黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修一第五章第五节开始到必修二第七章结束.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以．故选：C2.若复数满足，则的虚部为（）A.－2 B.－1 C.－2i D.－i【答案】B【解析】因为，所以，所以的虚部为．故选：B3.在中，内角所对的边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理，代值可得，解得．故选：A．4.已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为，且点与点关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以点．因为点与点关于直线对称，所以，，所以．故选：A5.已知，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故选：C．6.顶点为，，，则为（）．A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】A【解析】依题意可知，，与不恒等，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故选：A7.由于潮汐，某港口一天的海水水位（单位：）随时间（单位：，）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为，最低水位为，则该港口一天内水位不小于的时长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，解得.所以.令，即.因为，所以，由正弦函数图象与性质可知，，解得.所以该港口一天内水位不小于的时长为小时.故选：C8.已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系，设，，则，所以，则，故，所以.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于向量，下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AB【解析】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确；当时，，B正确；若和无法比较大小，C错误；当时，与可能不共线，D错误.故选：AB.10.设，则下列关于复数的说法正确的是（）A.B.C.若，则为共轭复数D.若，则的最大值为6【答案】ABD【解析】对于A，设，则，A正确；对于B，设，故，而，B正确；对于C，，因为，所以，即，但a与m不一定相等，C错误；对于D，若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D正确．故选：ABD11.在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（）A.B.C.D.若，则【答案】BCD【解析】由正弦定理及，得，即，，整理得，又，，所以，故，，A错误；由，得，又为锐角三角形，所以解得，B正确；（当且仅当，即时取等号），C正确；由，得，由正弦定理得：即，所以.又，所以，故，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共小题，每小题5分，共15分.12.已知i是虚数单位，则______．【答案】【解析】由的周期性可得，，故答案为：13.已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________.【答案】【解析】设向量与的夹角为，由题意可得，则，又，则.故答案为：14.如图，某幼儿园计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知点分别在上，，，则最长为______m．【答案】140【解析】在中，由余弦定理得，所以．在中，由余弦定理得，所以，当且仅当时等号成立，所以．故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为，所以.所以.（2）.16.已知复数满足．（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围．解：（1）令且，则，所以，则解得所以．（2）由，得，故在复平面内对应的点位于第三象限，则解得，即实数m的取值范围为．17.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.解：（1）由，得.由余弦定理，得.又，所以.（3）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为.18.若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值.解：（1）由，得，所以是周期为6的函数，由，得，所以是的一条对称轴，因为函数为“函数”，所以，是的一条对称轴，所以.因为，所以，所以函数的解析式为.（2）令，得，所以函数的单调递增区间为.（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数，再将所得图象向左平移个单位长度，得到，因为的图象关于轴对称，所以，解得.因为，所以时，取最小值，为.19.如图，在平