河南省洛阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省洛阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意可知直线的斜率，直线的倾斜角为，则，，所以.故选：D.2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底；对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.故选：A.3.已知，，，则的外接圆方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设的外接圆方程为，因为，，，所以，解得，所以的外接圆方程为.故选：D.4.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知．故选：C．5.已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】圆化为标准形式是，圆心是，半径是；圆化为标准形式是，圆心是，半径是；则，两圆相交，公切线有2条．故选：B.6.在三棱锥中，已知，，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，作图如下：因为，故可得，即，又因为面面，面面，面，故可得面，又面，故；在△中，因为，满足，故，且；又，，，，设直线与所成角为，则.故选：A.7.直线始终平分圆，则的最小值为（）A. B.20 C. D.5【答案】B【解析】圆的圆心为，由直线始终平分圆，得，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为20.故选：B8.已知实数，圆，，，若在圆上存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，若在圆上存在点，使得，所以点的轨迹方程是以为直径的圆，所以圆方程为：，又因为点在圆上，所以两圆有公共点，所以，解得：.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度可能为（）A.1 B. C. D.【答案】BC【解析】如图所示，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则、、、、、、设P，由点是上的动点，知，即，∴，故，∴所以.故选：BC.10.已知直线，下列说法正确的是（）A.直线过定点B.点到直线的最大距离为C.直线一定经过第四象限D.当时，直线关于直线的对称直线为【答案】ABD【解析】对于A，，令，可得：，所以直线过定点，故A正确；对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大，且最大距离为，故B正确；对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误；对于D，当时，直线，设直线关于直线的对称直线为，一定经过直线和直线的交点，设为，由可得：，所以，在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上，所以，解得：，所以，在直线上，所以，化简可得：，故D正确.故选：ACD.11.在正方形中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.B.当点为中点时，与相交于一点，且C.存在点，使得平面D.异面直线与所成角的余弦值的最大值为【答案】ABD【解析】对于A选项，在正方体中，易知，由平面，得，而，故平面，所以，同理可得，又因为，所以平面，又平面，∴，故A正确；对于B选项，当为中点时，根据题意可得，为中点，设和相交于点E，连接和，如图所示：因为，所以，故B正确；对于C选项，设正方体的边长为，建立如图所示直角坐标系，则,设平面的法向量，则,则，令，则，故，设，则，则，由平面，则，所以，则不存在,即不存在使得平面，故C错误；对于D选项，由，，则，此时，即为中点，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，若经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________.【答案】【解析】如图所示，若直线或与线段相交，当直线斜率时，，当直线斜率时，，综上所述，或，故答案为：.13.点是空间直角坐标系中一点，点关于平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则线段的长度为___________.【答案】【解析】由题意可得，，.14.已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________.【答案】【解析】因为，作出函数的图象，如图所示：因为有三个不相等的实数根，即有三个不相等实数根，所以的图象与直线有三个不同交点，又因为直线过定点，当直线与半圆相切时，则有，解得，此时的图象与直线只有两个不同交点，当直线平行于直线时，，此时直线与的图象有三个交点，满足题意；所以当时，的图象与直线有三个不同交点，满足题意；当时，如图所示：此时的图象与直线有三个不同交点，满足题意；当直线过点时，，此时的图象与直线只有两个不同交点，由图可知当时，的图象与直线有三个不同交点，满足题意；综上，.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．解：（1）∵直线l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0，∴当l1⊥l2时，1•（m-3）-2m=0，解得m=-3；（2）由l1∥l2可得m（m-3）+2=0，解得m=1或m=-2，当m=2时，l1与l2重合，应舍去，当m=-1时，可得l1：x+y+1=0，l2：-2x-2y+6=0，即x+y-3=0，由平行线间的距离公式可得d==216.如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.（1）用、、表示向量；（2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.解：（1）（2）假设存点，使得，设，则，因为，所以，即，所以，，设，又，，所以，，即，解得，所以当时，.17.已知点，圆，动点在圆上，为的中点，直线.（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于不同的两点，，坐标原点为，当的面积为，且为钝角时，求的值.解：（1）设，，由为的中点，可得，即，又点在上，即，即；（2）由（1）可得，则，即，又为钝角，所以，及，此时圆心到直线的距离，又，解得.18.如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°.（1）若为的中点，求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.解：（1）平面，与平面所成角为45°，，，又为中点，.平面，平面，.，，平面，平面，∵平面，，又，平面，平面，∵平面，，，，，平面，平面，∵平面，，，平面，平面.（2）平面，平面，.又，故两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，为等边三角形，∴，∵，∴，，则，，，，，，设平面的法向量为，，即取，则，，，，点到平面的距离.19.如图，四边形中，，，，，，，分别在，上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正切值.解：（1），，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，，，，，设平面的法向量为，则，，即.取，则，，，设直线与平面所成的角为，则.（2）设，，由（1）可得，三棱锥底面积，高，即时，三棱锥的体积最大，在直角梯形中，，，，，，，，，，是二面角的平面角..20.已知圆的圆心在轴上，点