重庆市西南大学附属中学2025-2026学年度高一下学期期末考试数学试题（含答案）

重庆市西南大学附属中学2025-2026学年度高一下学期期末考试数学试题满分：150分；考试时间：120分钟注意事项答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答题卡清洁、完整。考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(2-A.5-4iB.5+4iC.3+4i已知向量a→,b→满足|aA.8B.4C.2D.-已知一圆锥轴截面为等边三角形，其母线长为2，则该圆锥表面积为()A.2πB.3πC.4π某班有2名男同学，4名女同学，现从中选取3名同学组成一个乐队，要求乐队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的乐队数量是()A.16B.12C.8D.24在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,A.32B.6C.322甲、乙、丙三人共同做一道数学题，每人答对该题的概率分别为13,A.115B.45C.15已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱BC，CC1靠近C的三等分点分别为M，A.717B.513C.522若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集V1和V2，V1∩V2=∅，V1∪V2=VA.这两个图都是二部图的概率为2B.这两个图至少有一个是二部图的概率为3C.这两个图不都是二部图的概率为3D.这两个图恰有一个是二部图的概率为2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分设m,n为空间中两条不同直线，α,A.m∥α，n∥B.m⊥α，n⊥C.α∥β，m∥α，则mD.m⊥α，n⊥β，事件A,B,C为三个随机事件，且A.若事件A与B互斥，则事件A与B也一定互斥B.若事件A与B相互独立，则事件A与B也一定相互独立C.若P(A∪B)=D.若事件A与B相互独立，且B与C相互独立，则A与C相互独立11.（题干配图：多个正六边形点位图）下列选项正确的是()A.若N为线段BC的中点，则ANB.向量GO2→在向量O2C.设P为图中三个正六边形边上的任意一点，则|PE→|2D.若BQ→=xBC→+yCD→且三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则三次都没有出现点数3的概率为―。某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”。现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人。“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为s2；“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10。已知该班成绩的方差为50，则s在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=23。E为棱B1C1靠近C1的四等分点，F为四边形ABCD四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分14分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知(1)求角C；(2)求△ABC面积S16.（本题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2CD=2，AD=2，PA⊥底面(1)求证：CE∥平面PAD(2)求直线CA与平面PCD所成角的正弦值。17.（本题满分15分）2026年F1中国大奖赛热度高涨，某班共45名学生，统计每位学生每周观看F1赛事的时长（单位：小时）。已知该班女生共20人，男生共25人。女生每周观赛时长原始数据如下：8.20，8.40，8.60，9.05，9.10，9.15，10.50，10.50，11.20，11.80，12.20，12.30，12.50，12.70，13.10，13.30，13.50，13.80，15.20，20.00男生每周观赛时长采用频率分布直方图，横轴为时长h（区间：8,10,12,14,16,18,20,22,24），纵轴为频率组距[8,10)：0.04；[10,12)：0.08；[12,14)：0.06；[14,16)：0.10；[16,18)：0.10；[18,20)：0.06；[20,22)：0.04；[22,24]：0.02。(1)求该班女生每周观看F1赛事时长的第25百分位数；(2)估计该班男生每周观看F1赛事时长的中位数；(3)从全班每周观赛时长小于12小时的学生中随机任选2人交流观赛感受。