10.3　第2课时　半角公式

第2课时半角公式(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)[课时目标]1.能用二倍角公式推导半角公式,了解半角公式的结构形式.2.能熟练运用半角公式解决简单的求值、化简或证明问题.正弦、余弦、正切的半角公式三角函数公式正弦sinα2=余弦cosα2=正切tanα2=±1-cosα1+cosα=|微|点|助|解|关于半角公式的几点说明(1)理解半角的含义:角α2是角α的半角,角α是角2α的半角,角2α是角4α的半角(2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法①若给出的角已确定其终边所在的象限,则可根据下表确定符号.ααsinαcostan第一象限第一、三象限+、-+、-+第二象限第一、三象限+、-+、-+第三象限第二、四象限+、--、+-第四象限第二、四象限+、--、+-②若给出角α的范围(即某一区间),可先求出α2的范围,然后再根据α2③若给出的角的象限不确定,则需分类讨论.基础落实训练1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)sin15°=±1-cos30°2.()(2)cos15°=1-cos30°2.()(3)tanα2=1+cosαsinα2.已知180°<α<360°,则cosα2的值为()A.-1-cosα2 BC.-1+cosα2 D3.tan15°等于()A.2+3 B.2-3C.3+1 D.3-1题型(一)利用半角公式求值[例1]已知cosα=13,α为第四象限角,求sinα2,cosα2,听课记录:|思|维|建|模|利用半角公式求值的思路(1)观察角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2α2=(4)下结论:结合(2)求值.[针对训练]1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cosα=1+54,则sinα2=(A.3-58 BC.3-54 D2.已知α为锐角,cosα=35,则tanπ4+α2A.13 B.1C.2 D.3题型(二)三角函数式的化简[例2]化简:(1-sinα-cosα)sinα2听课记录:|思|维|建|模|探究三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.[针对训练]3.设α∈3π2,2π,化简:题型(三)三角恒等式的证明[例3]求证:1+sinθ-cosθ1+sinθ听课记录:|思|维|建|模|三角恒等式证明的5种常用方法执因索果法证明的形式一般化繁为简左右归一法证明左右两边都等于同一个式子拼凑法针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同比较法设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”分析法从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立[针对训练]4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=acosB-ba-b第2课时半角公式◉课前预知教材±1-cosα2±1+cosα2[基础落实训练]1.(1)×(2)×(3)×2.选C因为cos2α2=1+cosα2,180°<α<360°,所以90°<α2<180°.所以cos3.选B由tanα2=sinα1+cosα,得tan15°=sin30°◉课堂题点研究[例1]解:∵α为第四象限角,∴α2为第二、四象限角当α2为第二象限角时,sinα2=1-cosα2=33,cosα2=-1+cosα2=-63,sinα2=-1-cosα2=-33,cosα2=1+cosα2=[针对训练]1.选D因为α为锐角,所以sinα2>0,sinα2=2.选D∵α为锐角,cosα=35∴sinα=45∴tanα2=sinα1+cos∴tanπ4+α2=tan[例2]解:原式=2si=2=sinα2si因为-π<α<0,所以-π2<α2所以sinα2<0所以原式=-sinα2cosα[针对训练]3.解:∵α∈3π2,2π,∴cosα>0,cosα2<0.故原式=12+12cos2α=1[例3]证明:法一左边=2sin2cos2θ2=1cosθ2sinθ2=法二左边=(1+=2(1+sinθ)2+2cos