2025年高考数学立体几何立体几何题解步骤与几何性质应用模拟试卷

2025年高考数学立体几何立体几何题解步骤与几何性质应用模拟试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面π：x+2y+z+1=0的距离是（）A.2√6/3B.√6/3C.2√3/3D.√3/3（这道题得用点到平面的距离公式，我跟你讲啊，就是|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)，把A点的坐标和π的系数代入算了下，结果就是A选项，挺有意思的，这距离得算明白，不然后面题都跟着懵。）2.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为√3，点E是SC的中点，那么直线AB与截面SBE所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°（这个题得画图，正三棱锥S-ABC，底面ABC是正三角形，边长2，所以高是√3，然后侧棱长也是√3，点E是SC中点，要找AB和截面SBE所成的角，我得找找垂直关系，发现SA垂直于截面SBE，所以AB和SA所成的角就是答案，计算下来是60°，选C。）3.一个几何体的三视图如右图所示（这里假设有图），该几何体的体积是（）A.8πB.12πC.16πD.20π（三视图啊，得还原成立体图形，看图可知是圆柱减去一个圆锥，圆柱底面半径2，高4，圆锥底面半径2，高2，体积就是圆柱减去圆锥，算下来是12π，选B，还原图形是关键。）4.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，∠PAB=45°，那么二面角B-PC-D的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°（这个题得找平面角，二面角B-PC-D，我想到得找BC和CD所成的角，发现PC垂直于平面BCD，所以BC和CD所成的角就是二面角的平面角，计算下来是45°，选B，空间想象能力得跟上。）5.已知球的半径为R，球心到平面π的距离为d（d<R），那么球面被平面π所截得的圆的面积是（）A.π(R²-d²)B.πd²C.π(R²-d²)√(R²-d²)D.π(R²+d²)√(R²-d²)（球被平面截圆的面积公式是π(R²-d²)，直接套公式就行，选A，简单题，但得细心，别算错。）6.在空间直角坐标系中，点A（1，0，0），点B（0，1，0），点C（0，0，1），那么△ABC的面积是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3（空间向量法，先找向量AB和AC，然后叉乘求面积，|AB×AC|=√3/2，所以面积是1/2×√3/2=√3/4，不对啊，我算错了，面积是|AB×AC|/2=√3/2，选C，向量法得熟练。）7.一个圆锥的底面半径为2，母线长为4，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A.90°B.120°C.180°D.270°（侧面展开图是扇形，半径是母线长4，弧长是底面周长4π，圆心角就是弧长/半径=π，180°，选C，圆锥结构要理解。）8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱CC1的中点，那么直线B1D1与截面APB所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°（找垂直关系，发现B1D1垂直于截面APB，所以所成角是90°，选D，正方体性质得用熟。）9.一个几何体的三视图如右图所示（这里假设有图），该几何体的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.28π（三视图还原是球加圆柱，球半径2，圆柱底面半径2，高4，表面积是球加圆柱侧面积减去重合部分，算下来是24π，选C，计算要细心。）10.在空间直角坐标系中，点A（1，1，1），点B（2，2，2），点C（3，3，3），那么△ABC的外接圆半径是（）A.1B.√2/2C.√3/2D.√3（外接圆半径公式R=a/(2sinA)，先找向量AB和AC，然后找角A，发现是120°，sin120°=√3/2，所以R=1/√3=√3/3，不对啊，我算错了，应该是√3/2，选C，公式得记牢。）二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。把答案填在题中横线上。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-2t的距离是√5。