2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（人教版）-第八章

8．1直线的方程[课标要求]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．【必备知识】1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°．(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．3．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量P1P2＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k4．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式过两点y−不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式纵、横截距xa+y不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面内所有直线[提醒](1)求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．【必记结论】1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”2．特殊位置的直线方程(1)与x轴重合的直线方程为y＝0；(2)与y轴重合的直线方程为x＝0；(3)过点(a，b)(b≠0)且平行与x轴的直线方程为y＝b；(4)过点(a，b)(a≠0)且平行与y轴的直线方程为x＝a.3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．【基点诊断】1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”)(1)只根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.()(3)直线的斜率越大，倾斜角就越大．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：选A.由题意得m−4−2−m＝1，解得m3．已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为－1，则直线l的方程为()A．y＝－33x－1 B．y＝－33C．y＝3x－1 D．y＝3x＋1解析：选C.因为直线的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan60°＝3，又直线l在y轴上的截距为－1，所以直线l的方程为y＝3x－1.4．直线x－3y＋a＝0(a为常实数)的倾斜角的大小是________．解析：设直线倾斜角为α，直线x－3y＋a＝0可化为y＝33x+33a，斜率为k＝33，则k＝tanα＝3答案：π5．过点(3，－2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为_________．解析：由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，即直线过原点，又过点(3，－2)，则直线方程为y＝−若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，则直线方程为xa+ya＝1，又直线过点(3，－2)，则3a+−2答案：2x＋3y＝0或x＋y＝1题型一直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈πA．π6，π3C．π4，π2解析：选B.直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈1，又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B0，3为端点的线段有公共点，则直线解析：设直线PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kPA＝1，直线PB的斜率是kPB＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为1，它的倾斜角由90°增至β，斜率的取值范围是−∞答案：−∞[变式1]若本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围．解：如图，∵kPA＝1−02−−1＝13[变式2]若本例(2)中的B0，3改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线解：如图，∵kPA＝1−02−1＝1，kPB＝−1−02−1＝－1，∴直线思维升华(1)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2−y1x2−(2)斜率取值范围的两种求法①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．【对点练习】1.(1)已知直线l的一个方向向量为p＝(sinπ3，cosπ3)，则直线lA．π6B．π3C．2π解析：选A.由题意可得，直线l的斜率k＝cosπ3sinπ3＝33，又倾斜角的范围是[0，π)，所以k＝33(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线的斜率为23，则边AC所在直线斜率的可能值为________．解析：设直线AB的倾斜角为α，则kAB＝tanα＝23.设直线AC的倾斜角为θ，在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以当θ＝α＋60°时，kAC＝tanθ＝tan(α＋60°)＝tanα当θ＝α－60°时，kAC＝tanθ＝tan(α－60°)＝tanα综上所述，kAC＝－335或kAC＝答案：－335题型二直线的方程【例2】(人教A版选择性必修一P67)求满足下列条件的直线的方程．(1)经过点A(3，2)，且与直线4x＋y－2＝0平行；(2)经过点C(2，－3)，且平行于过M(1，2)和N(－1，5)两点的直线；(3)经过点B(3，0)，且与直线2x＋y－5＝0垂直．解：(1)与直线4x＋y－2＝0平行的直线斜率为－4，且经过点A(3，2)，则直线为y＝－4(x－3)＋2＝－4x＋14.(2)过M(1，2)和N(－1，5)两点的直线斜率为5−2−1−1则与MN平行且过点C(2，－3)的直线方程为y＝−32(x－2)－3＝－3(3)直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，与之垂直的直线斜率为12则经过点B(3，0)，且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为y＝12(x－3)＝1思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定直线方程的形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：第一步：设所求直线方程的某种形式；第二步：由条件建立所求参数的方程(组)；第三步：解方程(组)求出参数；第四步：把参数的值代入所设直线方程．【对点练习】2.(1)过点P(1，4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C.当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1，4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程为y＝4x；当截距不为0时，①若截距相等，设方程为xa将P(1，4)代入，即1a+4故方程为x＋y＝5.②若截距互为相反数，设直线方程为xa−ya＝1，将P(1，4)代入，即故方程为x－y＋3＝0.一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．(2)在△ABC中，若A(2，3)，B(－2，0)，C(2，0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－3y－2＝0D．3x－y－1＝0解析：选B.