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文档简介
专题09角及角平分线的有关计算
(巩固提升练20题+能力培优练8题+拓展突破练8题+中考真题练8题)
知识清单
1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做
这个角的边.或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的.
2.平角和周角:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角.终边继续
旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角.
3.角的表示:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等.
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等.
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等.
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等.
注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧.
4.用一副三角板,可以画出15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,180°的角.
5.角的度量
角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,
n度记作“n°”.
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1”.
把1的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1”.
即1°=60,1=60.
6.角的性质
①角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关.
②角的大小可以度量,可以比较.
③角可以参与运算.
7.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
8.余角和补角
(1)余角:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.
(2)补角:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补
角.
(3)性质:等角的补角相等.等角的余角相等.
(4)余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联.
注意:余角(补角)与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿,只要度数之和满足了定义,则它
们就具备相应的关系.
一、单选题
1.(24-25七年级上·全国·期末)有下列关于角的说法:
①两条射线组成的图形叫作角;
②角的边越长,角越大;
1
③在角一边的延长线上取一点D;
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
其中正确的有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了角的定义,根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解,熟练掌握有公共
端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键.
【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角,故①错误,不符合题意;
角的大小与开口大小有关,角的边是射线,没有长短之分,故②错误,不符合题意;
角的边是射线,不能延长,故③错误,不符合题意;
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,④正确,符合题意,
∴只有④一个选项正确,
故选:A.
2.(24-25七年级上·河北邢台·期中)如图所示,还可以表示为()
∠1
A.B.C.D.
【答案】∠�B∠���∠���∠���
【分析】本题考查角的表示方法,根据一个角可以用三个大写字母表示,进行判断即可.
【详解】解:由图可知,还可以表示为;
故选B.∠1∠���
3.(24-25七年级上·全国·期末)若,则的补角的度数为().
A.B.∠�=52°C.∠�D.
【答案】48C°208°128°38°
【分析】此题主要考查了补角的定义,两角相加为,则两角互补.根据补角的定义进行解答即可.
【详解】解:的补角的度数为1.80°
故选:C.∠�180°−52°=128°
4.(18-19七年级·吉林长春·期末)如图,是北偏东方向的一条射线,将射线绕点逆时针旋转
得到射线,则的方位角是()��30°���80°
����
2
A.北偏西B.北偏西C.东偏北D.东偏北
【答案】B30°50°30°50°
【分析】本题考查了方位角的计算,理解图示,掌握方位角的计算是解题的关键.
根据题意,,可得在北偏西方向即可求解.
【详解】解:∠�如��图=所8示0,°��50°
∵是北偏东方向的一条射线,
∴��,30°
∵∠将�射��线=3绕0°点逆时针旋转得到射线,
∴��,�80°��
∴∠���=80°,
∴∠��的�方=位∠角��是�北−偏∠西���=,80°−30°=50°
故选��:B.50°
5.(2024七年级上·全国·专题练习)若,,,则()
''″
A.∠�=B3.2°18∠�=32°1530∠�=32.25°
C.∠�>∠�>∠�D.∠�>∠�>∠�
【答案∠】�A>∠�>∠�∠�>∠�>∠�
【分析】本题主要考查角的大小比较,需要熟练掌握度数与度分秒形式之间的转化.将三个角的度数都转
化成度分秒的形式后,即可得到三个角的大小关系.
【详解】解:∵,
''
∴,0.25°=60×0.25=15
'
∵∠�=3>2°15>,
''″'
∴32°1832°15.3032°15
∠�>∠�>∠�
3
故选:A.
6.(19-20七年级上·安徽马鞍山·期末)如图,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,若,
则等于()∠���=160°
∠���
A.B.C.D.
