章末综合测评2　一元二次函数、方程和不等式（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

章末综合测评(二)一元二次函数、方程和不等式(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为()A．{x|x≤－3或x≥2}B．{x|x≤－3或x≥1}C．{x|－3≤x≤1或x≥2}D．∅2．若A＝－x2＋2x，B＝6x＋4，则A与B的关系是()A．A≤B B．B≤AC．B＝A D．与x的值有关3．已知x>2，则x＋4x-2的最小值为(A．6 B．5C．4 D．34．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是()A．a2＞b2 B．1a＜C．a+b2≥ab D．ac5．已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－1或x＞3}，则下列结论正确的是()A．a＞0B．c＜0C．a＋b＋c＜0D．cx2－bx＋a＜0的解集为x6．已知命题“∃x∈R，使(m－2)x2＋(m－2)x＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为()A．m>6 B．2<m<6C．2≤m<6 D．m≤27．若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋y4＜m2－m有解，则实数m的取值范围是(A．－1＜m＜2B．m＜－2或m＞1C．－2＜m＜1D．m＜－1或m＞28．小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则()A．小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低B．小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低C．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样D．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知2<x<3，2<y<3，则()A．6<2x＋y<9 B．2<2x－y<3C．－1<x－y<1 D．4<xy<910．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是()A．2a＋b＝0B．8a＋c<0C．b2－4ac>0D．当y<0时，x<－1或x>411．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．当a＜－1时，不等式(a－x)(x＋1)＞0的解集为________．13．(教材P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客购得的黄金________10g(填“大于”“小于”或“等于”)14．若实数x>0，y>0，且满足x＋y＝8－xy．则xy的最大值为________；x＋y的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知正数a，b满足a＋2b＝ab．(1)求ab的最小值；(2)求a＋b的最小值；(3)求2aa-2+16．(本小题满分15分)已知函数y＝(m＋1)x2－mx＋1．(1)当m＝5时，求不等式y>0的解集；(2)若不等式y>0的解集为R，求实数m的取值范围．17．(本小题满分15分)当a>0时，求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集．18．(本小题满分17分)【教材原题·P55习题2.3T6】如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长(精确到0.1h)?19．(本小题满分17分)已知实数a，b，c满足a>b>c．(1)求证：1a-b+(2)将上述不等式加以推广，把1c-a的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得1a-b+1b-c+pc-a>0对任意的(3)继续推广，自然数m，n，p满足什么条件时，不等式ma-b+nb-c+pc-a>0章末综合测评(二)1．D[不等式－3x2＋5x－4>0可化为3x2－5x＋4<0，Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4<0的解集为空集，故选D．]2．A[因为A－B＝－x2＋2x－(6x＋4)＝－x2－4x－4＝－(x2＋4x＋4)＝－(x＋2)2≤0，所以A≤B．故选A．]3．A[由x>2，知x－2>0，所以x＋4x-2=x-2+当且仅当x－2＝4x-2时，即x＝4时，所以x＋4x-2的最小值为6．故选A4．D[当a＝1，b＝－2时，1>－2，而12<(－2)2＝4，11>1-2，而ab无意义，因为c2＋1>0，所以ac2+1>b5．D[因为不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，所以－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0，选项A错误；由根与系数的关系得-1+3=-ba，-1×3=ca，解得b＝－2a，c＝－3所以a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，选项C错误；不等式cx2－bx＋a<0可化为－3ax2＋2ax＋a<0，即3x2－2x－1<0，解得－13<x<1，所以不等式的解集为x-13<x<1，选项6．C[由题意可知∀x∈R，(m－2)x2＋(m－2)x＋1>0恒成立．①当m－2＝0，即m＝2时，1>0恒成立；②当m－2≠0时，m解得2<m<6．综上，2≤m<6．故选C．]7．D[因为正实数x，y满足4x＋y＝2xy，所以4y+1所以x＋y4=1当且仅当4xy=即x=1，因为不等式x＋y4<m2－m有解所以只需x+y4min<m2－m，即m2－所以m<－1或m>2．