如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a，0)，由角平分线的性质可知ABAC＝BDDC⇒2+22所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是y−30−3＝x−212(3)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为________．解析：由题知M(2，4)，N(3，2)，故中位线MN所在直线的方程为y−42−4＝x−23−2，整理得2答案：2x＋y－8＝0题型三直线方程的综合应用【例3】已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．解：法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A2−1k，0，B(0，1－2k)，S△AOB＝12＝124+当且仅当－4k＝－1k，即k＝－1故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y法二设直线l：xa+yb＝1，且因为直线l过点M(2，1)，所以2a则1＝2a+1b≥2故S△AOB的最小值为12×当且仅当2a此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为x4+y2＝1，即[变式1]在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解：由本例法二知，2a+1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a+1当且仅当a＝2＋2，所以当OA+[变式2]本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解：法一由本例法一知A2−1k，0，B(0，1－2k所以|MA|·|MB|＝1k2当且仅当－k＝－1k，即k此时直线l的方程为x＋y－3＝0.法二由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，2a所以|MA|·|MB|＝|MA|·|MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.思维升华与直线方程有关的最值问题的解题策略策略1：先设出直线方程确定目标函数，再利用基本不等式求最值；策略2：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．【对点练习】3.(1)(2024·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，0)∪[2，＋∞)C．(－∞，0)∪32，+∞解析：选C.若a＝0，则l的方程为x＝－32若a≠0，将l的方程转化为y＝－a−2a因为l经过第四象限，所以－a−2a<0或解得a<0或a>32综上，a的取值范围为(－∞，0)∪3(2)已知直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点A，点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则2m＋2n的最小值为A．4B．4＋42C．8D．4－42解析：选C.由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.∴直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点(－2，－2)，即A(－2，－2)，∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，∴2m+2n＝21m+1n当且仅当nm＝mn，即m＝∴2m[课下巩固精练卷(六十三)]直线的方程_______________________________________________________________________【基础巩固题】1．在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．90°D．180°解析：选A.由题意知直线过点(－2，0)，(0，2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tanα＝2−00−−2＝1，故倾斜角2．若直线l的一个方向向量为−1，3，则它的倾斜角为A．30° B．60°C．120°D．150°解析：选C.依题意，−1，3是直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率k＝－3，所以直线3．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k3<k2B．k3<k1<k2C．k1<k2<k3D．k3<k2<k1解析：选A.设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，即k1<0，k2>k3>0，故k1<k3<k2.4．直线l的倾斜角是直线3x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点3，−1，则直线l的方程为A．3x－y－4＝0B．23x－y－7＝0C．3x＋y－2＝0D．3x＋y－4＝0解析：选C.直线3x－y－1＝0可化为y＝3x－1，其斜率为3，∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，∴kl＝tan120°＝－3，∴直线l的方程为y＋1＝－3x−3，即3x＋5．(2024·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4，3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为()A．4x－3y＋1＝0B．3x－4y－1＝0C．4x＋3y＋1＝0D．3x＋4y－1＝0解析：选C.因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4，3)，所以4a1＋3b1＋1＝0，4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.6．(2024·淮南联考)已知直线l：y＝12x＋1与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转45°后与x轴交于点Q，要使直线l平移后经过点Q，则应将直线l(A.向左平移16B．向右平移16C．向左平移53D．向右平移53解析：选D.设直线l的倾斜角为α，则tanα＝12旋转后的直线斜率为tan(α＋45°)＝tanα又点P坐标为(0，1)，所以旋转后的直线方程为y＝3x＋1，Q−1因为直线l过点(－2，0)，所以把直线l向右平移53个单位长度后经过点Q7．(多选)下列说法中正确的是()A．若直线斜率为33B．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°C．若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)D．若直线的斜率为34，则这条直线必过(1，1)与(解析：选ABC.对于A，设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则由题意得tanα＝33，所以α＝30°，故A对于B，因为A(1，－3)，B(1，3)，所以直线AB与x轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为90°，故B正确；对于C，因为直线过定点(1，2)，且斜率为tan45°＝1，所以直线的方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，易知4＝3＋1，故直线必过点(3，4)，故C正确；对于D，不妨取y＝34x，满足直线的斜率为34，但显然该直线y＝34x不过(1，1)与(5，4)两点，8．(多选)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是()A．若ab>0，则直线l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°C．直线l可能经过坐标原点D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°解析：选ABD.