【答案】20A°30°40°50°
【分析】本题考查了角度的计算,如图可知,的度数正好是两直角相加减去的度数,进而即可
解出答案.∠���∠���
【详解】解:,,
∵∠���=∠���=90°∠���=160°,
∴故∠选�:��A.=∠���+∠���−∠���=90°+90°−160°=20°
7.(2024七年级上·全国·专题练习)如图,将三个同样的正方形的一个顶点重合放置,则的度数是()
∠1
A.B.C.D.
【答案】35D°30°25°20°
【分析】本题主要考查了角度的计算,根据,利用正方形的角都是直角,即可
求得和的度数从而求解.∠1=∠���+���−∠���
【详解∠�】��解:∠如��图�,
∵,,
∴∠���=∠���=∠���=90°∠���=,42°,∠���=28°,
∵∠���=90°−∠���=90°−,28°=62°∠���=90°−∠���=90°−42°=48°
∴∠1=∠���+∠���−∠���.
故选∠1D=.62°+48°−90°=20°
4
8.(2024七年级上·全国·专题练习)如图,是的平分线,是的平分线,若,
,则的度数为()��∠�����∠���∠���=2�∠���=
40°∠���
A.B.C.D.
【答案】�+B20°�+40°�−20°�+80°
【分析】本题主要考查角的计算,角平分线的定义,灵活运用角的和差计算角的度数是解题的关键.由角
平分线的定义可求解,,进而可求解.
1
【详解】因为是∠��的�=平分∠�线��,=40°∠���=2∠���=�
所以��∠���,
因为∠��是�=∠�的��平=分4线0,°
所以��∠���,
1
所以∠���=2∠���=�.
故选:∠�B�.�=∠���+∠���=�+40°
9.(22-23七年级上·河南新乡·期末)如图,已知,,且,则
11
的度数为()∠���=3∠���∠���=2∠���∠���=20°∠���
A.B.C.D.
【答案】10C0°110°120°135°
【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算、方程,根据已知条件列方程即可.
【详解】设,则,.
11
因为∠���=�∠�,�所�=以3�∠���=2,�解得.
11
所以∠���−∠���=∠���2�−3�=20°�=120°
故选:∠�C�.�=120°
10.(2024七年级上·云南·专题练习)将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,、为折痕,点
、折叠后的对应点分别为、,若,则����的度数为()����
''''
����∠���=10°∠���
5
A.B.C.D.
【答案】40A°45°50°55°
【分析】本题考查了角的计算,可以设,,根据折叠可得∠,
'''
,进而可求解.∠���=�∠���=�∠���=∠���∠���=
'
∠【�详�解�】解:设,,
''
根据折叠性质可知∠���=�∠���,=�.
''
∵,∠���=∠���∠���=∠���
''
∴∠���=10°,.
∵∠四�边��形=10°是+长�方∠形��,�=10°+�
∴����,
∴∠���=90°,
∴10°+�+�,+10°+10°+�+�=90°
∴�+�=30°.
''''
故选∠�:��A.=∠���+∠���+∠���=10°+30°=40°
二、填空题
11.(24-25七年级上·河北石家庄·期中)比较大小:.(填、或)
'″
【答案】20°153020.25°><=
【分析】本>题主要考查了度、分、秒的转化运算,注意以60为进制,比较简单.先进行度、分、秒的转化
运算,再对比即可得出答案.
【详解】解:∵,
''
∴0.2,5°=0.25×60=15
'
∴20.25°=20°15.
'″
故答20案°1为53:0>.20.25°
12.(2024>七年级上·全国·专题练习)社会热点情境·野生动物保护天气转暖,每年的二、三月,一大批国
家二级保护动物白天鹅从三门峡天鹅湖国家城市湿地公园北迁,天鹅迁徙时常排成人字形,这个人字形的
一边与其飞行方向夹角是,从空气动力学角度看,这个角度对于白天鹅队伍飞行最佳,所受阻力最
'″
小,则的补角是54°448.
'″
【答案】54°448
'″
【分析】本12题5°考15查52了补角的定义和度、分、秒的互化,根据补角的定义列式计算即可.
