四川省达州市2025年中考数学真题试题附同步解析

四川省达州市2025年中考数学试题一、单项选择题（每小题4分，共40分）1．如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【解析】【解答】解：支出40元记作-40元.故答案为：C.【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.2．下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：从正面看，底部是两个正方形，上层的右边是一个正方形故答案为：B.【分析】从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可.3．“悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：11000=1.1×104.故答案为：B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.4．如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：由平行可知，

∠1=∠AFO，∠2=∠BFO，

∴∠AFB=∠BFO+∠AFO=∠1+∠2=35°.故答案为：A.【分析】利用两直线平行内错角相等，可得∠1=∠AFO，∠2=∠BFO，即可求解∠AFB.5．下列各式运算结果为的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A．=2a3；

B．=a6；

C．=a10；

D．=a9．故答案为：B.【分析】分别计算每个选项的值，进而得出答案.6．小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3【答案】A【解析】【解答】解：将数据按照从小到大排列为：3，4，5，5，6，7，

众数是5，中位数是：，平均数是：=5，极差是：7-3=4.故答案为：A.【分析】根据众数、中位数、平均数及极差的定义，结合数据进行分析即可.7．《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：根据牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金.

可列出方程组，故答案为：D.【分析】根据题意列方程组即可.8．下列说法正确的是（）A．两点之间线段最短B．平行四边形是轴对称图形C．若有意义，则x的取值范围是全体实数D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分【答案】A【解析】【解答】解：A、两点之间线段最短，故A符合题意；

B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；

C、若二次根式有意义，则x-1≥0，即x≥1；

D、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分.故答案为：A.【分析】根据概念的定义、性质进行逐一判断.9．如图，在△ABC中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（）A．21 B．14 C．13 D．9【答案】C【解析】【解答】解：由DE垂直平分AB，

得AD=BD，

∴△BDC的周长=BC+CD+CD=BC+CD+AD=BC+AC=13.故答案为：C.【分析】利用中垂线的性质，将BD转化为AD，进而表示△BDC的周长即可.10．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，

∴a＞0，c＞0，

∵抛物线对称轴在y轴右侧，

∴b<0，

∴abc<0，故①正确；

∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），

∴轴为x=，

∴b=-4a，即4a+b=0，故②正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，故方程有两个不同实数根，

即△=b2-4ac≥0，故③正确；

由图像可知，当x=-1时，y>0，

即，故④正确；

综上，说法正确的有4个.故答案为：D.【分析】

根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，由对称轴的位置可得b<0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x=-1时y＞0，即可逐一判断，进而求解．二、填空题（每小题4分，共20分）11．因式分解：m2+2m=【答案】m（m+2）【解析】【解答】解：提取公因式m得m（m+2），

故答案为：m（m+2）.

【分析】运用提公因式因式分解即可求解.12．已知关于的方程的一个根是，则的值为．【答案】2【解析】【解答】解：把x=1代入，

得m=2.故答案为：2.【分析】将x=1代入计算即可.13．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是．【答案】4π【解析】【解答】解：扇形的弧长=圆锥底面的周长，

底面半径为2，

∴扇形弧长=2π×2=4π.故答案为：4π.【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，所以只要计算出圆锥的底面圆的周长即可.14．化简：．【答案】【解析】【解答】原式=.

故填：

【分析】对分母当中的y-x进行提取负号，从而化成同分母加减.

​​​​​​​15．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】过点C作CD⊥x轴，

由题可知，CD=AD==0.5，∴C（，），绕原点旋转180°，相当于过原点做中心对称点，∴C1（，），再将C1向右平移2个单位，并作关于原点的对称点，得C2（-，），同理，得C3（，），C4（，），C5（，），C6（，），C7（，）.......由此可得规律，当n为奇数时，Cn（，），∴

故填：.

【分析】过点C作CD⊥x轴，根据斜边上的中线得到C坐标，根据绕原点旋转180°即为作关于原点的中心对称，依次得到C1C2C3C4C5C6C7....从而得到规律，进而求解.

​​​​​​​三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16．（1）计算：；（2）解不等式：并把解集表示在数轴上．【答案】（1）解：原式=1-1+2=2：（2）解：3(3x-1)≤2(2x+1)，

9x-3≤4x+2，9x-4x≤2+3，

5x≤5.解得：x≤1，∴原不等式的解为：x≤1.数轴表示为：【解析】【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答.17．项目调研项目主题阳光学校学生研学需求情况调查调查人员数学兴趣小组调查方法抽样调查调研内容阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔．数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）统计数据请阅读上述材料，解决下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是；（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．【答案】（1）90°（2）解：(人)

答：估计全校参加A研学基地的学生人数为600人（3）解：列表如下：甲乙BCDCBCCCDCDBDCDDD共有6种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有2种，∴两位同学选择相同研学基地的概率为【解析】【解答】解：（1）总人数为20÷10%=200（名），D：200×15%=30（名），A：200-50-40-30-10=60（名），

条形统计图补充为：

B研学基地人数对应的扇形圆心角度数：360°×=90°.

故填：90°.

