2024-2025学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量a=(2,1)，b=(1,x).若a与b共线，则x=(

)A.2 B.12 C.−122.已知复数z1=2+i，z2=1−2i，复数z=z2+zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的85%分位数为(

)A.4 B.92 C.5 D.4.函数y=sin2x+cos(2x+π)的最小正周期为(

)A.π2 B.π C.2π D.5.如图，在△ABC中，点D满足AD=2DB，E为AC的中点，则ED=(

)A.13AB+12AC

B.16.如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(

)A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ADC7.已知cos(α+β)=15，tanαtanβ=2，则cosA.−35 B.−15 C.8.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，∠BAC=30°，则该三棱锥外接球的体积为(

)A.82π3B.105二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是(

)A.平均说来甲队比乙队防守技术好B.甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好

C.甲队比乙队技术水平更稳定D.乙队很少不失球10.若向量a，b满足|a|=|b|=1，|A.a与b的夹角为π6 B.a⋅b=12

C.a⊥(11.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A.f(x)=2sin(13x−π6)

B.若将f(x)的图象向右平移π2个单位，则所得函数是奇函数

C.若∀x∈[−π3,π3]，f(3x)+a≥f(3π2)，则a的范围为[3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=21+i(i为虚数单位)，则|z|=13.将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5：3：2.若A，B，C三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为______．14.已知点G是△ABC的重心，点M，N分别在AB，AC上，且满足AG=xAM+yAN，其中x+y=1.若AM=35四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x(x∈R)．

(1)当x取什么值时，函数f(x)取得最大值？并求出该最大值；

(2)若θ为锐角，且f(θ2+π16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，BC=2，AB=AD=4，E是线段PA的中点．

(1)求证：BE⊥平面PAD；

(2)求四棱锥P−ABCD的体积．17.(本小题12分)

为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：

(1)求图中a的值；

(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

(3)若该企业恰好有25的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线．18.(本小题12分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=23，且cosC+(cosB−3sinB)cosA=0．

(1)求角A的大小；

(2)若b=2，求△ABC的面积；

(3)19.(本小题12分)

如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，AB//CD，CD=AD=3，P是上半圆上的动点(不包含A，B两点)，点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题：

(1)当PC//平面QBD时，求|PQ||QA|的值；

(2)若PB⊥AD，PB=3，求PA与平面ABCD所成角的正弦值；

(3)若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，设QB与平面ABCD所成的角为α，二面角Q−BD−A的平面角为β，求β−α取得最大值时tanα的值．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：平面向量a=(2,1)，b=(1,x)．a与b共线，所以2x=1⇒x=12．

故选：B．2.【答案】A

【解析】解：由复数z1=2+i，z2=1−2i，复数z=z2+z1=2+i+1−2i=3−i，

则z−3.【答案】C

【解析】解：已知一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，

又10×0.85=8.5，

所以第85%分位数为从小到大排列的第9个数，即第85%分位数为5．

故选：C．

根据百分位数的计算方法求解即可．

本题考查百分位数相关知识，属于中档题．4.【答案】B

【解析】解：由y=sin2x+cos(2x+π)=sin2x−cos2x

=2(sin2xcosπ4−cos2xsinπ4)=2sin(2x−π4)，5.【答案】D

【解析】解：因为AD=2DB，所以AD=23AB，所以ED=AD−6.【答案】C

【解析】解：∵AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC，

∵BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BDE，

∴AC⊥平面BDE，

又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，故C正确；

在平面ABC内取点P，作PM⊥AB，PN⊥BE，垂足分别为M，N，如图，

∵平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE=BE，

∴PN⊥平面BDE，则有PN⊥BD，

若平面ABC⊥平面ABD，同理可得PM⊥BD，

而PM∩PN=P，PM，PN⊂平面ABC，

∴BD⊥平面ABC，BD与平面ABC不一定垂直，故A错误；

过A作△ABC边BD上的高AF，连接CF，

由△ABD≌△CBD，得CF是△CBD边BD上的高，

则∠AFC是二面角A−BD−C的平面角，而∠AFC不一下是直角，

即平面ABD与平面BDC不一定垂直，故B错误；

∵AC⊥平面BE，则∠DEB是二面角D−AC−B的平面角，∠DEB不一定是直角，

平面ABC与平面ADC不一定垂直，故D错误．

故选：C．

利用面面垂直的判断，再结合面面关系的判断方法逐项分析判断．

本题考查面面垂直的判断，考查线面垂直、面面垂直的判断等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】A

【解析】解：由cos(α+β)=15，可得cosαcosβ−sinαsinβ=15，

因为tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=2，可得sinαsinβ=2cosαcosβ，

所以cosαcosβ=−15，sinαsinβ=−25，可得cos8.【答案】C

【解析】解：在三棱锥P−ABC中，设其外接球的球心为点O，△ABC的外接圆的圆心为点E，如图，

连接AO，OE，AE，则OE⊥AE，设△ABC的外接圆的半径为R1，

因为BC=2，∠BAC=30°，

由正弦定理，得BCsin∠BAC=2sin30∘=4=2R1⇒R1=2，即AE=2，

因为PA⊥平面ABC，PA=2，

所以OE=1，

所以三棱锥外接球的半径AO=9.【答案】ABD

【解析】解：对于A，甲队每场比赛平均失球数是1.6，小于乙队每场比赛平均失球数是2.3，

平均说来甲队比乙队防守技术好，A正确；

对于B，甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，B正确；

对于C，甲队各场比赛失球个数的标准差为1.2大于乙队各场比赛失球个数的标准差是0.5，

所以乙队比甲队技术水平更稳定，C错误；

对于D，虽然乙队每场比赛平均失球数是2.3，算是较大的数，而各场比赛失球个数的标准差是0.5，由于标准差很小，方差是0.25更小，说明每场失球数都集中在2.3附近，所以认为乙队很少不失球是正确的，D正确．

