较难的初中奥数题目及答案

较难的初中奥数题目及答案一、选择题（共40分）1.（10分）若a、b、c是三角形的三边长，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，下列结论正确的是：A.a=b=cB.a=b，c为任意值C.a、b、c中至少有一个为0D.以上结论均不正确答案：A2.（10分）已知x、y、z是三个不同的实数，且满足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1，下列结论正确的是：A.x²+y²+z²=1B.x²+y²+z²=2C.x²+y²+z²=3D.x²+y²+z²=4答案：B3.（10分）若a、b、c是等差数列，且a+b+c=3，下列结论正确的是：A.b=1B.b=2C.b=3D.b=0答案：A4.（10分）若a、b、c是等比数列，且a+b+c=0，下列结论正确的是：A.b=0B.b=-aC.b=-cD.b=a+c答案：A二、填空题（共30分）1.（10分）已知a、b、c是三角形的三边长，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，求证：a=b=c。答案：由题意可知，a²+b²+c²=ab+ac+bc，移项得(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0，由于平方和为0，所以a=b=c。2.（10分）已知x、y、z是三个不同的实数，且满足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1，求x²+y²+z²的值。答案：由题意可知，x+y+z=0，所以x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=0-2×1=-2，但平方和不能为负数，所以题目有误。3.（10分）若a、b、c是等差数列，且a+b+c=3，求b的值。答案：由于a、b、c是等差数列，所以b=(a+c)/2，又a+b+c=3，所以b=(3-b)/2，解得b=1。三、解答题（共30分）1.（15分）已知a、b、c是等比数列，且a+b+c=0，求证：b=0。证明：由于a、b、c是等比数列，所以b²=ac，又a+b+c=0，所以a=-b-c，代入b²=ac得b²=(-b-c)c，即b²+c²+bc=0，由于平方和为0，所以b=c=0，所以b=0。2.（15分）已知a、b、c是三角形的三边长，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，求证：a=b=c。证明：由题意可知，a²+b²+c²=ab+ac+bc，移项得(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0，由于平方和为0，所以a=b=c。四、证明题（共30分）1.（15分）已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=3，求证：b=1。证明：由于a、b、c是等差数列，所以b=(a+c)/2，又a+b+c=3，所以b=(3-b)/2，解得b=1。2.（15分）已知x、y、z是三个不同的实数，且满足方程x+y+z=0和xy+yz+zx=1，求证：x²+y²+z²=2。证明：由题意可知，x+y+z=0，所以x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=0-2×1=-2，但平方和不能为负数，所以题目有误。五、综合题（共30分）1.（15分）已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=3，求证：b=1。证明：由于a、b、c是等差数列，所以b=(a+c)/2，又a+b+c=3，所以b=(3-b)/2，解得b=1。2.（15分）已知a、b、c是三角形的三边长，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，求证：a=b