若ab>0，则直线l的斜率－ab<0，故A若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝2a，其倾斜角为90°，故B将(0，0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝2b，其倾斜角为0°，故D9．过点A(5，2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线l的方程为_________．解析：当直线不过原点时，设直线的方程为x2a+ya＝1，把点A(5，2)代入可得52a+2a＝1，解得当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，把点A(5，2)代入可得k＝25，即2x－5y综上可得，满足条件的直线方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.答案：2x－5y＝0或x＋2y－9＝010．(人教A版选择性必修一P67)△ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求：(1)边BC上的中线所在直线的方程；(2)边BC上的高所在直线的方程；(3)边BC的垂直平分线的方程．解：(1)BC的中点坐标为6+02，7+3则边BC上的中线所在直线的方程为y＝53−4×(x－4)＝－5x(2)边BC的斜率为7−36−0＝23，则其上的高的斜率为－3则边BC上的高所在直线的方程为y＝－32(x－4)＝－32(3)由(1)知BC的中点坐标为(3，5)，由(2)知高的斜率为－32则边BC的垂直平分线的方程为y＝－32(x－3)＋5＝－3【综合应用题】11．(多选)已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1解析：选BD.根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝12112．若ab>0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．解析：根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为xa又因为C(－2，－2)在该直线上，故−2a+−2b＝1，所以－2(a＋又因为ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4ab，从而ab≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.答案：1613．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．解析：由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令x−2＝0，3−y＝0，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为PA2所以|PA|＋|PB|≤2PA当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号，即|PA|＋|PB|的最大值为6.答案：614．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程．解：(1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝1k要使直线不经过第一象限，则1k≤0，综上，k的取值范围为[－2，0].(2)由题意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，令x＝0，得y＝2+kk所以S＝12OAOB＝12·当且仅当k＝4k，即k此时Smin＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.【创新拓展题】15．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．当圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为()A．x＋2−1y－2B．1−2x－y＋2C．x－2+1y＋2D．2−1x－y＋2解析：选C.如图所示，化A项中的直线方程为截距式得x2+y2+2＝1，化B项中的直线方程为截距式得x2+216．如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为________．解析：当过A(2，1)的直线将圆1与圆2平分，过B(3，4)的直线将圆3与圆4平分时，L划分为面积相等的两个区域且kAB＝4−13−2∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．答案：3x－y－5＝0(答案不唯一)8．2两条直线的位置关系[课标要求]1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．【必备知识】1．两条直线的位置关系(1)斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.(2)一般式方程：l3：A1x＋B1y＋C1＝0(法向量u＝(A1，B1))，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(法向量v＝(A2，B2))．位置关系l1与l2满足的条件l3与l4满足的条件平行k1＝k2且b1≠b2u∥vA1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)垂直k1·k2＝－1u⊥vA1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2u与v不共线A1B2－A2B1≠02.直线的交点坐标与距离公式(1)两条直线的交点直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组A1①相交⇔方程组有唯一解；②平行⇔方程组无解；③重合⇔方程组有无数个解．(2)三种距离公式类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|＝(点到直线的距离点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0d＝A两条平行线间的距离平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0d＝C[提醒]应用两条平行直线的距离公式时，直线方程必须是一般式，且x，y的系数分别对应相等．【必记结论】1．五个关于对称的结论(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(4)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．2．三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线系方程为Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0A12+B12≠0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0A22+B22≠0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2【基点诊断】1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件解析：选B.若l1⊥l2，则(3－a)×−a2＝－1，解得a＝1或a＝2，故“a＝1”是“l1⊥l23．已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是______．解析：利用两平行线间的距离公式得d＝C1答案：24．已知点(a，2)到直线x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．解析：由题意得a−2+31+1＝1，解得a＝－1＋2或a＝－1－2答案：－1±25．经过点A(2，3)，且平行于直线l：2x＋y－1＝0的直线的方程是___________.解析：依据条件，可知所求直线存在斜率，设所求直线的方程为y－3＝k(x－2)．