故选：ABD．

用平均数和方差分别估计数据的平均水平和稳定性．

本题主要考查平均数、方差的意义，属基础题．10.【答案】BD

【解析】解：因为|a|=|b|=1，|a+b|=3，

所以a2+2a⋅b+b2=3，即2+2a⋅b=3，

解得a⋅b=12，故B正确；

由cos〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=12，

可得〈a,b〉=π11.【答案】ACD

【解析】解：A，T4=7π2−2π=3π2，

所以T=6π=2πω，可得ω=13，

又f(2π)=2sin(2π3+φ)=2，

因为|φ|<π，所以φ=−π6，

所以f(x)=2sin(13x−π6)，故A正确；

B，将f(x)的图象向右平移π2个单位后的解析式为y=2sin[13(x−π2)−π6]=2sin(13x−π3)，该函数不是奇函数，故B错误；

C，f(3x)+a≥f(3π2)，可得a≥f(3π2)−f(3x)，

f(3π2)=2sin(π2−π6)=2sinπ3=3，

f(3x)=2sin(x−π6)，

x∈[−π3,π3]，所以x−π12.【答案】2【解析】解：∵z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，

∴|z|=1213.【答案】27

【解析】解：因为A，B，C三层个体数之比为5：3：2，且A，B，C三层的样本的平均数分别为20，30，40，

所以总体的平均数为x−=20×55+3+2+30×35+3+2+40×214.【答案】14【解析】解：根据点G是△ABC的重心，可得AG=13(AB+AC)，

结合题意AB=53AM，可得AG=13(53AM+AC)=59AM+13AC，

设AC=λAN，则AG=59AM+λ3AN，

因为AG=xAM+yAN，所以x=59,y=λ3，结合x+y=1，解得y=49，λ=415.【答案】当x=π8+kπ,k∈Z时，f(x)的最大值为2；

【解析】(1)由题意得f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，

令2x+π4=π2+2kπ,k∈Z，解得x=π8+kπ,k∈Z，

所以当x=π8+kπ,k∈Z时，f(x)取得最大值，最大值为2；

(2)因为f(θ2+π8)=2sin[2(θ16.【答案】证明见解析．

83【解析】(1)证明：因为AD⊥面PAB，BE⊂面PAB，

因此AD⊥BE，

因为△PAB是等边三角形，E是线段PA的中点，

因此PA⊥BE，

又因为AD∩PA=A，AD，PA⊂平面PAD，

因此BE⊥平面PAD；

(2)因为AD⊥面PAB，AD⊂平面ABCD，

因此平面PAB⊥平面ABCD，

又平面PAB∩平面ABCD=AB，

取AB中点为F，

因为△PAB是等边三角形，因此PF⊥AB，

PF⊂平面PAB，

因此PF⊥平面ABCD，即PF为四棱锥的高，

因为△PAB是等边三角形，AB=4，

因此PF=23，

因此四棱锥P−ABCD的体积为V=13×12×(2+4)×4×23=817.【答案】a=0.04；

9.08；

9.6．

【解析】(1)由频率分布直方图得2(a+0.1+5a+0.12+a)=1，解得a=0.04．

(2)由频率分布直方图可得平均数为：

x−=5×2×0.04+7×2×0.1+9×2×5×0.04+11×2×0.12+13×2×0.04=9.08．

所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．

(3)日均运动步数在[12,14]的频率为2×0.04=0.08，

日均运动步数在[10,12)的频率为0.12×2=0.24，

日均运动步数在[8,10)的频率为5×0.04×2=0.4，

所以达标线位于[8,10)内，

则达标线为0.08+0.24+10−m2×0.4=25，解得m=9.6，

该企业制定的优秀强国运动者达标线是9.6千步．

(1)由频率和为18.【答案】A=π3；

S△ABC=23；

【解析】(1)根据题意可知，cosC+(cosB−3sinB)cosA=0，∴−cos(A+B)+(cosB−3sinB)cosA=0，

−cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA−3sinBcosA=0，

sinAsinB=3sinBcosA，∵0<B<π2，∴sinB≠0，

∴sinA=3cosA，∴tanA=3，

又∵0<A<π2，∴A=π3；

(2)在锐角△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，

又a=23，b=2，A=π3，∴12=4+c2−2×2c×12，整理得c2−2c−8=0，

解得c=4或c=−2(舍去)，∴c=4，

∴S△ABC=12bcsinA=12×2×4×32=23；

(3)设锐角△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得：2R=a19.【答案】PQQA=12；

PA与平面ABCD所成角的正弦值23；【解析】(1)连接AC交BD于点M，连接QM，

因为CD=AD=3，AB/​/CD，所以BC=3，AB=6，

则平面PAC∩平面QBD=QM，

依题意，PC//平面QBD，PC⊂平面PAC，

所以PC//QM，

所以PQQA=CMMA，等腰梯形ABCD中，△MAB∽△MCD，

所以PQQA=CMMA=CDAB=