6
【详解】解:
'″
180°−54°448
'″'″
=179°5960.−54°448
'″
=故答12案5°为15:52.
'″
13.(2024七12年5级°15上5·2全国·专题练习)如图,已知点是直线上一点,,平分,
,请写出下列正确结论的序号.���∠���=50°��∠���∠���=
9①0°;②;③;④.
∠���=130°∠���=25°∠���=155°∠���=45°
【答案】①②③
【分析】本题主要考查角平分线的定义,根据角平分线的定义、邻补角和直角的概念求解可得.
【详解】解:,
∵∠���=50°,故①正确;
∴∠��平�分=180°,−∠���=130°
∵��∠���,故②项正确;
11
∴∠���=2∠���=2×50°=2,5°故③正确;
∴∠���=180,°−∠���=15,5°
∵∠���=90°∠���=50°,故④错误;
∴故∠答�案��为=:1①80②°−③∠�.��−∠���=40°
14.(2019·广西贵港·三模)小明把一副含,的直角三角板如图摆放,其中,,
,则等于.45°30°∠�=∠�=90°∠�=45°
∠�=30°∠�+∠�
【答案】/210度
【分析】本21题0°考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和是解题的关键.根据三角形内角和定理得到,,根据三角形的外角的性
质计算即可.∠�=45°∠�=60°
【详解】解:如图.
7
∵,,,
∴∠�=∠1+∠�∠�=∠4+∠�∠�=∠�=90°
∠�+∠�
=∠1+∠�+∠4+∠�
=∠2+∠�+∠3+∠�
=∠2+∠3+30°+90°
=90°+.30°+90°
=故答21案0°为:.
三、解答题210°
15.(2024七年级上·全国·专题练习)计算:
(1);
''″
(2)83°46+52°391.6
'″
【答96案°−】1(18)°2659
'″
(2)136°2516
'″
【分77析°3】31本题考查了度分秒的加减计算,熟练掌握换算方法是解题的关键.
(1)两个度数相加,需要将度与度,分与分,秒与秒对应相加,分或秒的结果满分别化为度和分求解;
(2)两个度数相减,借化为,借化为,然后进行计算即可.60
''″
【详解】(1)解:1°60,160
''″
,83°46+52°3916
'″
=135°8516.
'″
=(21)36解°2:516,
'″
96°−18°2659,
'″'″
=95°5960.−18°2659
'″
=167.7(°3230124七年级上·全国·专题练习)如图,已知轮船在灯塔的北偏西的方向上,轮船在灯塔的
南偏东的方向上.��20°��
80°
8
(1)求从灯塔看两轮船的视角(即)的度数;
(2)轮船在�的平分线上,则轮∠船���在灯塔的什么方向上?
【答案】�(1∠)�����
(2)轮船在灯12塔0°的北偏东方向上
【分析】�(1)根�据40°即可求出;
(2)根据平分∠��求�出=∠���,+然∠后�根��据+∠���即可解答.
本题主要考�查�方向∠角�的��知识点∠�,�解�答本题的关∠键�是��搞=懂∠方�向��角−的∠概��念�和利用好角平分线的知识点.
【详解】(1)解:如图所示,因为轮船在灯塔的北偏西的方向上,
��20°
轮船在灯塔的南偏东的方向上,
所以��80°
∠���=∠���+∠���+∠���
=20°+.90°+90°−80°
=(21)20解°:因为平分,
所以��∠���,
11
所以∠���=2∠���=2×120°=60°
∠���=∠���,−∠���
=所以60轮°−船20在°=灯4塔0°的北偏东方向上.
17.(202�4七年级�上·全国·专4题0°练习)如图,、、三点在一条直线上,,平分,
,求的度数.���∠���=2∠�����∠���
∠���=77°∠���
9
【答案】
【分析】本26题°考查了角平分线的定义,平角的定义以及角度的和差计算问题的,解答本题的关键是方程思
想的运用.
