9.3.1　平面向量基本定理

9.3.1平面向量基本定理

(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)课时目标1.理解平面向量基本定理及其意义,理解基底、正交分解的概念.2.能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题.CONTENTS目录123课前预知教材·自主落实基础课堂题点研究·迁移应用融通课时跟踪检测课前预知教材·自主落实基础1.平面向量基本定理条件e1,e2是同一平面内两个______________结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=___________基底把____________的向量e1,e2叫作这个平面的一组基底不共线的向量λ1e1+λ2e2两个不共线2.正交分解由平面向量基本定理知,平面内任一向量a可以用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式.我们称__________为向量a的分解.当e1,e2所在直线__________时,这种分解也称为向量a的正交分解.λ1e1+λ2e2互相垂直|微|点|助|解|1.平面向量基本定理的作用平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的.2.基底的性质(1)不共线性:平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底.由于零向量与任何向量共线,所以零向量不可以作为基底.(2)不唯一性:对基底的选取不唯一,平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表示.基础落实训练1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)任意两个向量都可以作为基底. (

)(2)平面向量的基底不是唯一的. (

)(3)零向量不可作为基底中的向量. (

)×√√

√

4e1+3e24.向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为

.3课堂题点研究·迁移应用融通题型(一)对基底的理解[例1]

(多选)设e1,e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,能作为平面向量的一组基底的是

(

)A.e1+e2和e1-e2B.e1+2e2和e2+2e1C.3e1-2e2和4e2-6e1D.e2和e2+e1√√√解析:e1+e2和e1-e2没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一组基底;e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一组基底;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共线向量,不能作为平面向量的一组基底;e2和e2+e1不共线,可作为平面向量的一组基底.|思|维|建|模|判断所给的两个向量能否作为一组基底的方法

由基底的定义可知,要判断两个向量a,b能否作为一组基底只需判断两向量是否共线,而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作为一组基底的向量必为非零向量.针对训练

2.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,若a,b能作为一组基底,则实数λ的取值范围为

.

解析:若a,b能作为一组基底,则向量a,b不共线.由题可知,若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4,即实数λ的取值范围是(-∞,4)∪(4,+∞).(-∞,4)∪(4,+∞)题型(二)用基底表示向量

|思|维|建|模|平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.针对训练

√

√

题型(三)平面向量基本定理的应用

|思|维|建|模|用向量解决平面几何问题的一般步骤(1)选取不共线的两个平面向量为基底;(2)将相关的向量用基向量表示,将几何问题转化为向量问题;(3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解;(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.针对训练

课时跟踪检测134567891011121314152

√1567891011121314152342.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是

(

)A.a=0,b=e1-e2B.a=3e1-3e2,b=e1-e2C.a=e1-2e2,b=e1+2e2D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2√156789101112131415234

156789101112131415342

√156789101112131415342

√156789101112131415342

√156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

解析:如图所示,平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,F是线段DC上的点,且DC=3DF,

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

√√√156789101112131415342

156789101112131415342

√156789101112131415342

15678910111213141