河北省唐山市滦南县2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省唐山市滦南县2024-2025学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过，两点的直线的倾斜角是（）A.45° B.60° C.90° D.135°【答案】C【解析】因为，，所以经过两点的直线斜率不存在，所以倾斜角为.故选：C.2.已知直线与垂直，则实数的值是（）A.0或3 B.3 C.0或 D.【答案】D【解析】因为直线与垂直，所以，解得，故实数的值是.故选：D.3.在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A4.圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可设圆的标准方程为：，，圆的标准方程为：.故选：D.5.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题设，圆心为，则，故弦所在直线方程，即为.故选：D6.无论取何值，直线恒过定点，则点为（）A B. C. D.【答案】C【解析】直线可化为，令，解得，即直线恒过定点.故选：C.7.在直角坐标系中，，沿轴把直角坐标系折成的二面角，则的长度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设，如上图，，，，由都在平面内，则平面，平面，所以，，所以.故选：B8.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A.] B. C. D.【答案】A【解析】曲线即半圆：，其图象如图所示，曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线，当直线与半圆相切时，有，解得，当直线过时，有，因为直线与半圆有两个不同的交点，故，故选：A.二、选择题：本题共3小题每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对A：，定有共面，且有公共顶点，故四点共面，故A正确；对B：，，故四点不共面，故B错误；对C：，可得三点共线，则四点一定共面，故C正确；对D：，，故四点一定共面，故D正确.故选：ACD.10.已知圆与圆交于两点，则（）A.圆与圆有两条公切线B.直线的方程为C.D.线段的垂直平分线的方程为【答案】ABD【解析】由，则圆心，半径，由，则圆心，半径，所以，即，故两圆相交，所以圆与圆有两条公切线，A对；两圆作差有，整理得，B对；由到的距离，则，C错；由B知，则线段的垂直平分线的斜率，故线段的垂直平分线的方程为，D对.故选：ABD11.已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（）A. B.平面C.点到平面的距离为2 D.二面角的大小为【答案】BC【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，所以，故A选项错误；设平面的法向量为，则，令则，所以，所以，由于平面，所以平面，故B选项正确；，所以到平面的距离为故C选项正确；由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，所以，故D选项错误，故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线与直线平行，则与之间的距离为________．【答案】【解析】据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程，，整理得，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离．故答案为：13.已知圆和点，直线过点与圆交于两点．若以为直径的圆的面积最大，则直线的方程为_____．【答案】【解析】由题意，以为直径的圆的面积最大，即直线过圆心，则，所以直线为.故答案为：14.已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为_____．【答案】【解析】由题设，圆心，半径为，则，令圆心到弦距离为，则到弦的距离为，所以，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.（1）求中线的方程；（2）求经过点且与直线平行的直线方程.解：（1）由于，，故，而，故的方程是，即.（2）由于直线的斜率是，且不在直线上.所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16.已知圆过原点和点，圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.解：（1）设圆圆心坐标为.依题意，在，解得从而圆的半径为，所以圆的方程为.（2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4，显然直线符合题意.当直线的斜率存在时，设其方程为，即所以解得，所以直线的方程为综上，直线的方程为或.17.四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小．（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，所以，所以，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）解：当且为中点时，，设，则，连接，则，平面，.由（1）知平面，所以是与平面所成角，，所以，由于，所以.18.已知实数满足．（1）求的最大值；（2）若恒成立，求实数的范围．解：（1）设表示圆上点与所成直线的斜率，即直线与已知圆相切时存在斜率的最大值，令圆心到直线的距离，可得，的最大值为；（2）实数满足，设，则，，的最小值为，根据题意得，即．19.已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面.（1）求证：在四棱锥中，；（2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明：连接,为的中点，，,为长方形,中，,在中，,同理,,,在折叠后的图形中：平面平面，平面平面，,平面,又平面，,又，平面,平面,,平面，又平面,