（直线l得参数方程，然后找点到直线的距离公式，代入A点坐标和l的参数方程，解得距离是√5，填√5，这题得会算，直线和点的关系要搞懂。）2.一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，那么该正四棱锥的体积是√2。（正四棱锥体积公式V=1/3×底面积×高，底面是正方形，边长2，高是√(√3²-1²)=√2，所以体积是2√2/3，不对啊，我算错了，应该是√2，填√2，正四棱锥性质要掌握。）3.在空间直角坐标系中，点A（1，0，0），点B（0，1，0），点C（0，0，1），那么二面角A-B-C的大小是120°。（二面角得找平面角，找向量AB和AC，然后叉乘求角，cosA=-1/2，所以角A是120°，填120°，空间角要会算。）4.一个球的半径为2，球心到平面π的距离为1，那么球面被平面π所截得的圆的周长是2π√3。（圆的半径r=√(R²-d²)=√3，周长是2πr=2π√3，填2π√3，球截圆要熟练。）5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱CC1的中点，那么直线B1D1与直线AC所成的角的大小是45°。（找交点，找向量B1D1和AC，然后求角，cosθ=√2/2，所以角θ是45°，填45°，正方体结构要理解。）好了，第一题和第二题就到这里，我写得挺认真，希望对你有帮助，考试的时候可得仔细，别犯低级错误，加油！三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PD=√3。求：（1）三棱锥P-ABD的体积；（2）二面角A-PD-C的大小。（这里假设有图，但实际考试中无图，需要空间想象能力，比如想象底面是长方形，PA垂直于这个长方形所在的平面，AD和AB是这个长方形的两条边，PD是连接顶点P和底面一点D的线段，长度是√3。）（解：）（1）由题意知，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB。因为AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB。在直角三角形PAB中，AB=1，PA=√(PD²-AD²)=√(3-1)=√2，所以PB=√(PA²+AB²)=√(2+1)=√3。所以三棱锥P-ABD的体积V=1/3×S△ABD×PA=1/3×(1/2×AD×AB)×PA=1/3×(1/2×2×1)×√2=√2/3。（2）过点A作AH⊥PD于H，连结CH。因为PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以AD⊥PA，AD⊥AB，从而AD⊥平面PAB，AH是垂线段，所以AH⊥PD。同理，CH⊥PD。所以∠ACH是二面角A-PD-C的平面角。在直角三角形PAD中，AD=2，PD=√3，所以sin∠ADP=AD/PD=2/√3，所以∠ADP=60°。从而AH=AD×sin∠ADP=2×(2/√3)=4/√3。在直角三角形PAC中，AC=√(AD²+AB²)=√(4+1)=√5，PA=√3，所以cos∠APC=PA/AC=√3/√5。在直角三角形ACH中，AH=4/√3，AC=√5，所以cos∠ACH=AH/AC=(4/√3)/(√5)=4√3/(3√5)。所以sin∠ACH=√(1-cos²∠ACH)=√(1-(4√3/(3√5))²)=√(1-48/45)=√(1/45)=1/(3√5)。所以二面角A-PD-C的大小是arcsin(1/(3√5))，这个角比较难算，但得算出来，得用反三角函数表示。）2.（本小题满分12分）已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为√3，点E是SC的中点，点F是AB的中点。求：（1）直线SF与平面SBE所成的角的大小；（2）三棱锥E-ABC的体积。（这个题得画图，正三棱锥S-ABC，底面ABC是正三角形，边长2，所以高是√(2²-(2/2)²)=√3，侧棱长也是√3，点E是SC中点，点F是AB中点，要找SF和截面SBE所成的角，以及三棱锥E-ABC的体积。）（解：）（1）取AC的中点G，连结BG，EG。因为F是AB中点，G是AC中点，所以FG平行于BC，且FG=1/2BC=1。又因为E是SC中点，所以EG平行于PS，且EG=1/2PS=√3/2。所以四边形PSEF是平行四边形，所以PE平行于SF。所以直线SF与平面SBE所成的角就是PE与平面SBE所成的角，也就是∠PEH，其中H是PE在平面SBE上的投影。因为PE平行于SF，所以∠PEH=∠SFH。过点S作SH⊥平面ABC于H，连结BH。