依题意可知直线l：2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，因为所求直线平行于直线l，所以k＝－2，所以所求直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝0题型一两条直线的位置关系【例1】(1)(2024·河南新乡三模)已知直线l1：2x＋my－1＝0，l2：(m＋1)x＋3y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C.当m＝2时，直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：3x＋3y＋1＝0，则l1∥l2，当l1∥l2时，2m+1＝m3≠所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．(2)(2024·安徽芜湖检测)已知直线l1：mx－y－3＝0，l2：(m－2)x－y＋1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选C.当m＝1时，l1：x－y－3＝0，l2：－x－y＋1＝0，即l1：y＝x－3，l2：y＝－x＋1，则k1k2＝－1，即l1⊥l2；当l1⊥l2时，m(m－2)＋(－1)×(－1)＝0，解得m＝1.所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充要条件．(3)(人教A版选择性必修一P79)已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为_________________．解析：法一由2x−y−3＝0，4x−3y−5＝0即点P的坐标为(2，1)，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得l的方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0.法二由2x−y−3＝0，4x−3y−5＝0解得x＝2，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋C＝0，把点P的坐标代入得2－1＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为x－y－1＝0.法三直线l的方程可设为2x－y－3＋λ(4x－3y－5)＝0(其中λ为常数)，即(2＋4λ)x－(1＋3λ)y－5λ－3＝0，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以2+4λ1+3λ·(－1)＝－1，解得λ＝－1，故直线l的方程为x－y答案：x－y－1＝0思维升华(1)解决两直线平行与垂直求参数的问题要“前思后想”(2)求过两直线交点的直线方程的两种方法【对点练习】1.(1)(2024·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合解析：选B.由题意可知，直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分别为－sinA又在△ABC中，asin所以－sinA所以两条直线垂直．(2)(2024·青岛模拟)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为()A．－2 B．－1C．－1或3 D．3解析：选B.由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心为−3+3+33又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点−3+32，0+3所以可得△ABC的欧拉线方程为y−132−1＝x−1因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，所以a1＝a2−3题型二两条直线的距离问题【例2】(1)点(1，1)到x＋my＋1＝0的距离是2，则m＝________．解析：点(1，1)到x＋my＋1＝0的距离d＝1+m+11+m2＝2，即m2－4m－2＝0，解得m＝2＋6答案：2＋6或2－6(2)(2024·上饶统考)正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为________．解析：设直线CD的方程为x＋y＋m＝0，联立2x−y−1＝0，x+y+m＝0，得联立4x+y−23＝0，x+y+m＝0，得∴由两点间的距离公式可得|CD|＝22又直线AB与CD的距离为d＝m+42∴223m+11解得m＝－8或m＝－32，即|CD|＝22或142.即正方形的边长为22或142.答案：22或142(3)(人教A版选择性必修一P80)▱ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0，l4：2x＋y＋1＝0，求▱ABCD的面积．解：由l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，联立求得交点C(3，2)，由l1：x－4y＋5＝0，l4：2x＋y＋1＝0，联立得交点B(－1，1)，由l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0联立得交点D(2，4)，由点D到l1：x－4y＋5＝0的距离d＝2−4×|BC|＝3+12故S▱ABCD＝|BC|×d＝17×思维升华距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式求解，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定系数法，此时必须讨论系数是否存在．(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题．【对点练习】2.(1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3B．4C．2D．6解析：选B.由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，则其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝3+0−1332(2)已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为______，此时两平行直线方程分别为______．解析：当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，为|AB|＝6+32因为直线AB的斜率kAB＝2+16+3故这两条平行直线的斜率为－3，则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.答案：3103x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0题型三对称问题角度1中心对称问题【例3】(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(－1，2)对称的直线方程是()A．3x－2y－10＝0B．3x－2y－23＝0C．2x＋3y－4＝0D．2x＋3y－2＝0解析：选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点(－1，2)对称的点的坐标为(－2－x，4－y)，因为点(－2－x，4－y)在直线2x＋3y－6＝0上，所以2(－2－x)＋3(4－y)－6＝0，即2x＋3y－2＝0.(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段恰好被点P平分，则直线l的方程为____________．解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4＋y＝1，即x＋4y答案：x＋4y－4＝0思维升华两类中心对称问题及解法(1)点关于点对称：点P(x，y)关于M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x(2)直线关于点对称的两种求解方法方法1：在已知直线上取一点，求出它的对称点，再利用两对称直线平行求得；方法2：在已知直线上取两点，求出它们的对称点，再利用两对称点坐标求得．