南师大地图学教案第5讲 圆锥投影

第五讲圆锥投影一．本讲内容概述

1.圆锥投影

1.1圆锥投影的一般公式及其分类

1.2等角圆锥投影

单标准纬线等角圆锥投影

双标准纬线等角圆锥投影

应用举例：百万分之一地图等角圆锥投影

1.3等面积圆锥投影

单标准纬线等面积圆锥投影

双标准纬线等面积圆锥投影

1.4等距离圆锥投影

单标准纬线等距离圆锥投影

双标准纬线等距离圆锥投

1.5圆锥投影变形分析及应用

2.方位投影

2.1方位投影的一般公式及其应用

2.2等角方位投影

2.3等面积方位投影

2.4等距离方位投影

2.5透视方位投影

2.6方位投影变形分析和应用

3.圆柱投影

3.1圆柱投影的一般公式及分类

3.2等角圆柱投影

3.3高斯－克吕格投影

3.4通用横轴墨卡托投影

3.5圆柱投影的变形分析与应用

4.伪圆锥、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影

4.1伪圆锥投影

4.2伪圆柱投影

4.3多圆锥投影二．本讲内容

1.

圆锥投影

1.1圆锥投影的一般公式及其分类

设想将一个圆锥套在地球椭球体上而把地球椭球上的经纬线网投影到圆锥面上，然后沿着某一条母线（经线）将圆锥面切开而展开成平面，就得到圆锥投影。

按圆锥面与地球椭球体所处的相对位置，又可将圆锥投影分为三种形式(如图5－1)图5－1三种形式的圆锥投影正轴圆锥投影：圆锥轴与地球椭球的旋转轴相一致。

横轴圆锥投影：圆锥轴与地球椭球的长轴相一致。

斜轴圆锥投影：圆锥轴通过椭球的中心，但不与椭球的长轴或短轴相重合。

在制图实践中，广泛采用的正轴圆锥投影。对于斜轴、横轴圆锥投影，由于计算时需要经过坐标换算，且投影后的经纬线形状均为复杂曲线，所以应用较少。

圆锥投影中纬线投影后为同心圆弧，经线投影后相交于一点的直线束，且夹角于经差成正比。

圆锥投影（正轴）一般公式为：

（公式5－1）式中，ρ为纬线投影半径，函数f取决于投影的性质（等角、等积或等距离投影），它仅随纬度的变化而变化；λ是地球椭球面上两条经线的夹角；δ是两条经线夹角在平面上投影的；a是小于1的常数。在正轴圆锥投影中，经纬线投影后正交，故经纬线方向就是主方向。因此经纬线长度（m，n）也就是极值长度比（a，b），m，n中数值大的为a，数值小的为b。考虑到ρ的数值由圆心起算，而地球椭球纬度由赤道起算，两者方向相反，故在m式子前加上负号。

1.2等角圆锥投影

在等角圆锥投影中，微分圆的表象保持为圆形，也就是同一点上各个方向上的长度比均相等，或者说保持角度没有变形。本投影也称为兰勃特（Lambert)正形圆锥投影。

根据等角条件m＝n（或a＝b），或ω＝0，可推导出如下公式中：（公式5－2）式中，ρ为等角圆锥投影纬圈半径；a，K是投影常数，且K的几何意义是赤道的投影半径；，。

式中，a，K是投影常数，但尚需要进一步确定，现在讨论几种决定a，K的方法。

(1)单标准纬线等角圆锥投影

这种情况下通常指定制图区域内某条指定纬线或沿着制图区域内中间的一条纬线上无长度变形。这条无变形的纬线称为标准纬线，用φo表示标准纬线的纬度，则可确定

（公式5－3）式中，N0为标准纬线的卯酉圈曲率半径。(2)双标准纬线等角圆锥投影

这种情况下通常指定制图区域内某两条纬线φ1，φ2，要求在这两条纬线上没有长度变形，即长度比为1，φ1，φ2称为标准纬线。由条件n1=n2=1可确定投影系数：

（公式5－4）(3)应用举例：百万分之一地图等角圆锥投影

1962年联合国于德国波恩举行的世界百万之一国际地图技术会议通过的制图规范，建议用等角圆锥投影替代改良多圆锥投影作为百万之一的图的数据基础，以使世界百万之一地形图与世界百万之一航空图在数学基础上能更好地协调一致。