因为SH⊥平面ABC，所以SH⊥AB，SH⊥BC，SH⊥AC。因为H在平面ABC内，所以H在△ABC的垂心。因为ABC是正三角形，所以垂心H是重心，也是AB的中点，也就是F点。所以SH⊥平面ABC于F。因为PE平行于SF，所以PE⊥SH。所以∠PEH=90°-∠PSE=90°-60°=30°。所以直线SF与平面SBE所成的角的大小是30°。（2）因为E是SC中点，所以VE-ABC=1/3VC-ABC。底面ABC是正三角形，边长2，高是√3，所以S△ABC=(1/2)×2×√3=√3。所以VC-ABC=1/3×S△ABC×SH=1/3×√3×√(3²-(√3/2)²)=1/3×√3×√(9-3/4)=1/3×√3×√(33/4)=√(33)/4。所以VE-ABC=1/3×√(33)/4=√(33)/12。）3.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是矩形，AB=2，AD=1，AE⊥平面ABCD，AE=1，EF⊥AD，EF=1，且EF∥CD。求：（1）四棱锥A-BCDE的体积；（2）直线AB与平面ADEF所成的角的大小。（这个题得画图，多面体ABCDEF，ABCD是矩形，AB=2，AD=1，AE⊥平面ABCD，AE=1，EF⊥AD，EF=1，且EF∥CD。要找四棱锥A-BCDE的体积，以及直线AB和面ADEF所成的角。）（解：）（1）因为AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，AE⊥BC，AE⊥CD。因为EF⊥AD，EF∥CD，所以四边形EFCD是矩形。所以DE⊥AD，DE⊥EF。所以AD⊥平面AEF，从而AD⊥AF。所以四棱锥A-BCDE的体积V=VA-BCD+VA-BCDE。VA-BCD=1/3×S△BCD×AE=1/3×(1/2×BC×CD)×AE=1/3×(1/2×2×1)×1=1/3。VA-BCDE=VA-BCD+VA-BCDE。VA-BCDE=1/3×S△BCD×DE=1/3×(1/2×BC×CD)×DE=1/3×(1/2×2×1)×√2=√2/3。所以V=1/3+√2/3=(1+√2)/3。（2）过点B作BG⊥AF于G，连结AG。因为AE⊥平面ABCD，AB⊥AE，所以AB⊥平面AEF，从而AB⊥AF。所以∠BAG是直线AB与平面ADEF所成的角。在矩形AEF中，AE=1，EF=1，所以AF=√(1²+1²)=√2。在直角三角形ABF中，AB=2，AF=√2，所以sin∠BAG=AB/AF=2/√2=√2。所以∠BAG=45°。所以直线AB与平面ADEF所成的角的大小是45°。）4.（本小题满分14分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点。求：（1）直线DE与平面A1B1C1D1所成的角的大小；（2）二面角E-A1B-F的大小。（正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，E是CC1中点，F是BB1中点，要找DE和面A1B1C1D1所成的角，以及二面角E-A1B-F的大小。）（解：）（1）取DD1的中点G，连结CG。因为E是CC1中点，G是DD1中点，所以EG平行于C1D1，且EG=1/2C1D1=1/2。又因为F是BB1中点，所以GF平行于B1D1，且GF=1/2B1D1=1/2。所以四边形EGF1D1是平行四边形，所以EF平行于D1G。所以直线DE与平面A1B1C1D1所成的角就是EF与平面A1B1C1D1所成的角，也就是∠EFH，其中H是EF在平面A1B1C1D1上的投影。因为EF平行于D1G，所以EF⊥B1C1。所以∠EFH=90°-∠B1EFH。在直角三角形B1EF中，B1E=1/2，EF=1/2，所以tan∠B1EFH=B1E/EF=1/2。所以∠B1EFH=arctan(1/2)。所以∠EFH=90°-arctan(1/2)。所以直线DE与平面A1B1C1D1所成的角的大小是90°-arctan(1/2)。（2）过点E作EH⊥A1B于H，连结FH。因为E是CC1中点，所以E在正方体的中心对称位置，A1B垂直于CC1，所以EH⊥CC1，EH⊥A1B。因为F是BB1中点，所以FH⊥B1B，FH⊥A1B。所以∠EFH是二面角E-A1B-F的平面角。在直角三角形A1EB中，A1E=√5/2，A1B=√2，所以sin∠A1EH=A1B/A1E=√2/(√5/2)=2√2/√5。所以EH=A1E×sin∠A1EH=(√5/2)×(2√2/√5)=√2。在直角三角形EFH中，EF=1/2，EH=√2，所以tan∠EFH=EH/EF=√2/(1/2)=2√2。所以二面角E-A1B-F的大小是arctan(2√2)。）5.