【分析】（1）根据E组人数和所占的百分比得到参加研学的总人数，再计算出D组和A组人数，则可补全条形统计图，然后计算B组所对应的扇形圆心角度数；

（2）用样本中参加A研学基地的学生人数所占的百分比乘以2000即可；

（3）通过列表展示所有6种等可能的结果，再找出两位同学选择相同研学基地的结果数，然后根据概率公式计算.

​​​​​​​18．开启作角平分线的智慧之窗（1）问题：作的平分线作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线；讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是；对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②；对丙同学的作法陷入了沉思．（2）任务：①请你将上述讨论得出的依据补充完整；②完成对丙同学作法的验证．已知，求证：平分．【答案】（1）SSS；等腰三角形的三线合一（2）证明：∵∠AED=∠AOB，∴ED∥OB，∴∠EPO=∠BOP，∵EP=EO，∴∠EPO=∠EOP，∴∠BOP=∠EOP，∴OP平分∠AOB.【解析】【解答】（1）甲同学：

由尺规作图的作法可知，OM=ON，MP=NP，OP=OP，

故△OMP≌△ONP，

从而OP平分∠AOB.

故依据为SSS；

乙同学：

由作图方法可知，OA=OB，OP⊥AB，

根据等腰三角形三线合一，

得OP平分∠AOB，

故答案为：等腰三角形的三线合一.

【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质解决问题即可；

（2）利用平行线的判定和性质，等腰三角形的性质证明即可．19．如图，直线与双曲线交于点，点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）点P在x轴上，，求点P的坐标．【答案】（1）解：∵双曲线经过点A(2，2)，B(-4，a)，∴m=2×2=4=-4a，∴a=-1，∴B(-4，-1)，反比例函数解析式为：∵直线y=kx+b(k≠0)经过点A(2，2)，点B(-4，-1)，解得：∴一次函数解析式为：（2）解：∵点P在x轴上，∴点P的坐标为(3，0)或(-3，0).【解析】【分析】（1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；

（2）以OP为底，A的纵坐标为高，表示出三角形面积，从而求得OP长，进而表示出P坐标.20．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）【答案】解：如图，过点C作于点D，依题意，

设在中，，

在中，，，

解得：，

无人机离湖面的高度为(米.【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设BD=x米，则AD=（x+30）米，再利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答.21．归纳与应用归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质①；②；③．（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】（1）∠A+∠B=90°；a2+b2=c2；c＞a(c>b)（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，

∴四边形ADBE是菱形.【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．22．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意可得：(40-30-x)(60+10x)=630，

解得：

∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则)，当x=2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元，故售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.【解析】【分析】（1）原来每天售出60件，再加上多售出的10x即可得到答案；

（2）根据单件利润×销量=总利润，列方程求解即可；

（3）根据单件利润×销量=总利润，可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．23．如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，试求与半径的数量关系．【答案】（1）解：PB是⊙O的切线，

理由如下：如图，连接OA，OB，∴OA=OB，

又∵PA=PB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP，

∴∠OAP=∠OBP，∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°=∠OBP，

且OB为圆O的半径，

∴PB是⊙O的切线.（2）解：∵∠P=60°，PA=PB，∴△ABP是等边三角形，

∵∠DCE=60°，∴∠BCE+∠ACD=120°.∵∠ADC+∠ACD=120°，

∴∠ADC=∠BCE，

∴△ADC∽△BCE，如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，则∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，

∴∠OAF=90°-60°=30°.∴cos∠OAF==，

【解析】【分析】（1）连接OA，OB，求证△OAP≌△OBP，根据PA是⊙O的切线，可得∠PAO=90°，进而得出∠PBO=90°，即可得证；

（2）根据一线三等角证明△ADC∽△BCE，得出相似比为1：2，进而得出4AD+BE=2BC+2AC=2AB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=0.5AB，根据含30度角的直角三角形的性质，求得AF，进而得出2AB=2，即可得证．​​​​​​​24．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．【答案】（1）解：把B的坐标(3，0)，C的坐标(0，3)代入抛物线的解析式。得解得：∴抛物线的解析式是（2）解：①令解得：∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∵EF∥BC，∴∠FEA=∠CBO=45°，∴当∠AFE=90°时，△AEF是等腰直角三角形，且∴△AEF的外接圆半径为AE长，R=1，即解得：∴抛物线的对称轴是直线x=1，顶点M的坐标是(1，4)，

∴直线与x轴的交点T的坐标是(1，0).作PQ⊥x轴于点Q，则在直角三角形BPQ中，，∴当M、P、Q三点共线时，即轴时，的值最小，

此时Q、T重合，当点F在的内角的平分线上，

即时，如图，

∵∠COA=∠COE=90°，CO=CO，∴△ACO≌△ECO，∴AO=EO=1，∴E、T重合，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式是当时，∴点P的坐标是(1，2)，

当点F在的内角的平分线上时，如图，

作于点K，则设则CF=3-a，且解得：由于∴点F不可能在△AEC的内角∠AEC的平分线上；当点E，F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点F在∠AEC的平分线上，符合题意，则BE=BO=3，

综上：△BPE的面积为2或3或【解析】【分析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）①先求出点A的坐标，进而可判断△OBC，△AEF是等腰直角三角形，然后根据△AEF的外接圆直径是AE=2，可得其外接圆的半径R=1，再利用等积法求出r，即可解决问题；

②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交