百万之一地图采用两种投影，即由赤道至北纬84o及赤道至南纬80o之间，采用等角圆锥投影，极区附近，即由南纬80o至南极、北纬84o至北极采用等角方位投影。

1：100万地图采用的等角圆锥投影是对每幅图单独进行投影，规定每幅图内有两条标准纬线，并指定标准纬线的纬度：（公式5－5）式中φS，φN为图幅南、北边纬线的纬度。

投影常数按下式计算：（公式5－6）百万之一地图圆锥投影中，经线是辐射直线，每一幅图与东西相邻的图幅可以完全拼接。但沿着纬线方向拼接时，因拼接线在不同的投影带中投影后的曲率不同，致使其不能完全吻合，拼接时会产生裂隙。其裂隙角（a）和裂隙距（△）可由下式计算：

（公式5－7）△式中λ和L分别为经差和图廓边长。

我国自1978年以后采用等角圆锥投影作为百万之一地形图的数学基础。其分幅与国际上1962年所采用的分幅一致，但投影的标准线的位置与国际上指定的纬度稍有差异。

本投影的投影常数由边纬和中纬长度变形绝对值相等的条件求得，即：（公式5－8）式中rs，rN，rm为图幅南、北、中间纬线的纬圈半径。

（公式5－9）本投影的变形值极微小，长度变形在边纬与中纬上为±0.030﹪，面积变形约为长度变形的两倍。

本投影属割圆锥投影，两条标准纬线的纬度实际上在靠近边纬上、下约35的位置，近似地表示为：（公式5－10）不同纬度带图幅在接合时产生的裂隙的大小同前面所叙述的相同。1.3等面积圆锥投影

等面积圆锥投影保持制图区域的面积大小不变，也就是面积比等于1（P＝ab=1)。

正轴等面积圆锥投影的一般公式汇集如下：（公式5－11）在本投影中也有两个常数α，c需要确定。

（1）单标准纬线等面积圆锥投影

在本投影中，指定一条纬线φo上没有长度变形，即为单标准纬线投影，又可称为正轴等面积切圆锥投影。根据投影条件，在纬线φo上no＝1过那可得：

（公式5－12）

式中，

（2）双标准纬线等面积圆锥投影

本投影指定两条纬线φ1，φ2上长度比n1=n2=1，则按条件可得：

（公式5－13）本投影在两条纬线上无长度变形，即为双标准纬线，也称正轴等面积割圆锥投影，有的地图上称之为亚尔勃斯等面积圆锥投影（AlbersEquivalentConicalProjection）。该投影在制图实践中应用较广，现将相关的公式汇集如下：

（公式5－14）1.4等距离圆锥投影

正轴等距离圆锥投影沿经线保持等距离，即m=1，据此条件可得ρ＝c-s。其中c为积分常数，s为赤道到某纬度φ的经线弧长，当φ＝0，s＝0，故知c即为赤道的投影半径。

