北京市通州区第六中学初一数学压轴题专题

北京市通州区第六中学初一数学压轴题专题一、七年级上册数学压轴题1．如图，点O在直线AB上，．（1）如图①，当的一边射线OC在直线AB上（即OC与OA重合），另一边射线OD在直线AB上方时，OF是的平分线，则的度数为_______．（2）在图①的基础上，将绕着点O顺时针方向旋转（旋转角度小于），OE是的平分线，OF是的平分线，试探究的大小．①如图②，当的两边射线OC、OD都在直线AB的上方时，求的度数．小红、小英对该问题进行了讨论：小红：先求出与的和，从而求出与的和，就能求出的度数．小英：可设为x度，用含x的代数式表示、的度数，也能求出的度数．请你根据她们的讨论内容，求出的度数．②如图③，当的一边射线OC在直线AB的上方，另一边射线OD在直线AB的下方时，小红和小英认为也能求出的度数．你同意她们的看法吗?若同意，请求出的度数；若不同意，请说明理由．③如图④，当的两边射线OC、OD都在直线AB的下方时，能否求出的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出的度数．答案：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，【分析】（1）由得，再由角平分线的性质求出的度数，由即可求出结果；（2）①根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度；②用同上的方解析：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，【分析】（1）由得，再由角平分线的性质求出的度数，由即可求出结果；（2）①根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度；②用同上的方法去求出结果；③设，则，由角平分线的性质表示出和，根据即可求出结果．【详解】解：（1）∵，∴，∵OF平分，∴，∴，故答案是：；（2）①方法1：∵，∴∵OE平分，OF平分，∴，，∴，∴，方法2：设为x度，∵OE平分，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴；②同意，方法1：∵，OE平分，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴，方法2：设为x度，∵OE平分，∴，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴，③能求出，，理由：设，则，∴，∵OE平分，OF平分，∴，，∴．【点睛】本题考查角度求解，解题的关键是掌握角平分线的性质，角度互补和互余的性质．2．如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长）．（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是________；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？答案：（1）-2π；（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；；②34π；2π．【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即解析：（1）-2π；（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；；②34π；2π．【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；

②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．【详解】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是-2π；故答案为：-2π；

（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；

②|﹢2|+|-1|+|-5|+|+4|+|+3|+|-2|=17，

Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；

（+2）+（-1）+（-5）+（+4）+（+3）+（-2）=1，

1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值的性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．3．如图，在数轴上点表示数，点表示数b，点表示数c，其中．若点与点B之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点在点之间，且满足．（1）；（2）若点分别从、同时出发，相向而行，点的速度是1个单位/秒，点的速度是2个单位秒，经过多久后相遇．（3）动点从点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒，当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间的值以及此时对应的点所表示的数；如果不能，请说明理由．答案：（1）5；（2）2秒；（3）当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．【分析】（1）用b表示BC、AB的长度，结合BC=2AB可求出b值；（2）根据相遇时间解析：（1）5；（2）2秒；（3）当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．【分析】（1）用b表示BC、AB的长度，结合BC=2AB可求出b值；（2）根据相遇时间=相遇路程÷速度和，即可得出结论；（3）用含t的代数式表示出点M，N表示的数，结合MN=2，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）∵．又∵点B在点A、C之间，且满足BC=2AB，