首先根据角平分线的概念得到,然后利用平角的概念求解即可.
【详解】解:因为平分∠�,��=∠���=,77°−∠���
所以�.�∠���∠���=77°
所以∠���=∠���.
因为∠���=∠���=77°−∠���,,
所以∠���+∠���+∠���=180°∠���=2,∠���
所以2∠���+∠���+277°−∠�.��=180°
18.(∠�2�0�24=七1年80级°−上2·全×国77·专°=题2练6°习)线段与角的计算.
(1)如图①,已知线段,点C为线段上的一点,,点D,E分别是和的中点,
求的长;��=12cm����=4cm����
(2)�如�图②,已知被分成,平分,平分,且,
求的度数.∠���∠���:∠���:∠���=2:3:4��∠�����∠���∠���=90°
【答∠�案��】(1)
(2)6cm
【分13析5°】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义,熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题
的关键.
(1)由线段的中点得出,,再由计算即可得解;
(2)设,��=2cm,��=4cm,则��=��+��,由角平分线的定义得出,
∠���=,2求�出°∠���=3�°,∠结��合�=4�°∠,��得�出=9�°,求解即可.∠���=�°
∠【�详�解�】=(21�)°解:因∠为�D�,�E=分6别�是°和∠�的�中�点=,90°6�=90
所以,.����
11
因为��=2��,��=2��
所以��=4cm.
因为��=2cm,,
所以��=12cm,��=4cm
��=8cm
10
所以,
所以��=4cm.
(2)�解�:=设��+��=6cm,,,则.
因为平分∠���,=2�平°分∠���,=3�°∠���=4�°∠���=9�°
所以��∠��,���∠��,�
所以∠���=�°∠���=2�°.
因为∠���=�°+,3�°+2�°=6�°
所以∠���=,90°
所以6�=9,0
所以�=15.
19.(∠�2�0�24=七1年35级°上·全国·专题练习)如图,点O在直线上,与互余,射线平分.
��∠���∠�����∠���
(1)如图①,若,求的度数;
(2)如图②,若∠���=20°,求∠���的度数;
(3)请你猜想∠�和��=55之°间的∠数��量�关系,并说明理由.
【答案】(1)∠���∠���
(2)40°
(3)110°,理由见解析
1
【分∠�析�】�=本2题∠考��查�了与角平分线有关的计算、互余,熟练掌握互余的定义是解题关键.
(1)先根据互余的定义可得,再根据角平分线的定义可得,然后根据平角的定义
求解即可得;∠���=70°∠���=140°
(2)先根据互余的定义可得,再根据角平分线的定义可得,然后根据平角的定义
求解即可得;∠���=35°∠���=70°
(3)先根据互余的定义可得,再根据角平分线的定义可得
,然后根据平角的定义∠即��可�得=.90°−∠���∠���=2∠���=180°−
2【∠详��解�】(1)解:与互余,
∵∠.���∠���
∴∠���+∠��,�=90°
∵∠���=20°
11
.
∴射∠�线��=平7分0°,
∵��∠���,
∴∠���=2∠���=140°.
∴(∠2)��解�:=180°−与∠���=互40余°,
∵∠���∠�.��
∴∠���+∠��,�=90°
∵∠���=55°.
∴射∠�线��=平3分5°,
∵��∠���,
∴∠���=2∠���=70°.
∴(∠3)��解�:=180°−∠���=.11理0由°如下:
1
与∠���互=余2∠,���
∵∠���∠���,
∴∠���+∠���=90°.
∴射∠�线��=平9分0°−∠�,��
∵��∠���,
∴∠���=2∠���=180°−2∠���.
∴即∠���=180°−∠.���=2∠���
1
20∠.�(��24=-252∠七�年��级上·河北石家庄·期中)【实践活动】
如图1,将一副三角板的直角顶点重合摆放.