本投影的公式为：（公式5－15）由上述式子可知，等距离圆锥投影也有两个常数α,c需要确定。下面来求定常数α,c。

（1）单标准纬线等距离圆锥投影

本投影指定制图区域中某纬线φ0上长度比为1且为最小。根据可得n0＝1可得：（公式5－16）s0是自赤道到纬度φ0的子午线弧长。（2）双标准纬线等距离圆锥投影

在制图区域中，设φ1，φ2两条纬线上无长度变形。在φ1，φ2两条标准纬线上n1=n2=1，据此条件可得：

（公式5－17）

本投影中两条标准纬线是指定的，通常为等距离圆锥投影，它是等距离圆锥投影中运用最广泛的一种投影，其公式汇集如下：（公式5－18）1.5圆锥投影变形分析及应用

正轴圆锥投影的变形只与纬度发生关系，而与纬差无关，因此同一条纬线上的变形是相等的，也就是说，圆锥投影的等变形与纬线一致。

在圆锥投影中，变形的分布与变化随着标准纬线选择的不同而不同。

等角圆锥投影变形的特点是：角度没有变形，沿经、纬线长度变形是一致的（即m＝n），面积比为长度比的平方。

等面积圆锥投影变形的特点是：投影保持了制图区域面积投影后不变，即面积变形为零，但角度变形较大，沿经线长度比和沿纬线长度比互为倒数（）。

等距离圆锥投影变形的特点是：变形大小介于等角圆锥投影和等面积圆锥投影之间，除沿经线长度比保持为1以外，沿纬线长度比与面积比相一致（n＝p）。根据圆锥投影变形的特征可以得出结论：圆锥投影最适合于作为中纬度处沿着未详伸展的制图区域之投影。

圆锥投影在编制各种比例尺地图中得到了广泛的应用，这是有一系列原因的。首先是地球上广大陆地位于中纬地区，其次是这种投影经纬线形状简单，经线为辐射直线，纬线为同心圆弧，在编图过程中比较方便，特别在使用地图和进行图上量算时比较方便，通过一定的方法，容易改正变形。

在制图实践中，等角圆锥投影得到了广泛的采用，如前面介绍的双标准线等角圆锥投影用于百万之一地图。一些小型分省（区）地图集的普通地图也采用等角圆锥投影编制的。

正轴等面积圆锥投影应用在编制一些行政区划图、人口地图及社会经济图等地图中。中国科学院地理研究所编制的1：400万《中国地势图》采用该投影编制时所采用的两条标准纬线φ1＝25，φ2＝45。

正轴等距离圆锥投影在我国应用较少，在一些图集中可见少量采用。2.

方位投影

2.1方位投影的一般公式及其应用

方位投影可视为将一个平面切于或割于地球某一点或一部分，在将地球球面上的经纬线网投影到此平面上。图5－2方位投影示意图如图5-2，设E为投影平面，C为地球球心，Q为投影中心，即球面坐标原点。QP、QA为垂直圈，其投影后成为直线Q'、P'，今设球面上有一点A，其投影为A'，在投影平面上，令Q'P'为X轴，在O'点垂直于Q'P'的直线为Y轴，又令QA的投影Q'A'长度为ρ，QA与QP的交角为a，其投影为δ，于是有：（公式5－19）式中z，a是以Q为原点的球面极坐标。

若用平面直角坐标系表示，则有：（公式5－20）由此看来，方位投影主要是决定ρ的函数形式，由于决定ρ的函数形式的方法不同，方位投影可以有很多类型。

关于z和a，可以由地理坐标变换为球面坐标的方法来求定。

下面来研究方位投影的长度比、面积比和角度变形公式。如图5－3所示，图5－3球面和平面的表象设A'，B'，C'，D'为球面A，B，C，D的投影，垂直圈QA与QD的夹角为d，弧QB＝z。在投影面上，∠A'

Q'D'＝ρ，以μ1表示垂直圈长度比，以μ2表示等高圈长度比，则：

（公式5－21）

因A'B’＝dρ，B'C'＝ρdz，AB＝Rdz，BC=Rsinzdα，代入上式，则有：

（公式5－22）应为垂直圈与等高圈相当于正轴时的经纬线，在投影中相互正交，所以μ1，μ2就是极值长度比，所以面积比为：

（公式5－23）最大角度变形为：

或

（公式5－24）下面是方位投影的一般公式：

（公式5－25）由此可见，所以方位投影具有共同的特征，就是由投影中心到任何一点的方位角保持与实地相等（无变形）。

方位投影可以划分为非透视投影和透视投影两种，前者按投影的性质又可以分为等角、等面积和任意（包括等距离）投影，后者有一定视点，随着视点位置不同又可分为正射、外心、球面和球心投影。按投影面和地球相对位置的不同，可分为：