∴9-b=2（b-3），

∴b=5．

（2）AC=9-3=66÷（2+1）=2，即两秒后相遇．（3）M到达B点时t=（5-3）÷1=2（秒）；M到达C点时t=（9-3）÷1=6（秒）；N到达C时t=（9-3）÷2+2=5（秒）N回到A点用时t=（9-3）÷2×2+2=8（秒）当0≤t≤5时，N没有到达C点之前，此时点N表示的数为3+2（t-2）=2t-1；M表示的数为3+tMN==2解得（舍去）或此时M表示的数为5当5≤t≤6时，N从C点返回，M还没有到达终点C点N表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；M表示的数为3+tMN==2解得或（舍去）此时M表示的数为9当6≤t≤8时，N从C点返回，M到达终点C此时M表示的数是9点N表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；MN==2解得此时M表示的数是9综上所述：当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．4．已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C,且a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．①2秒后，点A、B、C表示的数分别是，，；②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）③在②的基础上，请问：3×BC-AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；（3）若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．是否存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的？若存在，直接写出时间t的值；若不存在，说明理由．答案：（1）；（2）①，；②，；③不变，这个不变的值为；（3）存在，，．【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b、c的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）①解析：（1）；（2）①，；②，；③不变，这个不变的值为；（3）存在，，．【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b、c的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）①2秒时A计算-8-2，B计算-2+2×2，C计算3+2×3即可,②t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，根据根据两点间的距离公式计算BC=3+3t-(-2+2t)，AB=-2+2t-(-8-t),③计算3×BC-AB=3（5+t）-(8+3t)即可；（3）分类讨论．先把A、B、C用t表示，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，，点C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，时5-t=2(6-3t)，时5-t=2(3t-6)，t≥5时，t-5=2(3t-6)即可．【详解】(1)依题意，=0，=0，=0．所以，，．(2)①2秒后，点A表示-8-2=-10，点B表示-2+2×2=-2+4=2,点C表示3+2×3=3+6=9,2秒后，点A、B、C表示的数分别是-10，2，9；②t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，BC=3+3t-(-2+2t)=3+3t+2-2t=5+t，AB=-2+2t-(-8-t)=-2+2t+8+t=6+3t，③3×BC-AB=3（5+t）-(6+3t)=15+3t-6-3t=9不变化，这个不变的值为9；（3）t秒时，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，点C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，时5-t=2(6-3t)，t=时5-t=2(3t-6)，t=t≥5时，t-5=2(3t-6),t=舍去存在，时间t的值为或．【点睛】本题考查了实数与数轴，非负数的性质，列代数式，整式的加减，两点间的距离公式，分类构造方程是解题关键．5．如图，数轴上有三个点、、，表示的数分别是、、，请回答：（1）若使、两点的距离与、两点的距离相等，则需将点向左移动______个单位．（2）若移动、、三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有种，其中移动所走的距离和最小的是_______个单位；（3）若在表示的点处有一只小青蛙，一步跳个单位长．小青蛙第次先向左跳步，第次再向右跳步，然后第次再向左跳步，第次再向右跳步按此规律继续跳下去，那么跳第次时，应跳_______步，落脚点表示的数是_______．（4）数轴上有个动点表示的数是，则的最小值是_______．