（本小题满分16分）如图，在球O中，球的半径为R，球心O到平面π的距离为d（d<R），球面被平面π所截得的圆的面积为S。求：（1）球面被平面π所截得的圆的半径r；（2）球O的表面积S表。（球O，半径R，球心O到平面π的距离d，球面被平面π截得的圆面积为S，要找圆的半径r，以及球的表面积S表。）（解：）（1）球面被平面π所截得的圆的半径r=√(R²-d²)。因为截面圆的面积S=πr²，所以πr²=S，所以r=√(S/π)。所以√(R²-d²)=√(S/π)，所以R²-d²=S/π，所以d²=R²-S/π，所以d=√(R²-S/π)。所以r=√(R²-(R²-S/π))=√(S/π)。（2）球O的表面积S表=4πR²。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.A解析：点A到平面π的距离d=|1×1+2×2+1×3+1|/√(1²+2²+1²)=|10|/√6=2√6/3，故选A。2.C解析：连接EB，因为E是SC中点，所以EB平行于平面SAC。直线AB与截面SBE所成的角即为AB与EB所成的角。因为AB⊥AC，AB⊥SB，所以AB⊥平面SAC，从而AB⊥EB。在Rt△ABE中，AB=2，AE=√3，BE=√(2²+√3²)=√7。所以sin∠ABE=AB/BE=2/√7，cos∠ABE=AE/BE=√3/√7。连接AB与SB所成角为θ，cosθ=cos(∠ABE-∠SBA)=cos∠ABE×cos∠SBA+sin∠ABE×sin∠SBA=√3/√7×√3/2+2/√7×1/2=√21/14。所以θ=arccos(√21/14)，故选C。3.B解析：根据三视图可知几何体为上底面半径为1，下底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个上底面半径为1，下底面半径为0，高为2的圆锥，其体积V=π×1²×2-π×0²×2/3=2π-0=2π，故选B。4.B解析：连接PC，∵PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥PC。又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面BCP，∴∠PCH是二面角B-PC-D的平面角。在Rt△PAC中，PA=2，AC=√5，PC=√(2²+√5²)=√9=3，∴sin∠PAC=PC/AC=3/√5，∴sin∠PCH=sin∠PAC=3/√5，故选B。5.A解析：球面被平面π所截得的圆的半径r=√(R²-d²)，面积为πr²=π(R²-d²)，故选A。6.C解析：向量AB=(0-1，1-0，0-0)=(-1，1，0)，向量AC=(0-1，0-2，1-3)=(-1，-2，-2)，向量AB×AC=(-1，1，0)×(-1，-2，-2)=|(-1，1，0)|×|(-1，-2，-2)|=(2，2，-1)，|AB×AC|=√(2²+2²+(-1)²)=√9=3，所以△ABC的面积S=1/2|AB×AC|=3/2，故选C。7.C解析：侧面展开图是扇形，半径是母线长4，弧长是底面周长8π，圆心角是弧长/半径=8π/4=2π=180°，故选C。8.D解析：连接B1D1，取CD中点H，连接BH，CH，则BH⊥CD，CH⊥CD，所以∠BHC是二面角B-PC-D的平面角。因为正方体中，B1D1⊥平面PCH，所以B1D1⊥CH。在Rt△BHC中，BH=√2，CH=√(2²+1²)=√5，所以B1D1⊥BH，所以直线B1D1与直线AC所成的角的大小是90°，故选D。9.C解析：根据三视图可知几何体为球加圆柱，球半径2，圆柱底面半径2，高4，表面积是球加圆柱侧面积减去重合部分，即4π×2²+2×π×2×4-π×2²=16π+16π-4π=28π，故选C。10.C解析：向量AB=(1-2，2-2，2-2)=(1，0，0)，向量AC=(3-2，3-2，3-2)=(1，1，1)，向量BC=(3-2，3-2，3-2)=(1，1，1)，所以△ABC是等边三角形，外接圆半径r=边长/(2sin60°)=2/(√3)=√3/3，故选C。二、填空题答案及解析1.√5解析：直线l：x=1，y=2+t，z=3-2t过点（1，2，3），方向向量为（0，1，-2），点A（1，2，3）到直线l的距离d=|（0，1，-2）×（1-1，2-2，3-3)|/√(0²+1²+(-2)²)=|（0，0，0）|/√5=0/√5=0，所以d=√5，故填√5。2.√2解析：正四棱锥S-ABC底面是正方形，边长2，高h=√(√3²-1²)=√(3-1)=√2，所以体积V=1/3×底面积×高=1/3×2²×√2=4√2/3，故填√2。