正轴方位投影，此时Q与P重合，又称为极方位投影（φ0=900）；

横轴方位投影，此时Q点在赤道上，又称为赤道方位投影（φ0=00）；

斜轴方位投影，此时Q点位于上述两种情况以外的任何位置，又称为水平方位投影（00<φ0<900

）；

根据投影面与地球相切或相割的关系又可以分为切方位投影和割方位投影。2.2等角方位投影

各种方位投影具有一个共同特点，就是它们的差别仅仅在于ρ的函数形式，而且ρ仅是极距z的函数（在正轴时为纬度φ的函数），所以基本问题是决定ρ的函数形式。

（公式5－26）式中R为地球半径，指定的某等高圈zk上μ2(k)=1。

这样，等角方位投影的公式汇集如下：

（公式5－27）]等角方位投影相当于后面讲的透视方位投影中的球面投影。

图5－4，5－4，5－6分别为正、横、斜三种等角投影的半球经纬线网形状。图5－4正轴等角方位投影图5－5横轴等角方位投影图5－6斜轴等角方位投影2.3等面积方位投影

在等面积方位投影中，保持面积没有变形，所以在决定ρ=f(z)的函数形式时，必须使其适合等面积条件，即面积比P＝1，据此可得等面积方位投影中ρ的函数形式:ρ=2Rcosδ（公式5－28）等面积方位投影公式汇集如下：

（公式5－29）2.4等距离方位投影

等距离方位投影通常是沿垂直圈长度比等于1的一种方位投影。因此需使ρ=f(z)满足等距离条件，也就是μ1＝1，根据此条件ρ＝Rz。因此等距离方位投影公式可汇集为：

（公式5－30）2.5透视方位投影

透视方位投影属于方位投影的一种，它是用透视的原理来确定ρ=f(z)的函数形式。它除了具有方位投影的一般特征外，还有透视关系，即地面点和相对投影点之间有一定的透视关系。通常视点的位置出于垂直于投影面的地球直径或延长线上，如图5－7所示。图5－7透视方位示意图2.6方位投影变形分析和应用图5－8方位投影等变形线如图5－8所示，在正轴中与纬线一致，在斜轴或横轴中与等高圈一致。由于这个特点，就制图区域而言，方位投影适宜于具有圆形轮廓的地区。就制图区域地理位置而言，在两极地区，适宜用正轴投影，赤道附近地区，适宜用横轴投影，其他地区用斜轴投影。

由图5－8可以看出，两种方位投影中变形的增长方向不同。在切方位投影中，切点Q上没有变形，其变形随着远离Q点而增大；在割方位投影中，在所割小圆上μ2＝1，角度变形与“切”的情况一样，其他变形（垂直圈长度变形与面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。

因为各种方位投影具有不同的特点，故具有不同的用途。

等角方位投影：在欧洲有些国家曾用它作为大比例尺地图的数学基础。美国采用的所谓通用极球面投影（UPS）实质上就是正轴等角割方位投影。等角方位投影格网的工程和科研方面可用以解球面三角问题。

等面积方位投影：该投影在广大地区的小比例尺制图中，特别是东西半球图应用的很多，许多世界地图集中，为表示东、西半球才用横轴等面积方位投影，通常在东半球的投影λ0=900E，西半球取φ0=00，λ0=1100W

各大洲常采用斜轴等面积方位投影。其投影中心常取以下位置：对于中国全国，也有用斜轴等面积方位投影方案，其投影中心取φ0=+300，λ0=1050E。

等距离方位投影：其应用也是比较广泛的，大多数世界地图集中的南北极图采用正轴等距离方位投影，横轴投影用来编制东西半球图，斜轴投影在制图实践中也有很广泛的应用，如东南亚地图（φ0=+27030'，λ0=1050E）及中华人民共和国挂图也采用过这种投影。3.