(1)若,则=;(填、、);
(2)①∠若���=50°,∠则���∠;��若�∠���,>则<=;
②与∠���之=间20的°数量∠关�系��是=.∠���=150°∠���=
【折∠�展�探�究∠】���
(3)如图2,若,且,探索与之间的数量关系,并说明理
由.∠���≠∠���∠���+∠���=180°∠���∠���
【答案】(1),;(2)①,;②;,理由见解
40°=160°30°∠���+∠���=180°∠���+∠���=180°
12
析
【分析】本题考查了角的计算,角的大小比较,掌握角的计算,角的大小比较方法是解题的关键.
(1)根据图形中角的关系即可得出的度数.由题意,得,,进而得出
,∠,�然��后根据角度运算可得出∠�答��案=;90°∠���=90°∠���+
∠(�2�)�①=根90据°角∠的��运�算+可∠�得�出�=90°的度数,再根据计算即可得出的度数;先
根据计∠算�得��出的度数,∠再�根��据=角∠的��运�算+即∠�可�得�出的度数∠�;��
②由∠���=∠��,�−∠���,可得∠�出��,∠���,则得出
∠���=90°∠��,�进=而90得°出∠���+∠���=90°∠���+∠���=90,°进而得出∠答��案�;+
2(∠3�)�根�据+题∠�意��,由=180°∠���得+出∠:���=∠���+2∠���+∠���=,1进80而°得出
∠���+∠���,=由1此80可°得∠�与��+2∠之��间�的+数∠�量�关�系=.180°∠���+∠���=
∠【�详��解+】2解∠�:�(�1+)∠由��题�意=,18得0°,∠���∠���,,
∴∠���=90°,∠���=90°∠���=50°
∠���=∠���−∠���=90°−50°=4,0°
∠∴���=∠���−.∠���=90°−50°=40°
故答∠�案��为=:∠��,�;
(2)①∵40°=,,,
∴∠���=90°∠���=90°∠���,=20°
∴∠���=∠���−∠���=90°−20°=70°,
∵∠���=∠���,+∠���=70°+90°=160°
∴∠���=150°,
∴∠���=∠���−∠���=150°−90°=60.°
故答∠�案��为=:∠���,−∠�;��=90°−60°=30°
②∵160°,30°,
∴∠���=90°∠��,�=90°,
∴∠���+∠���=90°∠���+∠.���=90°
又∠∵���+2∠���+∠���=180°,
∴∠���=∠���+∠���+∠���
∠���+∠���
=∠���+∠���+∠���+∠���
=∠���,+2∠���+∠���
=∴180°与之间的数量关系是.
故答∠�案��为:∠���;∠���+∠���=180°
(3)∠与���+之∠�间�的�=数1量8关0°系是,理由如下:
∵∠���∠���,∠���+∠���,=180°,
∠���=∠���+∠���∠���=∠���+∠���∠���+∠���=180°
13
∴,
即∠���+∠���+∠���+∠���,=180°
∴∠���+2∠���+∠���=180°
∠���+∠���
=∠���+∠���+∠���+∠���
=∠���.+2∠���+∠���
=180°
21.(2024七年级上·全国·专题练习)已知,从顶点O引一条射线,若,则
是()∠���=50°��∠���=20°∠���
A.B.C.D.或
【答案】20D°30°70°30°70°
【分析】本题考查了角的计算,分为两种情况:①当在内部时,②当在外部时,根据角
之间的关系求出即可.��∠�����∠���
【详解】解:分为两种情况:
①如图①,当在内部时,;
��∠���∠���=∠���−∠���=50°−20°=30°
②如图②,当在外部时,.
��∠���∠���=∠���+∠���=50°+20°=70°
故选D.