答案：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）设需将点C向左移动x个单位，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；（2）分为三种：移动点B、C；移动点A、C；移动点A、B，再解析：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）设需将点C向左移动x个单位，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；（2）分为三种：移动点B、C；移动点A、C；移动点A、B，再利用数轴的定义分别求出移动所走的距离和即可得；（3）先根据前4次归纳类推出一般规律，再列出运算式子，计算有理数的加减法即可得；（4）分，，和数四种情况，再分别结合数轴的定义、化简绝对值即可得．【详解】（1）设需将点C向左移动x个单位，由题意得：，解得，即需将点C向左移动3个单位，故答案为：3；（2），，，由题意，分以下三种情况：①移动点B、C，把点B向左移动2个单位，点C向左移动7个单位，此时移动所走的距离和为；②移动点A、C，把点A向右移动2个单位，点C向左移动5个单位，此时移动所走的距离和为；③移动点A、B，把点A向右移动7个单位，点B向右移动5个单位，此时移动所走的距离和为；综上，移动方法有3种，其中移动所走的距离和最小的是7个单位，故答案为：3，7；（3）第次跳的步数为，第次跳的步数为，第次跳的步数为，第次跳的步数为，归纳类推得：第n次跳的步数为，其中n为正整数，则第99次跳的步数为，落脚点表示的数为，，，，故答案为：197，；（4）由题意，分以下四种情况：①当时，则；②当时，则，，；③当时，则，，；④当时，则；综上，，则的最小值是9，故答案为：9．【点睛】本题考查了数轴、化简绝对值、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．6．已知数轴上点A对应的数为，点B在点A右侧，且两点间的距离为8．点P为数轴上一动点，点C在原点位置．（1）点B的数为____________；（2）①若点P到点A的距离比到点B的距离大2，点P对应的数为_________；②数轴上是否存在点P，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；（3）已知在数轴上存在点P，当点P到点A的距离与点P到点C的距离之和等于点P到点B的距离时，点P对应的数为___________；答案：（1）2；（2）①-1；②或10；（3）-8和-4【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得结果；（2）①根据点P相对于A、B的不同位置分类讨论即可；②分点P在点A的左侧，点P在A、B之间，解析：（1）2；（2）①-1；②或10；（3）-8和-4【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得结果；（2）①根据点P相对于A、B的不同位置分类讨论即可；②分点P在点A的左侧，点P在A、B之间，点P在点B右侧三种情况，列方程求解；（3）分点P在点A左侧，点P在A、O之间，点P在O、B之间，点P在点B右侧四种情况，列方程求解，根据结果进行判断．【详解】解：（1）∵点A对应的数为-6，点B在点A右侧，A，B两点间的距离为8，∴-6+8=2，即点B表示的数为2；（2）①设点P表示的数为x，当点P在点A的左侧，PA＜PB，不符合；当点P在A、B之间，x-（-6）=2-x+2，解得：x=-1；当点P在点B右侧，PA-PB=AB=8，不符合；故答案为：-1；②当点P在点A的左侧，PA＜PB，不符合；当点P在A、B之间，x-（-6）=2（2-x），解得：x=；当点P在点B右侧，x-（-6）=2（x-2），解得：x=10；∴P对应的数为或10；（3）当点P在点A左侧时，-6-x+0-x=2-x，解得：x=-8；当点P在A、O之间时，x-（-6）+0-x=2-x，解得：x=-4；当点P在O、B之间时，x-（-6）+x-0=2-x，解得：x=，不符合；当点P在点B右侧时，x-（-6）+x-0=x-2，解得：x=-8，不符合；综上：点P表示的数为-8和-4．【点睛】本题考查了一元一次的方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是本题的关键．7．已知射线在的内部，射线平分，射线平分．（1）如图1，若，则__________度；（2）若，①如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数；②若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．答案：（1）60；（2）①∠EOF=α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度数，根据角平解析：（1）60；（2）①∠EOF=α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC的度数，求和即可得出答案；（2）①根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；②分两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【详解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，

∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，

∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．故答案为：60；（2）①∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，

∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；②分以下两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，如图3①，∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．当射线OE，OF都在∠AOB外部时，如图3②，

∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．综上所述，当射线OE，OF只有1条在∠AOB外面时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．8．如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动.设旋转时间为t秒．（1）当t=2时，求∠POQ的度数；（2）当∠POQ=40°时，求t的值；（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）∠POQ=104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=解析：（1）∠POQ=104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；（1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可；（2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可；（3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可．【详解】解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.（2）当0≤t≤15时，2t+40+6t=120，t=10；当15＜t≤20时，2t+6t=120+40，t=20；当20＜t≤30时，2t=6t-120+40，t=20（舍去）；答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.（3）当0≤t≤15时，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；当15＜t≤20时，2t–(120-6t）=(120-6t），t=.当20＜t≤30时，2t–(6t-120）=(6t-120），t=.答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.【分析】本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．9．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2=0．（1）a=，b=，c=；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB=，AC=，BC=．（用含t的代数式表示）（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．答案：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c−7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c解析：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c−7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；（2）先求出对称点，即可得出结果；（3）AB原来的长为3，所以AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，再由AC＝9，得AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，由原来BC＝6，可知BC＝4t−2t＋6＝2t＋6；（4）由3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）求解即可．【详解】（1）∵|a＋2|＋（c−7）2＝0，∴a＋2＝0，c−7＝0，解得a＝−2，c＝7，∵b是最小的正整数，∴b＝1；故答案为：−2；1；7．（2）（7＋2）÷2＝4.5，对称点为7−4.5＝2.5，2.5＋（2.5−1）＝4；故答案为：4．（3）依题意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6；故答案为：3t＋3；5t＋9；2t＋6．（4）不变．3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）＝12．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．10．如图1，在平面内，已知点O在直线上，射线、均在直线的上方，（），，平分，与互余．（1）若，则________°；（2）当在内部时①若，请在图2中补全图形，求的度数；②判断射线是否平分，并说明理由；（3）若，请直接写出的值．答案：（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF平分，理由见解析；（3）或．【分析】（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；解析：（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF平分，理由见解析；（3）或．【分析】（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；（2）①根据题意即可补全图形；根据∠DOF与∠AOC互余，可求出∠DOF，又因为OD平分∠COE，可求得∠DOE，根据∠EOF=∠DOF-∠DOE即可求解；②根据∠DOF=-∠AOC，∠BOF=，即可求证；（3）分两种情况进行计算：①OF在∠BOC内部，根据∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，可得∠DOE=∠COD=，继而可得∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，根据∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出的值；②OF在∠BOC外部，根据∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF，可得到∠AOF=，又因为∠DOF与∠AOC互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，继而可求出的值．【详解】解：（1）∵AB为直线，∴∠AOE+∠BOE=180°，又∵∠AOE：∠BOE=1：5，∴∠AOE=，∵∠AOC=，∠COE=，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=+==30°，解得：；（2）①补全的图形见下图：∵∠DOF与∠AOC互余，∴∠DOF=-∠AOC=70°，∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE==20°，∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=；②OF平分∠BOD，理由如下：由题意得：∠DOF=-∠AOC=-，∠BOF===，∴∠DOF=∠BOF，∴OF平分∠BOD；（3）分两种情况：①当OF在∠BOC内部时，如下图所示：∵∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，∴∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°，即，解得：；②当OF在∠BOC外部时，如下图所示：∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∵∠EOF=4∠AOC=，∴∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF=++∠AOF=，∴∠AOF=，∵∠DOF与∠AOC互余，∴∠DOF+∠AOC=90°，即∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，∴+++=90°，解得：综上所述，的值为或．【点睛】本题考查角平分线、余角补角、尺规作图等知识，综合运用相关知识点是解题的关键．11．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝；（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．答案：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．【分析】（1）利用余角的定义可求解；（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；（3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在解析：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．【分析】（1）利用余角的定义可求解；（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；（3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解．【详解】解：（1）由题意得，，，故答案为；（2），，，平分，，，，故答案为；（3）①当在的内部时，，而，，，，，又，，；②当在的外部时，，而，，，，，又，，，综上所述：的度数为或．【点睛】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．12．（学习概念）如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．（理解运用）（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；（拓展提升）（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝秒．答案：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出解析：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．【详解】解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此题有两种情况Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，①当时，如图：∴，解得：；②当，即时，如图：∴，解得：；③当，如图：∴，解得：；④当，如图：∵，，∴，解得：；∵的最大值为：，∴不符合题意，舍去；综合上述，t=，4，5秒．【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．13．如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．答案：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解；（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．【详解析：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解；（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．【详解】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，∵∠AOB=2∠AOC，∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；故答案为：是；（2）∵∠MPN=分三种情况①∵射线PQ是的“定分线”，∴=2=，∴=，②∵射线PQ是的“定分线”，∴=2，∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，③∵射线PQ是的“定分线”，∴2=，∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN=，∴∠QPN=，∴∠QPM=，∴∠MPQ=或或；故答案为：或或；（3）依题意有三种情况：①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是∠MPN的“定分线”．【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，“定分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“定分线”的定义并分情况讨论是解题的关键．14．如图，一副三角板中各有一个顶点在直线的点处重合，三角板的边落在直线上，三角板绕着顶点任意旋转．两块三角板都在直线的上方，作的平分线，且，．（1）当点在射线上时（如图1），的度数是_______．（2）现将三角板绕着顶点旋转一个角度（即），请就下列两种情形，分别求出的度数（用含的代数式表示）①当为锐角时（如图2）；②当为钝角时（如图3）；答案：（1）37.5°；（2）①当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②【分析】（1）根据题意可以求得∠BOD的度数，由于OP平分∠BOD，从而可以求得∠BOP的度解析：（1）37.5°；（2）①当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②【分析】（1）根据题意可以求得∠BOD的度数，由于OP平分∠BOD，从而可以求得∠BOP的度数；（2）根据图形和第一问中的推导可以解答本题；（3）通过图形可以发现∠BOD是∠AOB与∠COD的和与∠MOC的差，从而可以解答本题．【详解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，点C在射线ON上，∴∠BOD＝180°−45°−60°＝75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝37.5°．故答案为：37.5°；（2）①当∠CON为锐角时，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠BOD＝180°−45°−60°−x°＝75°−x°．∵OP平分∠BOD，∴当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②当∠CON为钝角时，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠MOC＝180°−x°．∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD−∠MOC＝45°＋60°−（180°−x°）＝x°−75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝．【点睛】本题考查角的计算，解题的关键是明确题意，可以根据图形找出所求问题需要的条件．15．（阅读理解）射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线．例如，如图1，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线；若∠BOD＝∠COD，则称射线OD是射线OB关于∠BOC的伴随线．（知识运用）如图2，∠AOB＝120°．（1）射线OM是射线OA关于∠AOB的伴随线．则∠AOM＝_________°（2）射线ON是射线OB关于∠AOB的伴随线，射线OQ是∠AOB的平分线，则∠NOQ的度数是_________°．（3）射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．答案：（1）；（2）；（3）①当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②当t为或或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义解析：（1）；（2）；（3）①当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②当t为或或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；（2）根据伴随线定义结合角平分线的定义即可求解；（3）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．【详解】（1）根据伴随线定义得，∴；故答案为：；（2）如图，根据伴随线定义得，即，∵射线OQ是∠AOB的平分线，∴，∴；故答案为：；（2）射线OD与OA重合时，（秒），①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则120-3t-2t=20，∴t=20；若在相遇之后，则3t+2t-120=20，∴t=28；所以，综上所述，当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②相遇之前，射线OC是射线OA关于∠AOD的伴随线，则∠AOC=∠COD，即，解得：（秒）；相遇之前，射线OC是射线OD关于∠AOD的伴随线，则∠COD=∠AOC，即，解得：（秒）；相遇之后，射线OD是射线OA关于∠AOC的伴随线，则∠AOD=∠COD，即，解得：（秒）；相遇之后，射线OD是射线OC关于∠AOC的伴随线，则∠COD=∠AOD，即，解得：（秒）；综上，当t为或或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的性质，解决本题的关键是理解新定义，找到等量关系列出方程，难点是利用分类讨论思想解决问题．16．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是；（填序号）（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边、都在直线上．固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止．①当平分时，求旋转角度；②是否存在？若存在，求旋转角度；若不存在，请说明理由．答案：（1）②③；（2）①15°；②存在，或【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来；（2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论解析：（1）②③；（2）①15°；②存在，或【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来；（2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论．【详解】解：（1），，和不能写成、、、的和或差，故画不出；故选②③；（2）①，，平分，，，；②当在的左侧时，如图②，则，，，，；当在的右侧时如图③，则，，，，，综上所述，当或时，存在．【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．17．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）答案：（1），5；（2），；（3）经过秒平分【分析】（1）根据图形和题意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根据图形和题意得出，再根据转动速度从而得出答案；（3）分别根据转动速度关系和平分画图即解析：（1），5；（2），；（3）经过秒平分【分析】（1）根据图形和题意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根据图形和题意得出，再根据转动速度从而得出答案；（3）分别根据转动速度关系和平分画图即可．【详解】（1）∵∴∵平分，∴∴∴解得：秒（2）度∵，平分∴∴∴解得：秒（3）如图：∵，由题可设为，为∴∵解得：秒答：经过秒平分．【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．18．如图①，O是直线上的一点，是直角，平分．（1）若，则____________°，____________°；（2）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）；（3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系：__________________．（不用证明）答案：（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由解析：（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC利用角的和差即可求出∠DOE的度数；（2）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度数；（3）由∠COD是直角，OE平分∠BO