3.120°解析：向量AB=(1，1，0)，向量AC=(1，0，1)，向量BC=(0，1，1)，向量AB×AC=(1，1，0)×(1，0，1)=(-1，-1，1)，|AB×AC|=√((-1)²+(-1)²+1²)=√3，所以△ABC的外接圆半径R=1/2|AB×AC|/sinA=√3/(2sin60°)=√3/(√3)=1，所以△ABC的面积S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(2(2-1)(2-1)(2-2))=√(2×1×1×0)=0，所以△ABC的外接圆半径为0，故填120°。4.2π√3解析：圆的半径r=√(R²-d²)=√(2²-1²)=√3，周长是2πr=2π√3，故填2π√3。5.45°解析：连接AC，∵正方体中，A1B⊥平面A1CD，AC⊥A1B，∴∠A1AC是二面角A1-B-C的平面角。∵AC=√2，A1C=√(1²+1²)=√2，∴A1C=AC，∠A1AC=45°，故填45°。三、解答题答案及解析1.（1）√2/3；（2）arcsin(√2/3)解析：（1）由题意知，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB。在直角三角形PAB中，AB=1，PA=√(PD²-AD²)=√(3-1)=√2，所以PB=√(PA²+AB²)=√(2+1)=√3。所以三棱锥P-ABD的体积V=1/3×S△ABD×PA=1/3×(1/2×AD×AB)×PA=1/3×(1/2×2×1)×√2=√2/3。（2）过点A作AH⊥PD于H，连结CH。因为PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，AH是垂线段，所以AH⊥PD。同理，CH⊥PD。所以∠ACH是二面角A-PD-C的平面角。在直角三角形PAD中，AD=2，PD=√3，所以sin∠ADP=AD/PD=2/√3，所以∠ADP=60°。从而AH=AD×sin∠ADP=2×(2/√3)=4/√3。在直角三角形PAC中，AC=√(AD²+AB²)=√(4+1)=√5，PA=√3，所以cos∠APC=PA/AC=√3/√5。在直角三角形ACH中，AH=4/√3，AC=√5，所以cos∠ACH=AH/AC=(4/√3)/(√5)=4√3/(3√5)。所以sin∠ACH=√(1-cos²∠ACH)=√(1-(4√3/(3√5))²)=√(1-48/45)=√(1/45)=1/(3√5)。所以二面角A-PD-C的大小是arcsin(1/(3√5))。2.（1）30°；（2）√2/3解析：（1）取AC的中点G，连结BG，EG。因为F是AB中点，G是AC中点，所以FG平行于BC，且FG=1/2BC=1。又因为E是SC中点，所以EG平行于PS，且EG=1/2PS=√3/2。所以四边形PSEF是平行四边形，所以PE平行于SF。所以直线SF与平面SBE所成的角就是PE与平面SBE所成的角，也就是∠PEH，其中H是PE在平面SBE上的投影。因为PE平行于SF，所以∠PEH=∠SFH。过点S作SH⊥平面ABC于H，连结BH。因为SH⊥平面ABC，所以SH⊥AB，SH⊥BC，SH⊥AC。因为H在平面ABC内，所以H在△ABC的垂心。因为ABC是正三角形，所以垂心H是重心，也是AB的中点，也就是F点。所以SH⊥平面ABC于F。因为PE平行于SF，所以PE⊥SH。所以∠PEH=90°-∠PSE=90°-60°=30°。所以直线SF与平面SBE所成的角的大小是30°。（2）因为E是SC中点，所以VE-ABC=1/3VC-ABC。底面ABC是正三角形，边长2，高是√3，所以S△ABC=(1/2)×2×√3=√3。所以VC-ABC=1/3×S△ABC×SH=1/3×√3×√(3²-(√3/2)²)=1/3×√3×√(9-3/4)=1/3×√3×√(33/4)=√(33)/4。所以VE-ABC=1/3×√(33)/4=√(33)/12。3.（1）(1+√2)/3；（2）45°解析：（1）因为AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，AE⊥BC，AE⊥CD。因为EF⊥AD，EF∥CD，所以四边形EFCD是矩形。所以DE⊥AD，DE⊥EF。所以AD⊥平面AEF，从而AD⊥AF。所以四棱锥A-BCDE的体积V=VA-BCD+VA-BCDE。VA-BCD=1/3×S△BCD×AE=1/3×(1/2×BC×CD)×AE=1/3×(1/2×2×1)×1=1/3。VA-BCDE=VA-BCD+VA-BCDE。VA-BCDE=1/3×S△BCD×DE=1/3×(1/2×BC×CD)×DE=1/3×(1/2×2×1)×√2=√2/3。所以V=1/3+√2/3=(1+√2)/3。（2）过点B作BG⊥AF于G，连结AG。因为AE