《工程力学》课件-第十二章 组合变形的强度计算

第十二章组合变形的强度计算

第一节拉压与弯曲组合变形的强度计算

第二节弯曲与扭转组合变形的强度计算

小结下一页上一页返回目录第八章组合变形的强度计算

工程上大多数杆件在外力作用下产生的变形较为复杂，但经分析可知，这些变形均可看成是若干种基本变形组合而成，故称这些复杂变形为组合变形。在研究组合变形时，可将作用于杆件上的外力向杆件轴线简化后分组，使每一组载荷只发生一种基本变形，然后再讨论它们的叠加方法及选择适当的强度理论进行强度计算。本章主要讨论工程上常见的两种组合变形，即轴向拉伸(或压缩)与弯曲的组合变形(包括偏心拉伸或压缩)以及弯曲与扭转的组合变形。至于其他形式的组合变形，可用同样的分析方法加以解决。返回首页下一页上一页

在图示悬臂梁AB在B端承受载荷的作用，固定端A受约束反力FAx、FAy以及约束反力偶MA的作用。为了分析变形，将载荷F分解成两个正交分量Fx和Fy，则

Fx＝Fcos

Fy＝Fsin

Fx和FAx使杆轴向拉伸，Fy、FAy和MA使杆发生弯曲，因此，杆AB上发生轴向拉伸与弯曲的组合变形。第一节

拉压（压缩）与弯曲组合变形的强度计算

FxlABFAyF

MAFAxFy返回首页下一页上一页

画出杆的轴力图和弯矩图。由内力图可知，截面A为危险截面，该截面上的轴力FN＝Fx，弯矩为MA＝Fyl。危险截面上的应力分布情况如图，其中

N

=Fx/AFxlABFAyF

MAFAxFyFxFN图

+

_M图Fyl

由应力分布图可知，危险点为截面的上边缘各点。由于两种基本变形在危险点引起的应力均为正应力，故危险点处于单向应力状态，只需将这两个同向应力代数相加，即得危险点的最终应力。

N=Fx/A

W=Fyl/Wz

W=Fyl/Wz返回首页下一页上一页

截面下边缘各点的应力(截面上的最大压应力)为FxlAB

FyFFxFN图

+

_M图Fyl危险点的最终应力

N=Fx/A

W=Fyl/Wz

lmax=

N+

W=Fx/A

+Fyl/Wz

ymax=

N-

W=Fx/A

-Fyl/Wz

截面上边缘各点的应力(截面上的最大拉应力)为

lmax=

N+

W

ymax=

N-

W返回首页下一页上一页最大压应力为

lmax=

N+

W=Fx/A

+Fyl/Wz

ymax=

N-

W=Fx/A

-Fyl/Wz最大拉应力为

lmax=

N+

W

ymax=

N+

W

当杆件发生轴向拉压和弯曲组合变形时，对于拉、压强度相同的塑性材料，只需按截面上的最大应力进行强度计算，其强度条件为

max=Fx/A

+Fyl/Wz≤[

]（12-1）

但对于抗压强度大于抗拉强度的脆性材料，则要分别按最大拉应力和最大压应力进行强度计算，故强度条件分别为

lmax=Fx/A

+Fyl/Wz≤[

l

]

ymax=Fx/A

-Fyl/Wz≤[

y

]（12-2）返回首页下一页上一页GA30BC1.5m1.5mAB

摇臂一简易起重机如图，横梁AB为18a工字钢。滑车可沿梁AB移动，滑车自重力与起吊重物的重力合计为G=30kN，梁AB

材料的许用应力[

]=140MPa。当滑车移动到梁AB的中点时，试校核梁的强度。

解1)外力计算。横梁AB的受力如图。例12-1

由前述分析可知，梁AB在外力作用下发生轴向压缩和弯曲组合变形。∑Fx=0FAx-FBCsin30

=0

FEx=FBCcos30

=26kNGFBCFAyFAx∑MA(F)=0FBCsin30

l-Gl/2

=0FBC=G=30kN返回首页下一页上一页3)校核梁的强度。梁的最大正应力为压应力，发生在危险截面的上边缘各点处，其表达式为2)内力分析。梁的弯矩图和轴力图。由图可知，危险截面为梁的跨中截面，其上的轴力和弯矩分别为