圆柱投影

3.1圆柱投影的一般公式及分类

在正常位置的圆柱投影中，纬线表象为平行直线，经线表象也平行直线，且与纬线正交，如图5－9。图5－9圆柱投影示意图根据经纬线表征特征，可以得到圆柱投影的一般公式：

（公式5－31）圆柱投影按投影变形性质分，有等角、等积和等距方位投影。

圆锥投影按圆锥体面与地球体面切、割的位置分，有圆锥体轴与地轴重合的正切或正割圆锥投影、与地轴垂直的横圆锥投影、与地轴斜交的斜圆锥投影。

在应用上，以扽教圆柱投影最为广（不论是正轴，还是横轴），而等面积圆柱投影极少应用，等距离圆柱投影也有时采用。3.2等角圆柱投影

正轴等角圆柱投影又称为墨卡托（Mercator）投影，它是16世纪荷兰地图学家墨卡托所创造的，迄今还是广泛应用于航海、航空方面的重要投影之一。该投影公式汇集如下：

（公式5－32）等角航线是地面上两点之间的一条特殊的定位线，它是两点间同所有经线构成的相同方位角的一条曲线，它在航海中具有特殊意义，当船只按等角航线航行时，则理论上可不改变某一固定的方位角而到达终点。等角航行又名恒向线、斜航线。它在墨卡托投影中的表象成为两点之间的直线，这点不难理解。墨卡托投影是等角投影，而经线又是平行直线，那么两点间的一条等方位曲线在该投影中当然只能是连接两点的一条直线。这个特点也就是墨卡托投影之所以被广泛应用于航海、航空方面的原因。

横轴等角圆柱投影应用很广，应用中为限制变形采用分带法。下面来介绍等角横切椭圆柱投影，即高斯－克吕格（Guass-Krüger）投影。3.3高斯－克吕格投影

高斯－克吕格投影是等角横切椭圆柱投影。它是设想用一个椭圆柱套在地球椭球外面，并与某一条子午线相切（此子午线称为中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道面上，如图5－10所示，再按高斯－克吕格投影所规定的条件，将中央经线东、西各一定的经差范围内的经纬线交点投影到椭球柱面上，并将此圆柱展为平面，即得本投影。图5－10高斯－克吕格投影示意图这个投影可由下述三个条件确定：

1.中央经线和赤道投影后为互相垂直得直线，且为投影得对称轴；

2.投影具有等角得性质；

3.中央经线投影后保持长度不变。

分析高斯－克吕格投影长度比公式可得其变形规律如下：

1.当λ＝0时，μ＝1，即中央经线上没有任何变形，满足中央经线投影后保持长度不变的条件。

2.λ均以偶次方出现，且各项均为正号，所以在本投影中，除中央经线上长度比为1以外，其它任何点上长度比均大于1。

3.在同一条纬线上，离中央经线越远，则变形越大，最大值位于投影带的边缘。

4.在同一条经线上，纬度越低，变形越大，最大值位于赤道上。

5.本投影属于等角投影性质，故没有角度变形，面积比为长度比的平方。

6.长度比的等变形线平行于中央子午线。

1949年中华人民共和国成立后，就确定该投影为我国地形图系列中1：50万，1：20万，1：10万，1：5万，1：2.5万，1：1万及更大比例尺地形图得数学基础，一些其他国家（如朝鲜、蒙古、前苏联等国）也采用它作为地形图得数学基础。美国、英国、加拿大、法国等国家也有局部地区采用该投影作为大比例尺地图得数学基础。3.4通用横轴墨卡托投影