角度2轴对称问题【例4】(1)(2024·四川遂宁模拟)已知点A与点B(2，1)关于直线x＋y＋2＝0对称，则点A的坐标为()A．(－1，4) B．(4，5)C．(－3，－4) D．(－4，－3)解析：选C.设A(x，y)，因为点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线x＋y＋2＝0上且直线AB与直线x＋y＋2＝0垂直，则x+22+y+12+2＝0(2)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是()A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0解析：选A.联立x−2y−2＝0，2x−y−4＝0取直线l1：x－2y－2＝0上一点(0，－1)，设点(0，－1)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为(a，b)，则b+1a＝−所以直线l2的斜率k＝−115−0125−2＝−112，故直线l2的方程为y思维升华(1)点关于直线对称的点坐标的求法若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组Ax1+x22+By1(2)直线关于直线对称的两种求解方法方法1：若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点的对称点，由点斜式求解；方法2：若直线与对称轴相交，则先求交点，再取直线上一点，求出该点的对称点，最后求解．【对点练习】3.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得y+2解得x＝−3313，y＝4(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则2×a+22−3×设直线m与直线l的交点为N，由2x−3y+1＝0，3x−2y−6＝0，又m′经过点N(4，3)，所以直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，所以l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二因为l∥l′，所以设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．因为点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，所以由点到直线的距离公式，得−2+6+C22+所以l′的方程为2x－3y－9＝0.[课下巩固精练卷(六十四)]两条直线的位置关系__________________________________________________________________【基础巩固题】1．(2024·河南三模)已知直线Ax＋By＋C＝0与直线y＝2x－3垂直，则()A．A＝－2B≠0B．A＝2B≠0C．B＝－2A≠0D．B＝2A≠0解析：选D.直线y＝2x－3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－12，即−AB＝−12且A≠0，2．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知直线l1：ax＋3y－6＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－4＝0，则“l1∥l2”是“a＝3或a＝－2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线l1：ax＋3y－6＝0和直线l2：2x＋(a－1)y－4＝0平行，则a×a−1＝2所以“l1∥l2”是“a＝3或a＝－2”的充分不必要条件．3．平行直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－by＋5＝0之间的距离为()A．5 B．25C．35 D．55解析：选C.因为l1∥l2，所以b≠0，21＝1−b≠−55，解得b＝－12，所以l2：2x＋4．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为()A．矩形 B．菱形C．等腰梯形D．直角梯形解析：选D.由kBC＝7−44−0∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形．5．(2024·牡丹江模拟)直线y＝33x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线lA．3x＋y－2＝0B．3x＋y＋2＝0C．x＋3y－2＝0D．x＋3y＋2＝0解析：选C.直线y＝33x与直线x＝1交于点A1所以直线l的斜率为－33且过点A1所以直线l的方程为y－33＝−3即x＋3y－2＝0.6．(2024·重庆三模)当点P(－1，0)到直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的距离最大时，实数λ的值为()A．－1B．1C．－2D．2解析：选B.直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0，整理得λ(3x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0，由3x+y−4＝0，x+y−2＝0，可得x＝1当AP与直线l垂直时，点P(－1，0)到A(1，1)的距离为dmax＝−1−12故kPA＝1−01+1直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的斜率k＝－3λ+1λ+1，故－3λ+1λ+1·7．(多选)已知在以C(2，3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是()A．斜边AB的中点坐标是(3，2)B．|AB|＝22C．△ABC的面积等于4D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1)解析：选ABD.如图，取AB的中点为P(x，y)，因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝y−3x−2＝－1，且x－y＝1，解得x＝3，y＝2，则AB的中点|CP|＝3−22+2−32＝2所以S△ABC＝12ABCP设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝xC+xC12＝3，所以xC1＝4，所以yC8．(人教A版选择性必修一P80)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为_______．解析：∵点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l的距离相等，∴−3a−4+1a2+1＝6a+3+1a2+1，于是3a+3＝|6a＋4|，∴27a2＋30答案：a＝－13或a＝－9．设点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点为Q，则点Q的坐标为__________，过点Q且与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为____________．解析：依题意，设Q(a，b)，则b−5a−2×即点Q的坐标为(－4，－1)，设与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为x－y＋c＝0，将Q(－4，－1)代入该式，得－4＋1＋c＝0，故c＝3，所以所求直线方程为x－y＋3＝0.答案：(－4，－1)x－y＋3＝010．点A(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________．解析：直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，由x+2y−1＝0，−x−y+5＝0所以直线过定点P(9，－4)，当AP与直线垂直时，点A(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为d＝5−92当点A在直线上时，点A(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最小值为0，故点A(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是0，答案：0【综合应用题】11．