FN＝FAx＝26kNM

max＝Gl/4＝303/4kN·m＝22.5kN·mABGFBCFAyFAx

已知：AB为18a工字钢。G=30kN，[

]=140MPa。校核梁的强度。

解1)外力计算。FBC=30kNFAx=26kN26kNFN图

+

_M图22.5kN

ymax=FN/A

+Mmax/Wz返回首页下一页上一页3)校核梁的强度。2)内力分析。

FN=26kNMmax=22.5kN·m

已知：AB为18a工字钢。G=30kN，[

]=140MPa。校核梁的强度。

解1)外力计算。FBC=30kNFAx=26kNABGFBCFAyFAx26kNFN图

+

_M图22.5kN

ymax=FN/A

+Mmax/Wz

查型钢表得，18a工字钢的横截面面积A=3060mm2，抗弯截面系数Wz=185cm3=185

10-6m3，代人上式得

ymax=

MPa=(8.5+121.6)MPa=130.1MPa<[

]故梁满足强度条件。返回首页下一页上一页

从该例看出，由弯曲引起的正应力远比由压缩引起的正应力大，在一般的工程问题中大致如此。因此，若此例改为选择工字钢型号，由于式(12-2)中包含着A和Wz两个未知量，无法得解。这时可利用抓主要矛盾的方法，即先不考虑轴向压缩(或拉伸)引起的正应力，而按弯曲正应力强度条件Mmax/Wz≤[

]算得Wz，据此初选工字钢型号，然后再考虑轴向压缩（或拉伸）引起的正应力校核最大正应力。若能满足强度条件，则可用该型号的工字钢；若不满足强度条件，再另行选择。例如，本例中其他条件不变，要选择工字钢型号，则

查型钢表得：18a工字钢，最大压应力校核如前，是满足强度条件的，故可选18a工字钢。mm3=160.7

103mm3=160.7cm3

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夹具的受力和尺寸如图，已知F=2kN，e=60mm，b=10mm，h=22mm，材料的许用正应力[

]=170MPa。试校核夹具竖杆的强度。

解1)外力计算。将力F向竖杆轴线简化，得到轴向拉力F和力偶Me

Me＝2

60N·m＝120N·m一对F使竖杆轴向拉伸，一对力偶Me使杆发生弯曲，故竖杆为拉伸与弯曲的组合变形。例12-22)内力分析。竖杆横截面上的轴力FN和弯矩M分别为

FN＝2kN，M＝120N·m3)校该竖杆强度。竖杆横截面上的最大拉力发生在截面右边缘各点处ebhFFFFMeMe返回首页下一页上一页

已知：F=2kN，e=60mm，b=10mm，h=22mm，[

]=170MPa。校核夹具竖杆的强度。

解1)外力计算。2)内力分析。FN＝2kN，M＝120N·m3)校该竖杆强度。竖杆横截面上的最大拉力发生在截面右边缘各点处，其值为ebhFFMeMe=157.9MPa≤[

]故竖杆满足强度条件。返回首页下一页上一页ebhFFMeMe

该例中，对于竖杆而言，拉力F没有通过其轴线，故称为偏心拉伸。如果F的方向相反，则称为偏心压缩。由本例分析可知，偏心拉伸(或压缩)就是弯曲和拉伸(或压缩)的组合变形，其中由弯曲产生的正应力远大于由拉伸产生的正应力，故在设计中应尽量使杆处于轴向拉压状态而避免在偏载下使用。返回首页下一页上一页退出ACE

机械中的转轴，通常在弯曲与扭转组合变形下工作。现以电机轴为例，说明这种组合变形的强度计算。图示的电机轴，在外伸端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的带传递给其他设备。设带的紧边拉力为2F，松边拉力为F，不计带轮自重。第二节

弯曲与扭转组合变形的强度计算

FD2F下一页上一页返回目录(1)外力分析将电机轴的外伸部分简化为悬臂梁，把作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力F

和一个力偶Me其值分别为

F

=3F

Me=2FD/2-FD/2=FD/2力F

使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶Me使轴扭转，故轴上产生弯曲与扭转组合变形。MelBxzyAF

