课时跟踪检测(十)　向量数量积的坐标表示

课时跟踪检测(十)向量数量积的坐标表示(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)A级——达标评价1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()A.2 B.3 C.4 D.52.若向量a=(1,1),b=(0,-1),则a与b的夹角等于()A.-3π4 B.πC.5π4 D.3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()A.-2 B.-1C.1 D.24.已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夹角为π6,则实数m等于()A.23 B.3C.0 D.-35.(多选)已知向量a,b在平面直角坐标系中的位置如图所示,若网格中每个小正方形的边长均为1,则()A.a·b=4B.向量b在向量a上的投影向量为23C.(a+b)⊥(a-b)D.若c=(-1,2),则c∥(a-b)6.已知点A(1,0),B(-2,1),向量e=(0,1),则AB在e方向上的投影向量的模为.7.已知向量a=(-2,3),非零向量b满足a⊥b,则b=.(写一个向量坐标即可)

8.如图,在2×4的方格纸中,若向量a,b的起点和终点均在格点,则向量a+b,a-b夹角的余弦值是.9.(10分)已知点A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),求证:△ABC是直角三角形.10.(10分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.B级——重点培优11.已知向量a=(-1,2),b=(3,4),c=2a-λb,若c⊥b,则实数λ=()A.-25 B.1C.-12 D.12.在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=π2,设点D为AC的中点,E在BC上,且AE·BD=0,则BC·AE=()A.16 B.12C.8 D.-413.已知平面向量AB=(-1,k),AC=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的取值可能是.

14.(10分)已知向量a=(-3,0),b=(μ+3,-1),c=(1,λ).(1)若λ=8,μ=-6,求向量a-c与b的夹角;(2)若(a+b)⊥c,且a在c上的投影向量的模为1,求λ与μ的值.15.(12分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,向量OA=(3,1),OB=(2,-1),OC=(a,b),其中a>0,b>0.(1)若OB与OC的夹角为45°,求ba的值(2)若AB⊥AC,求1a+1b课时跟踪检测(十)1．选D由题意知a－b＝(2,1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq\r(42＋(－3)2)＝5，故选D.2．选D因为cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(2)×1)＝－eq\f(\r(2),2)，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(3π,4)，即a与b的夹角等于eq\f(3π,4).故选D.3．选D因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2，故选D.4．选B因为a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，所以|a|＝2，|b|＝eq\r(9＋m2)，a·b＝3＋eq\r(3)m.又a，b的夹角为eq\f(π,6)，所以coseq\f(π,6)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\r(3)＋m＝eq\r(9＋m2)，解得m＝eq\r(3).5．选BD由题图可知a＝(3,0)，b＝(2,2)，则a·b＝2×3＋0×2＝6，故A错误；向量b在向量a上的投影向量为eq\f(a·b,|a|)·eq\f(a,|a|)＝eq\f(6,3)·eq\f(a,3)＝eq\f(2,3)a，故B正确；因为a＋b＝(5,2)，a－b＝(1，－2)，则(a＋b)·(a－b)＝5×1＋2×(－2)＝1，所以a＋b与a－b不垂直，故C错误；因为c＝(－1,2)，a－b＝(1，－2)，则c＝－(a－b)，所以c与a－b平行，故D正确．故选BD.6．解析：由A(1,0)，B(－2,1)，可得＝(－3，1)，所以在e方向上的投影向量的模为＝eq\f(|－3×0＋1×1|,1)＝1.答案：17．解析：设b＝(x，y)，则由a⊥b得a·b＝－2x＋3y＝0，取x＝3，则y＝2，b＝(3,2)．答案：(3,2)8．解析：设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3).所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a－b|＝eq\r(10)，|a＋b|＝eq\r(26).所以向量a＋b，a－b夹角的余弦值为eq\f(－8,\r(26)×\r(10))＝－eq\f(4\r(65),65).答案：－eq\f(4\r(65),65)9．证明：因为A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，所以＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)．所以||＝eq\r(82＋(－4)2)＝eq\r(80)＝4eq\r(5)，||＝eq\r(22＋42)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，||＝eq\r((－6)2＋82)＝eq\r(100)＝10.所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是直角三角形．10．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2eq\r(10)，|－|＝4eq\r(2).故所求的两条对角线的长分别为2eq\r(10)，4eq\r(2).(2)由题设知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).11．选D由题意得c＝2a－λb＝2(－1,2)－λ(3，4)＝(－2－3λ，4－4λ)，b＝(3,4)，且c⊥b，所以c·b＝3(－2－3λ)＋4(4－4λ)＝0，解得λ＝eq\f(2,5).12．选A由题意以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)，设E(0，b)，则＝(－4，b)，＝(2,3)，＝(0,6)．由题意可知·＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，即－8＋3b＝0，解得b＝eq\f(8,3).所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(8,3)))，所以·＝16.13．解析：因为＝(－1，k)，＝(2,1)，所以＝－＝(3,1－k)．若A＝90°⇒·＝0，∴－2＋k＝0⇒k＝2；若B＝90°⇒·＝0，∴－3＋k(1－k)＝0，无解；若C＝90°⇒·＝0，∴6＋(1－k)＝0⇒k＝7.答案：2或714．解：(1)当λ＝8，μ＝－6时，b＝(－3，－1)，c＝(1,8)，a－c＝(－4，－8)．设向量a－c与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f((a－c)·b,|a－c||b|)＝eq\f(12＋8,\r(80)×\r(10))＝eq\f(\r(2),2).因为θ∈[0，π]，所以向量a－c与b的夹角为eq\f(π,4).(2)由题意知，a＋b＝(μ，－1)，c＝(1，λ)．因为(a＋b)⊥c，所以(a＋b)·c＝μ－λ＝0，得μ＝λ.又因为a在c上的投影向量的模为1，则eq\f(|a·c|,|c|)＝1，所以eq\r(1＋λ2)＝3，解得λ＝μ＝2eq\r(2)或λ＝μ＝－2eq\r(2).15．解：(1)由题意知向量＝(2，－1)，＝(a，b)，因为与的夹角为45°，所以cos〈，〉＝＝eq\f(2a－b,\r(5)·\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(2),2)，解得eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)(负值舍去)．(2)因为＝－＝(－1，－2)，＝－＝(a－3，b－1)，又⊥，所以·＝(－1)·(a－3)＋(－2)·(b－1)＝0，即得a＋2b＝5.又a>0，b>0，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,5)(a＋2b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3