广东省惠州市博罗县2024-2025学年高二上学期阶段性教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省惠州市博罗县2024-2025学年高二上学期阶段性教学质量检测数学试题第I卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，由题意可得，故.故选：C.2.已知，，且，则实数t的值为（）A. B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】因为，所以，解得.故选：B.3.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直线与直线垂直，设直线的方程是，将代入直线中，，解得，故直线的方程为.故选：D.4.如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：.故选：A.5.已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因圆经过点，将点代入圆的方程可得：.即，所以，则圆的方程为.对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.：根据斜率公式，这里，，则.因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.已知，所以切线的斜率.又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），可得切线方程为.整理得.故选：A.6.已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.以上皆有可能【答案】A【解析】由题意圆的圆心，半径，由在圆外，得，则圆心到直线的距离，故直线与圆相交.故选：A.7.已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为P，，所以，

因为直线与线段AB（含端点）有公共点，则或，故直线的斜率的范围为.故选：D.8.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为n=a,b,c的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，令，则，所以两平面的交线的方向向量为，设直线与平面所成角的大小为，则.故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知两条直线方程分别为与，则下列结论正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则直线一定相交D.若，则两条平行直线之间的距离为【答案】AC【解析】对于A，当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确；对于B，当，则，解得，故B错误；对于，由选项A得：当，则直线一定相交，故正确对于D，若，则，所以平行线间的距离，故D错误.故选：A.10.已知圆，直线，则下列选项正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆可能相切C.直线被圆截得的弦长的最小值为4D.当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个【答案】ACD【解析】圆，故该圆半径为3.对A，直线的方程整理可得，由，得即直线恒过定点-1,1，故A正确．对B，因为点-1,1在圆内部，所以直线与圆不可能相切，故B不正确．对C，设点-1,1为，当时，直线被圆截得的弦长最小．因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确．对D，圆心，半径为3，当时，直线的方程为．因为圆心到直线的距离为，所以圆上到直线距离为2的点恰有三个，故D正确．故选：ACD.11.如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.直线平面C.当时，点到平面的距离为D.当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为【答案】ACD【解析】对于A，如图1，因，故A正确；对于B，如图2建立空间直角坐标系，则，于是，，设平面的法向量为，则，故可取，由知与不垂直，故直线与平面不平行，故B错误；对于C，由上图建系，设P的坐标为，当，有，则，设平面法向量，则，故．取平面一点A与点E构成，所以点E到平面的距离，故C正确；对于D，因为P为底面正方形的动点，当的正切值为2时，不变，由圆锥性质可知，动点P的运动轨迹是以为高，为母线的圆锥的底面圆周，此时为底面半径r，又因为P在正方形内运动，所以P的轨迹是底面圆周的；当的正切值为，则为，所以P的轨迹长为，故D正确，故选：ACD．第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为______；【答案】【解析】由方程组，解得，即交点为.13.已知，，求在上的投影向量______（用坐标表示）【答案】【解析】由，得，在上的投影向量为.14.已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________．【答案】【解析】依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心，半径，因为为圆的切线，则，四边形的面积：又到的距离，于是，因此，所以四边形APNQ的面积最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.直三棱柱中，，，，分别是的中点．（1）求的值；（2）求证：⊥平面．（1）解：直三棱柱中，平面，又，以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得，，∴，，，，，所以；（2）证明：求得，．∴，，，∴，，∴，，即，又平面，平面，，∴⊥平面．16.已知圆的圆心在轴上，并且过和两点．（1）求圆的标准方程；（2）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程．解：（1）法一：依题意，设圆心的坐标为，因为点和在圆上，所以，则，即，解得，所以，则圆的半径，所以圆的标准方程为．法二：点和的中点为0,2，且直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，因为圆过和两点，所以圆心在线段的垂直平分线上，因为圆心在轴上，所以圆心的坐标为2,0．则圆的半径，所以圆的标准方程为；（2）直线的方程为，设圆心到直线的距离为，则，因为弦长，所以，则，化简得：，解得，所以直线的方程为.17.已知直线过定点．（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．解：（1）将整理可得，令，可得，所以直线过定点，若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为；若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为，代入点即可得，解得；此时直线的方程为；综上可知直线的方程为或；（2）（ⅰ）显然，求得：，依题意得：，解得；（ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为；当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.此时直线的方程为.18.在平面直角坐标系中，已知圆和圆．（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；（2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．解：（1）由圆的方程知：圆心，半径；当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意；当直线斜率存在时，设其方程为：，即，圆心到直线的距离，解得：，直线方程为：，即；综上所述：直线方程为或.（2）由圆的方程知：圆心，半径；设点，①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；则被圆截得的弦长为：；被圆截得的弦长为，解得：或；或；②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，此时与圆相离，不合题意；③当过的直线斜率存在且不为时，设，则，即，，圆心到直线的距离；圆心到直线的距离；直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，，即，，又，，，，当时，整理可得：，满足题意的直线有无数对，，解得：，即；当时，整理可得：，满足题意的直线有无数对，，方程组无解；综上所述：满足条件的点的坐标为.19.如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；（3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．（1）证明：取中点，连接，由N为PB中点，得，依题意，，则，于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，所以平面.（2）解：取中点，连接，由，得，而平面平面，平面平面平面，则平面，过作，则平面，又平面，于，在矩形中，，，则，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线BC与平面所成的角为，