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文档简介

较难的初中奥数题目及答案一、选择题(共40分)1.(10分)若a、b、c是三角形的三边长,且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc,下列结论正确的是:A.a=b=cB.a=b,c为任意值C.a、b、c中至少有一个为0D.以上结论均不正确答案:A2.(10分)已知x、y、z是三个不同的实数,且满足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1,下列结论正确的是:A.x²+y²+z²=1B.x²+y²+z²=2C.x²+y²+z²=3D.x²+y²+z²=4答案:B3.(10分)若a、b、c是等差数列,且a+b+c=3,下列结论正确的是:A.b=1B.b=2C.b=3D.b=0答案:A4.(10分)若a、b、c是等比数列,且a+b+c=0,下列结论正确的是:A.b=0B.b=-aC.b=-cD.b=a+c答案:A二、填空题(共30分)1.(10分)已知a、b、c是三角形的三边长,且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc,求证:a=b=c。答案:由题意可知,a²+b²+c²=ab+ac+bc,移项得(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0,由于平方和为0,所以a=b=c。2.(10分)已知x、y、z是三个不同的实数,且满足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1,求x²+y²+z²的值。答案:由题意可知,x+y+z=0,所以x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=0-2×1=-2,但平方和不能为负数,所以题目有误。3.(10分)若a、b、c是等差数列,且a+b+c=3,求b的值。答案:由于a、b、c是等差数列,所以b=(a+c)/2,又a+b+c=3,所以b=(3-b)/2,解得b=1。三、解答题(共30分)1.(15分)已知a、b、c是等比数列,且a+b+c=0,求证:b=0。证明:由于a、b、c是等比数列,所以b²=ac,又a+b+c=0,所以a=-b-c,代入b²=ac得b²=(-b-c)c,即b²+c²+bc=0,由于平方和为0,所以b=c=0,所以b=0。2.(15分)已知a、b、c是三角形的三边长,且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc,求证:a=b=c。证明:由题意可知,a²+b²+c²=ab+ac+bc,移项得(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0,由于平方和为0,所以a=b=c。四、证明题(共30分)1.(15分)已知a、b、c是等差数列,且a+b+c=3,求证:b=1。证明:由于a、b、c是等差数列,所以b=(a+c)/2,又a+b+c=3,所以b=(3-b)/2,解得b=1。2.(15分)已知x、y、z是三个不同的实数,且满足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1,求证:x²+y²+z²=2。证明:由题意可知,x+y+z=0,所以x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=0-2×1=-2,但平方和不能为负数,所以题目有误。五、综合题(共30分)1.(15分)已知a、b、c是等差数列,且a+b+c=3,求证:b=1。证明:由于a、b、c是等差数列,所以b=(a+c)/2,又a+b+c=3,所以b=(3-b)/2,解得b=1。2.(15分)已知a、b、c是三角形的三边长,且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc,求证:a=b

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