接正五边形ABCDE中，过点D作DF∥OA交AE于点F，

则EDF的度数为．

【类型2】求正多边形的边数

6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是40，则该正多边形边

数是（）

A．6B．9C．10D．12

7．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的

中心，若ADB20，则这个正多边形的边数为（）

A．9B．10C．18D．20

8．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若ACB18，则该正多边形的边数为．

9．（2025·安徽合肥·二模）如图，在正n边形中，118，则n的值是．

4

【类型3】求正多边形的半径、周长、面积

10．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（）

43233333

A．B．C．D．

3324

11．（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径

是2，则它的面积是（）

A．63B．12C．123D．24

12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于O．若AB4，则O的直径为

（）

A．8B．10C．12D．14

13．（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的周长是6，则

正六边形的边长是．

14．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为．

15．（24-25九年级下·上海·阶段练习）边心距为2的正六边形面积是．

16．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该

5

地基的平面示意图可以近似的看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．

17．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB3，求这个正六边

形的周长．

18．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正VABC外接圆的半径为R，求正VABC的边长，边心距，

周长和面积．

【类型4】正多边形的作图问题

19．（2025·江西·模拟预测）如图，多边形ABCDE是正五边形，请仅用无．刻．度．的．直．尺．按要求完成作图（保留

作图痕迹）．

(1)如图1，作一个以BC为腰，顶角为36的等腰三角形；

(2)如图2，作一个底角为54的等腰三角形．

20．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形ABCDE，请仅．用．无．刻．度．的．直．尺．作图，并完成相应的任务（保留作

图痕迹，不写作法）．

6

【初步感知】

（1）如图1，请直接写出ABE的度数；

【实践探究】

（2）请在图2中作出以BE为对角线的菱形ABME，并证明你的结论；

【拓展延伸】

（3）请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形A1B1C1D1E1.（不需要证明）

【类型5】正多边形的实际应用

21．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是中国人民银行1992年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体

感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（O）与直角三角形（DEF）形成如图所示位置．其中，AB

是O内接正九边形的一条边，DF经过点B和圆心O，点C是DE与O的交点，AOCE90，

F50．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若EF切O于点G，且霖霖测得DE25mm，EF21mm，求该硬币（O）的直径为多长（精确到

0.1mm）．

22．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下

国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边

形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？

问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形；

问题二：VABC中，C90，A15，BC1，求VABC的面积和tan15的值分别是多少？（可以作AB

的中垂线DE交AC于D，交AB于E，则ADB为等腰三角形，BDC30）

问题三：若“正八边形”的边长AB为2a，求：正八边形的面积．

7

23．（24-25九年级下·福建福州·期中）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护

草坪．某公司准备在一块边长为20m的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又

尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．

k

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为rm的圆面，喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待

s

喷洒区域中的实际喷洒面积．

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．

(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为10m的自动喷洒装置，该方案的实际喷洒面积

k___________，实际喷洒覆盖率___________．

(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均

1010

为m的自动喷洒装置．．．以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为m的自动喷洒装置，与（1）

3n

中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．

(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率1．已知

，2

正方形ABCD各边上依次取点F，G，H，E，使得AEBFCGDH，设AExmO1的面积为ym，

求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．

8

一、单选题

1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（）

A．12B．10C．8D．6

2．（23-24九年级上·青海果洛·期末）正六边形的中心角为（）

A．120B．90C．60D．30

3．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于O，则AOB的度数是（）

A．45B．60C．72D．90

4．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为

八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点O为正八边形的中心，

则AOB的度数为（）

A．60B．54C．45D．30

5．（2025·安徽合肥·三模）如图，VABC是O的内接正三角形，五边形ADEFG是O的内接正五边形，

9

若线段BE恰好是O的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（）

A．15B．16C．17D．18

6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE,AB,CD

与O的切点，则MFN的度数为（）

A．25B．36C．35D．40

7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）一个正六边形的内切圆的半径为3，则这个正六边形的外接圆的半径

为（）

A．23B．4C．33D．6

8．（24-25九年级下·福建漳州·阶段练习）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的

花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心

C恰好是ABO的内心，若AB23，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（）

168

A．πB．πC．16πD．8π

33

二、填空题

9．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）如果一个正多边形内角和是1440，那么它的中心角是．

10．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是60，则这个正多边形是．

11．（24-25九年级上·福建厦门·期末）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是．

10

12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，正五边形ABCDE的顶点A,C在B上，F是优弧AC上的一点（不

与点A,C重合），连接AF,CF，则AFC的度数为．

13．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口

b23cm，则边长a为cm．

14．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案．为此，他首先绘制

了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，

这些扇形共同构成如图所示的“太阳”轮廓，那么，这个“太阳”轮廓的总长度是．（π取3.14）

15．（2025·陕西咸阳·一模）如图，O是半径为3的正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接DF，则DF的

长为．

16．（2025·安徽·模拟预测）如图，在O内接正六边形ABCDEF中，连接CE，DF交于点G．设正六边

S

2

形ABCDEF的面积为S1，△DEG的面积为S2，则．

S1

11

三、解答题

17．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中，圆内多边形ABCD是矩形，请作出该圆的圆心；点即为所求；

(2)在图2中，圆内正多边形ABCDE是正五边形，请作出垂直CD的直径．线段即为所求．

18．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形ABCD，以边AB为直径作O，点E是边BC上一点

（不与B，C重合），将正方形沿DE折叠，使得点C恰好落在O上．

(1)判断直线DC与O的位置关系，并说明理由；

(2)若正方形的边长为2，求线段BE的长．

19．（2023九年级下·全国·专题练习）明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边

形．

(1)求地基的周长是多少？

(2)求地基的面积是多少？

20．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于O，半径r4，求这个正六

边形的边长和边心距OM的长．

12

21．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出

了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n

△﹣

边形的面积差为n，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，求812

的值．

22．（2025·山西长治·三模）阅读与思考

请阅读以下材料并完成相应的任务．

如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与

较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中

外比，按此比例设计出的图案十分美丽．

ACBC