22.(2024七年级上·全国·专题练习)如图,若,OC是的平分线,则①;
1
②;③;④∠���=2∠���.正确∠�的�是�()∠���=3∠���
1
∠���=2∠���∠���=2∠���∠���=3∠���
14
A.①②B.③④C.②③D.①④
【答案】B
【分析】本题主要考查角的比较与运算这一知识点,熟练掌握角平分线定义是解题关键.设,由
是的平分线,可得,∠���=�,
13
∠故�能��判=断2出∠选��项�中,�各�角∠大�小��关系.∠���=∠���−���=2�∠���=2�,∠���=∠���=2�
【详解】解:设,
∠���是=�的平分线,
∵∠���=2∠���,��∠���
3
∴∠���=2�,∠���=∠���=�
∴2
1
∠���=∠���−���=2�.
1
∴故∠③��④�正=确2∠,��①�,②∠�错��误=,3∠���
故选B.
23.(24-25七年级上·河北保定·期中)如图,是的平分线,是内部一条射线,过点O作
射线,在平面内沿箭头方向转动,使得��∠���,若��∠���,则的度
数为(��)∠���:∠���=3:2∠���=120°∠���=30°∠���
A.B.C.或D.无法计算
【答案】15C°105°15°105°
【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算,明确题意,理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的
关键.由是的平分线得,进而求得,
1
结合��∠���得∠���=∠���=,2∠再�分��两=种6情0况°:当在∠�下�方�=时∠,�,�当�−∠在���上=方30时°,
3
分别讨∠�论��即:可∠�求�解�=.3:2∠���=2∠���=45°��������
【详解】解:∵,是的平分线,
∴∠���=120°��,∠���
1
∠���=∠���=2∠���=60°
15
又∵,
∴∠���=30°,
而∠���=∠���−∠�,��=30°
∴∠���:∠���=3:2,
3
如图∠�,��当=2在∠���下=方4时5°,
����
此时,;
如图,当∠���在=∠�上�方�时+,∠���=60°+45°=105°
����
此时,;
即:∠���=∠或���−∠,���=60°−45°=15°
故选:∠�C�.�=15°105°
24.(24-25七年级上·全国·期末)已知一个角的余角比这个角的补角的小,则这个角的余角的度数
1
是,补角的度数是.320°
【答案】
【分析】本题主要15考°查了1一0元5°一次方程的应用,余角和补角的知识,设这个角的度数是,则它的余角为
,补角为,根据一个角的余角比这个角的补角的多,即可列方程求解�,熟练掌握余角的90和°等−
1
�于,互补18的0°两−角�之和为是解决此题的关键.320°
【详90解°】设这个角的度数是18,0则°它的余角为,补角为,
根据题意,得�,90°−�180°−�
1
解得.90°−�=3180°−�−20°
∴�=75°,,
即这90个°−角7的5°余=角1的5°度1数8为0°−7,5°补=角10的5°度数为,
故答案为:,.15°105°
25.(2024七15年°级1上05·云°南·专题练习)如图,已知点是直线上一点,,平分,
���∠���=50°��∠���∠���=
16
,请写出下列正确结论的序号.
90°
①;②;③;④.
【答∠�案�】�①=1②30③°∠���=25°∠���=155°∠���=45°
【分析】本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差,熟知邻补角的定义及角平分线的定
义是解题的关键.根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答.
【详解】解:,
∵∠���=50°,故①正确;
∴∠��平�分=180°−,∠���=130°
∵��∠���,故②正确;
1
∴∠���=2∠���=25°,故③正确;
∴∠���=180,°−∠���=15,5°
∵∠���=90°∠���=50°,故④错误.
∴综∠上�,��正=确1的80是°−①∠②��③�−,∠���=40°
故答案为:①②③.