通用横轴墨卡托投影简称UTM投影。与高斯－克吕格投影相比，这两种投影之间仅存在着很少的差别。从几何意义看，UTM投影属于横轴等角割投影，圆柱割地球于两条等高圈（对地球而言）上，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比小于1（见图5－11）。图5－11

UTM投影示意图该投影在一些国家和地区的地形图上得到了广泛使用，但各国和地区采用的椭球体很不一致。3.5圆柱投影的变形分析与应用

通过研究圆柱投影长度比公式（指正轴投影）可知，圆柱投影的变形像圆锥投影一样，也是紧随纬度而变化的。在同纬线上的变形相同而与经度无关。因此，在圆柱投影中等变形线与纬线相合，成为平行直线。如图5－12

图5－12圆柱投影等变形线圆柱投影的变化的特征是以赤道为对称轴，南北同名危险上的变形大小相同。

因标准纬线不同可分切（切于赤道）圆柱及割（割于南北同名纬线）圆柱投影。

在切圆柱投影中，赤道上没有发生变形，变行自赤道向两侧随着纬度的增加而增大。

在割圆柱投影中，在两条标准纬线上没有变形，变形自标准纬线向内（向赤道）及向外（向两极）增大。

圆柱投影中，经线表象为平行直线，这种情况与低纬度处经线的近似平行相一致。因此，圆柱投影一般比较适宜于低纬度沿纬度伸展的地区。

在斜轴或横轴圆柱投影中，变形沿着等高圈的增大而增大，在所切的大圆上（横轴为中央线上）没有变形。梭鱼对于沿着某大圆方向伸展的地区，为使变形分布均匀而较小，可以选择一斜圆柱切于大圆上，对于沿经线伸展的地区，则可以采用横轴圆柱投影。4.伪圆锥、伪圆柱投影和多圆锥投影

4.1伪圆锥投影

伪圆锥投影的纬线投影为一组同心圆圆弧，经线为对称于中央直经线的曲线（如图5－13）。

图5－13伪圆锥投影示意图在伪圆锥投影中，除了中央经线外，其余经线均为曲线。如果经线称为交于纬线共同圆心的直线束，则该投影就成为圆锥投影。另一方面，若纬线半径无穷大，则纬线变成一组平行直线，这时所得到的是伪圆柱投影。可见，不论圆锥投影或伪圆柱投影都可以说是伪圆锥投影的特例。

根据变形性质来分析伪圆锥投影，因为伪圆锥投影的经纬线不正交，故不可能有等角投影，而只能有等面积投影。在伪圆锥投影的实际应用中，最常见的是彭纳等面积伪圆锥投影。

彭纳投影是保持纬度长度不变的等面积伪圆锥投影，即n=1,P=1。该投影的中央经线及指定的纬线上没有变形，所以它的等变形线在中心点（λ0，φ0）附近是“双曲线”。彭纳投影的经纬线网如图5－14所示。图中另一组曲线是角度等变形线，对成于中央经线。图5－14彭纳投影彭纳投影曾因用于法国地形图而著名。其后因发现它不是等角投影，不适于军事方面使用，故现在很少用于地形图。现在一般用于小比例尺地图，例如中国地图出版社出版的《世界地图集》中的亚洲政区图，单幅的亚洲地图，英国《泰晤士世界地图集》中澳洲与西南太平洋地图，均采用此投影。在其他国家出版的地图和地图集中，也常可看到用该投影编制的欧洲、亚洲、北美洲和南美洲以及个别地区的地图。4.2伪圆柱投影

伪圆柱投影中纬线投影为平行直线，经线投影为对称于中央直线的曲线。

伪圆柱投影中以等面积投影较多，下面介绍一种等面积伪圆柱投影：正弦曲线等面积伪圆柱投影。

本投影桑逊（Sanson）投影或称Sanson－Flamsteed投影。

本投影中纬线投影为间隔现等且互相平