设事件A：选出的2人中恰有1名女生；设事件B：选出的2人中恰有1人观赛时长落在区间[10,12)内；判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由。18.（本题满分16分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135∘，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90∘，AB=AC=PA=2，点(1)求证：EF⊥平面PAC(2)求平面PCD与平面PAD夹角的正切值；(3)若M为线段PD上的动点，设PMMD=λ(λ>0)，求三棱锥M-PAE的体积与四棱锥19.（本题满分18分，新定义向量运算）规定：n维向量α→=(a1,a2,⋯,an)，其转置记作α→T；将n例：δ→1=(1,3)，δ对任意n维向量α→=(a1,aα→若α→⊗β→T=0，称α→α→对任意m∈N,m≥2(1)设α→=(1,1)，δ→1=3,-32(2)已知3维向量δ→1=(1,0,0)，δ→2=a,12,3①求a,b,②若β→m=α→重庆市西南大学附属中学2025-2026学年度高一下学期期末考试数学试题参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）答案：D【分析】复数完全平方展开运算【详解】(2-i答案：C【分析】向量模长平方展开，作差求数量积【详解】||(1)-(2)得：4答案：B【分析】轴截面为等边三角形，母线l=2，底面直径=母线长【详解】底面半径r=1侧面积：S侧=πrl=2π表面积：S=2π+π=3π答案：A【详解】符合条件只有两类：1男2女、2男1女C答案：C【详解】正弦定理化边为角：(2sin由正弦定理2R=答案：B【详解】三人全部答错概率：2有人答对概率：1-答案：D【详解】设正方体棱长为a，平面截得三棱台CMN-DAVV答案：B【分析】6个图中仅2个二部图总选法：CA：两个都是二部图概率C2B：至少一个二部图：C2C：不都是二部图概率1-1D：恰一个二部图：815二、多项选择题（每小题6分，共18分）答案：BCDA：平行同一平面的两直线可相交/异面/平行，错；B：垂直同一平面的两直线平行，对；C：两平面平行，直线平行其中一面，则直线平行另一面或在其内，对；D：m⊥α,m⊥n,n⊥β⟹α⊥β，对。答案：ACDA：互斥事件的对立事件不一定互斥，举反例可证，错；B：A、B独立，则A,C：P(A∪B)=P(A)+P(B)仅能推出P(AB)=0，不代表AB=∅D：独立不具备传递性，举反例可证，错。答案：AA：坐标计算AN→B：投影向量为-1C：最大值为16，不是312D：x+y范围|t|≤4三、填空题（每小题5分，共15分）125【详解】单次不出现3概率56P=30【详解】全班平均分x分层方差公式：50=解得s4【详解】E底面投影E'，线面角tanF轨迹是以E'为圆心、半径2的圆弧，圆心角弧长：l=rθ=2×四、解答题（共77分）15.（14分）(1)求角C解：由2ccos22化简得2sin⁡Acos(2)求△ABCCA→|a由均值不等式a2+S=当且仅当a=b取等，面积最大值3316.（14分）(1)证明：CE∥平面PAD取PA中点F，连接DF,EF。EF为△PAB中位线：由AB∥CD,AB=2CD，得CD=故EF\equalparallelCD，四边形EFDCDF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，故CE∥平面PAD。(2)直线CA与平面PCD所成角正弦值为10解：PA⊥底面ABCD⟹PA⊥CD；底面直角梯形AB⊥AD,AB∥CD⟹CD⊥AD；PA∩AD=A⟹CD⊥平面PAD。过A作AH⊥PD于H，则AH⊥平面PCD，∠ACHPA=AD=2,PD=22，AH=AC=Asin17.（15分）(1)女生观赛时长第25百分位数：9.125样本共20个，20×0.25=5，取第5、6项均值：9.10+9.15(2)男生时长中位数：15.4组距为2，前3组频率和：2×(0.04+0.08+0.06)=0.36<0.5前4组频率和：0.36+2×0.10=0.56>0.5，中位数在[14,16)中位数(3)A、B相互独立，证明：小于12小时学生：女生10人，男生6人，共16人。P(A)=区间[10,12)共8人（4女4男）：P(B)=AB：恰1女且恰1人在[10,12)，总样本点4×2+6×4=32P(AB)=满足P(AB)=P(A)⋅P(B)，故A,B相互独立。18.（16分）(1)证明：EF⊥平面PAC侧面PAB⊥底面ABCD，交线AB；∠BAP=AP⊂面PAB⟹AP⊥底面ABCD，EF⊂底面，故AP⊥EF。平行四边形ABCD，E,F为BC,AD中点⟹EF∥AB；∠BCD=135∘故EF⊥AC。AP∩AC=A，AP,AC⊂平面PAC，因此EF⊥平面PAC。(2)平面PCD与平面PAD夹角正切值：3建系：A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2