26.(24-25七年级上·吉林长春·阶段练习)如图,点O在直线上,平分,平分.给出
下面四个结论:①与互余:②与互补;��③��∠�����∠���;
④∠���∠.�上��述结论中,∠正��确�结论∠�的�序�号有∠�.��+∠���=∠���+180°
∠���−∠���=2∠���
【答案】①②④
【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系,根据角平分线得
和,利用平角即可判定①,结合余角和补角得定义即可判断②,利用角平∠分�线��的=性∠质��和�平
角即∠�可��判=断∠③��,�利用角度和差关系即可判断④.
【详解】解:∵平分,平分
∴�,�∠�����,∠���
∵∠A,��O�,=B∠三��点�在同∠�一�直�线=上∠�,��
,
2∠���+2∠���=2∠���+∠���=180°
17
∴,
即∠���与+∠���互=余9,0°故①正确;
∵∠A,��O�,B∠三��点�在同一直线上,
∴,
∵∠�平��分+∠���,=180°
∴��∠���,
∴∠���=∠���,
即∠���与+∠���互=补1,80故°②正确;
∵∠���∠���,
∴∠���+∠���=180°,
则∠���+∠���+∠���=∠���,+180°
不能∠�得��到+∠���=∠��即�+180°,
故③错误∠;���=∠���∠���+∠���=∠���+180°
∵,,
∴∠���=∠���∠���=∠���,故④正确;
故答∠�案��为−:∠①��②�=④∠.���+∠���−∠���=∠���=2∠���
27.(2024七年级上·全国·专题练习)如图①,把直角三角形的直角顶点O放在直线上,射线
平分.�������
∠���
(1)若,求的度数;
(2)若∠���=28°,则∠���的度数为______;(用含m的代数式表示)
(3)由∠(�1�)�和=(�2°)可得∠�,��和之间的数量关系是______;
(4)若将直角三角形绕∠点��O�旋转∠�到�如�图②所示的位置,其他条件不变,请问:和之间的数
量关系是否发生变化��?�请说明理由.∠���∠���
【答案】(1)
(2)56°
(3)2�°
(4)∠不�发��生=变化2∠,�见��解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算,根据图形直观得出各个角之间的关系是解决问题的关键,等量
18
代换起到非常重要的作用.
(1)根据角平分线和互为余角的意义,可求出,再根据互为补角求出即可;
(2)由(1)的计算过程,将进行计∠�算�即�,可∠�得�出�答案;∠���
(3)根据(1)(2)的解题过∠程�得��出=�°;
(4)根据角平分线和互为余角的意义可∠�得��=2∠���,再根据互为补角的意义得到
∠���=∠���=9.0°−∠���
∠【�详��解】=(1810)°−解2:∠�如�图�=1,180°−290°−∠���=2∠���
∵,
∠���=28°,∠���=90,°
∴又∠∵���平=分90°−2,8°=62°
��∠���,
∴∠���=2∠���=124°.
∴(∠2)��解�:=如18图0°1−,∠���=180°−124°=56°
∵,
∠���=�°,∠���=90°,
∴又∠∵���平=分∠���−,∠���=90°−�°=(90−�)°
��∠���,
∴∠���=2∠���=2(90−�)°.
∴(∠3)��解�:=由18(01°)−和∠�(�2�)=可1得80:°−2(90−�)°=2;�°
理由:∵平分,∠���=2∠���
��∠���,
∴∠���=2∠���=2(∠�,��−∠���)=290°−∠���
∵∠���=∠���−∠���.
∴(∠4)��解�:=180°−和∠���之=间18的0°数−量2关90系°不−∠发�生�变�化=,2∠���
∠���∠���19
如图2,
∵平分,
��∠���,
∴∠���=∠��,�
∵∠���=90°,
∴∠���=∠���=90°−∠���,
∴即∠���=180°−2,∠���=180°−290°−∠���=2∠���
∴∠���和=2∠��之�间的数量关系不发生变化,
28∠.�(�2�4-2∠5�七�年�级上·陕西西安·阶段练习)探究与实践
将一副三角板
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