人教高中数学A版必修二《正弦定理》平面向量及其应用课件 第1课时

高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI第1课时余弦定理第六章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握余弦定理及其推论.(数学抽象)2.借助向量的运算,探索余弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.能够利用余弦定理解决有关问题.(数学运算)课前篇自主预习激趣诱思隧道工程的设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,那么如何求出山脚的长度BC呢(如图)?显然,用以前所学知识很难解决这个问题,为此我们来学习一种新的解决办法——余弦定理.知识点拨知识点一、余弦定理1.文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2.符号语言:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.要点笔记应用余弦定理解三角形的类型(1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角.(2)已知三边求三角.微练习(1)在△ABC中,若AB=1,AC=3,A=60°,则BC=

.

(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B

=120°,则b=

.

解析(1)由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=12+32-2×1×3cos60°=7,知识点二、余弦定理的推论

2.一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.微练习

课堂篇探究学习探究一已知两边及一角解三角形例1(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a;(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和边a.分析(1)已知两边及其夹角,可直接利用余弦定理求出第三条边.(2)已知两边及一边的对角,可利用余弦定理列方程求解.反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.本质是方程思想的应用,四个量中“知三求一”.变式训练1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tanB=,则AC=

;

(2)在△ABC中,cosA=,a=4,b=3,则c=

.

探究二已知三边解三角形例2(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=

;

分析(1)根据已知条件结合余弦定理的推论求解.(2)先由三边的比值设出三边的长度,再利用余弦定理的推论求解.(1)答案120°解析由a2+b2+ab=c2,得a2+b2-c2=-ab.由余弦定理的推论,反思感悟已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角;(2)利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值,进而求出三个角.延伸探究本例(2)中,将条件变为“三角形的三条边长分别为2,

+1”,求其最大角与最小角之和.探究三利用余弦定理判断三角形形状例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cosAsinB=sinC,试判断三角形的形状;(2)在△ABC中,若acosB+acosC=b+c,试判断该三角形的形状.分析(1)利用余弦定理及已知求出角C,再由三角恒等变换确定角A与角B的关系,进而判断三角形形状.(2)利用余弦定理将角转化为边,通过代数变形判断三角形的形状.解(1)∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).∵2cosAsinB=sinC,∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=0,∴sin(A-B)=0.∵0°<A<180°,0°<B<180°,∴-180°<A-B<180°,∴A-B=0°,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=.∵0°<C<180°,∴C=60°,∴△ABC为等边三角形.反思感悟三角形形状的判断方法(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.④若sin2A=sin2B,则A=B或A+B=.变式训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccosA+cacosB+abcosC,则△ABC是

三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)

答案直角

素养形成余弦定理的另外两种证法证法一(几何法)按照三角形的分类,分三种情形证明.(1)在Rt△ABC中,如图①,满足勾股定理:c2=a2+b2,因为cosC=0,所以c2=a2+b2-2abcosC;图①

(2)在锐角三角形ABC中,如图②,作CD⊥AB于点D,有CD=asinB,BD=acosB,AD=AB-BD=c-acosB,b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB;同理可证:c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA.图②

(3)在钝角三角形ABC中,如图③,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则CD=asin∠CBD=asin∠ABC,BD=acos∠CBD=-acos∠ABC,AD=AB+BD=c-acos∠ABC,b2=CD2+AD2=(asin∠ABC)2+(c-acos∠ABC)2=a2+c2-2accos∠ABC.同理可证:c2=a2+b2-2abcos∠ACB,a2=b2+c2-2bccosA.综上所述,在任意的三角形中,余弦定理总是成立.图③

证法二(解析法)对于任意一个△ABC,建立平面直角坐标系如图④所示,则A(bcos∠ACB,bsin∠ACB),B(a,0).根据两点间的距离公式,有:c2=|AB|2=(bcos∠ACB-a)2+(bsin∠ACB)2=a2+b2-2abcos∠ACB,即c2=a2+b2-2abcos∠ACB,同理可证:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accos∠ABC.图④

当堂检测答案A2.在△ABC中,a=1,b=,c=2,则B等于(

)A.30° B.45° C.60° D.120°答案C3.已知△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下为钝角三角形的是(

)A.a=3,b=3,c=4 B.a=4,b=5,c=6C.a=4,b=6,c=7 D.a=3,b=3,c=5