(2)内力分析轴的弯曲图和扭矩如图。由图可知，固定端截面A为危险截面，其上的弯矩和扭矩值分别为MnMn图

+

_M图F

lM=F

lMn=Me=FD/2返回首页下一页上一页ACEFD2F(1)外力分析F

=3F

Me=FD/2MelBxzyAF

(2)内力分析M=F

lMn=FD/2(3)应力分析由于在危险截面上同时作用着弯矩和扭矩，故该截面上必然同时存在弯曲正应力和扭转切应力，其分布情况如图。由应力分布图可见，C、E两点的正应力和切应力均分别达到了最大值。因此，C、E两点为危险点，该两点的弯曲正应力和扭转切应力分别为CEMCEMn（a）返回首页下一页上一页ACEFD2F(1)外力分析F

=3F

Me=FD/2MelBxzyAF

(2)内力分析M=F

lMn=FD/2(3)应力分析CEMCEMn

点C、点E上同时并存有正应力与切应力，这两种应力或因方向不同、或因破坏机理不同，它们是不能直接相加的。故在理论上提出将它们按各自对材料的破坏效果相加，但这种破坏效果的评估却因各方提出的材料破坏原因的假说而各翼，于是就形成了各式各样的强度理论。返回首页下一页上一页ACEFD2F(1)外力分析F

=3F

Me=FD/2(2)内力分析M=F

lMn=FD/2(3)应力分析(4)建立强度条件对于塑性材料制成的转轴，因其抗拉、压强度相同，因此，C、E两点的危险程度是相同的，故只需取其一点来研究。对于塑性材料，目前常用的是第三、第四强度理论，它们所建立破坏效果相当的应力（简称相当应力）分别为（a）（b）

xd3=（c）

xd4=返回首页下一页上一页(1)外力分析F

=3F

Me=FD/2(2)内力分析M=F

lMn=FD/2(3)应力分析(4)建立强度条件（a）（b）

xd3=（c）

xd4=

将式(a)代入式(b)、(c)，并注意到圆轴的Wn＝2Wz即可得到按第三和第四强度理论建立的强度条件为（12-3）

xd3=（12-4）

xd4=返回首页下一页上一页按第三和第四强度理论建立的强度条件为（12-3）

xd3=（12-4）

xd4=

需要指出的是，式(12-3)和式(12-4)只适用于由塑性材料制成的弯扭组合变形的圆截面和空心圆截面杆。返回首页下一页上一页

图示转轴AB由电机带动，轴长l=1m，在跨中央装有带轮，轮的直径D=1m，重力不计，带紧边和松边的张力分别为Fl=4kN，F2=2kN，转轴材料的许用应力为[

]=140MPa。试用第三强度理论确定轴的直径d。

解1)外力计算。将作用于带上的张力F1和F2向轴线简化，得一个力F和一个力偶Me

，Me与电动机驱动力偶M平衡。F和Me的值分别为

F=F1+F2=6kNMe=(F1-F2)D/2＝1kN·m例12-32)内力分析。作出轴的弯矩图和扭矩图。由图可见，轴中部的截面C为危险截面。FMMeF1F2Dl/2l/2CBAdCBAMnMn图

+

_M图Fl/4返回首页下一页上一页

已知：l=1m，D=1m，Fl=4kN，F2=2kN，[

]=140MPa。求：d。

解1)外力计算。

F=6kNMe＝1kN·m2)内力分析。轴中部的截面C为危险截面，其上的弯矩和扭矩值分别为

M=Fl/4=61/4kN·m=1.5kN·mMn=Me=1kN·m3)确定轴的直径。将Wz=

d2/32和危险截面上的弯矩和扭矩值代入式(12-3)，得轴的直径为FMMeF1F2Dl/2l/2CBAdCBAMnMn图

+

_M图Fl/4d≥＝50.8mm故取d＝50mm。返回首页下一页上一页例１２-４某减速齿轮箱中的第Ⅱ轴如图所示。轴的转速ｎ＝２６５ｒ／ｍｉｎ，传递的功率Ｐ＝１０ｋＷ（由Ｃ轮输入，Ｄ轮输出）。齿轮节圆直径分别为Ｄ１＝３９６ｍｍ、Ｄ２＝１６８ｍｍ，轴径ｄ＝５０ｍｍ，齿