故选D．]8．B[设两次葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克，且a≠b，则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为3(a+b)小港两次均购买50元葡萄，平均价格为10050a+50因为a+b所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低．故选B．]9．ACD[∵2<x<3，2<y<3，∴4<xy<9．∴4<2x<6，6<2x＋y<9，∴－3<－y<－2，－1<x－y<1，1<2x－y<4．故选ACD．]10．ABC[因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，所以x＝－b2a＝1，得2a＋b＝0，故A当x＝－2时，y＝4a－2b＋c<0，把A选项代入得8a＋c<0，故B正确；该函数图象与x轴有两个交点，则Δ＝b2－4ac>0，故C正确；因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1，0)，所以点A的坐标为(3，0)，所以当y<0时，x<－1或x>3，故D错误．故选ABC．]11．BC[对于A，B，由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤(x即1≥(x＋y)2－3(∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；对于C，D，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤x2∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误．故选BC．]12．{x|a<x<－1}[依题意，a<－1，且函数y＝(a－x)(x＋1)的图象开口向下，两个零点为a和－1，所以不等式的解集为{x|a<x<－1}．]13．大于[由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，再设先称得的黄金为xg，后称得的黄金为yg，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝5ab，y＝∴x＋y＝5ab+当且仅当ab=ba，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x因此，顾客购得的黄金大于10g．]14．44[∵x>0，y>0，∴8－xy＝x＋y≥2xy，即(xy＋4)(xy－2)≤0，解得0<xy≤4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，∴xy的最大值为4．又8－(x＋y)＝xy≤(x+y∴[(x＋y)＋8][(x＋y)－4]≥0，∴x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立．即x＋y的最小值为4．]15．解：(1)因为a>0，b>0且a＋2b＝ab，则ab＝a＋2b≥22ab，即ab≥22，当且仅当a＝2b且a＋2b＝ab，即a＝4，b＝2时等号成立，所以ab的最小值为8．(2)因为a>0，b>0，且a＋2b＝ab，则2a+1ba＋b＝(a＋b)2a当且仅当2ba=ab，即即a＝2＋2，b＝2＋1时等号成立，所以a＋b的最小值为3＋22．(3)因为a>0，b>0，且a＋2b＝ab，所以(a－2)(b－1)＝2，可得2＝10＋4a-2+当且仅当4a-2=8b-1，即a所以2aa-216．解：(1)当m＝5时，得y＝6x2－5x＋1，由y>0，得6x2－5x＋1>0，即(3x－1)(2x－1)>0，解得x<13故不等式y>0的解集为xx<(2)由题意得，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，当m＝－1时，不等式可化为x＋1>0，解得x>－1，即(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为{x|x>－1}，不符合题意，舍去；当m≠－1时，y＝(m＋1)x2－mx＋1的图象开口向上，且与x轴没有交点时，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，所以m解得m即2－22<综上，得2－22<故实数m的取值范围为{m|2－22<m17．解：ax2－3x＋2>ax－1⇒ax2－(a＋3)x＋3>0⇒(ax－3)(x－1)>0，当a>0时，方程ax2－3x＋2＝ax－1的两个根分别为3a，1当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}；当a>3时，3a<1，不等式的解集为x当0<a<3时，3a>1，不等式的解集为x综上，当a>3时，不等式的解集为xx当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}；当0<a<3时，不等式的解集为xx18．解：如图所示：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，若在点B处受到风暴的影响，则OB＝450，OC＝600cos45°＝3002，AC＝600sin45°＝3002，AB＝20t，因为OC2＋BC2＝OB2，所以(3002)2＋(3002－20t)2＝4502，即4t2－1202t＋1575＝0，由求根公式得t＝15(22又15(22+1)2所以从现在起大约13.7h后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为15h．19．解：(1)证明：因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0，所以(1a-b+1b-c)(a－c)＝(1a-＝2＋a-bb当且仅当a-b