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是()A．y＝x＋1 B．y＝2C．y＝43x D．y＝2x解析：选BC.由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求．对于A，点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离为62对于B，点M(5，0)到直线y＝2的距离为2－0＝2<4，故符合；对于C，点M(5，0)到直线y＝43x的距离为4对于D，点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离为2×12．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是_____________．解析：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1；②若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1；③若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1，l2与l3三线重合，当a＝－1时，l1，l2平行．④若三条直线交于一点，由x+ay+1＝0，x+y+a＝0将l2，l3的交点(－a－1，1)的坐标代入l1的方程，解得a＝1(舍去)，或a＝－2，所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.答案：a≠±1且a≠－213．(1)已知点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值；(2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．解：(1)由题意，得3a−24−232+−42＝4，|3a－26|＝20，解得a(2)设点P(－3b，b)，由题意，得|OP|＝9b点P到直线x＋3y－2＝0的距离为−3b+3b−210所以10b2＝105即点P的坐标为35，−【创新拓展题】14．(2024·南通统考)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经过的路径总长|PQ|＋|QR|＋|RP|＝________．解析：以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，因为△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则lBC：x＋y－2＝0，点P(1，0)，所以点P关于y轴的对称点为P1(－1，0)，设点P关于直线lBC：x＋y－2＝0的对称点为P2(x0，y0)，则y0x0−1＝1且x0+12+y02－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即P2(2，1)，则|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|P2Q|＋|QR答案：1015．已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为___________．解析：设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则由对称的充要条件知y解得x1＝0，y∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝82答案：658．3圆的方程[课标要求]1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．【必备知识】1．圆的定义与方程2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．【必记结论】1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点−D2，−E2；当D22．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.3．圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．【基点诊断】1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”)(1)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x02+y02＋Dx0答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．圆心为点C(8，－3)，且过点A(5，1)的圆的一般方程是______________．解析：圆的半径r＝|CA|＝8−52所以圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25，化为一般式，得x2＋y2－16x＋6y＋48＝0.答案：x2＋y2－16x＋6y＋48＝03．已知圆x2＋y2＋2x－ay－4＝0的半径为3，则实数a的值为________．解析：圆的方程用配方化为标准方程，得(x＋1)2＋y−a22＝5+a24，所以r答案：±44．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．解析：∵原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m<2.答案：−5．已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是_______________．解析：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x＝x0于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3①，因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋y0把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理得x−322＋y−322＝1，这就是点答案：x−322＋y−题型一圆的方程【例1】已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为_____________________.解析：法一(几何法)∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a)．又所求圆被直线x－y＝0相切，∴半径r＝2a又所求圆被直线x－y－3＝0截得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝2a−32∴d2＋622＝r2，即2a−322+32∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二(待定系数法)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝a−b−32∴r2＝a−b−322+32，即2r2＝(a由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2②.又圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0③.联立①②③，解得a＝1，b＝−1，r2＝2，故圆C的方程为(x法三(待定系数法)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为−D2，−E2∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－D2−E2＝0，即又圆C与直线x－y＝0相切，∴−D2+E22＝12D2+E2−4F∴D2＋E2＋2DE－8F＝0②.又知圆心−D2，−E2到直线x－y－3＝0的距离d＝−D2+E∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)③.联立①②③，解得D＝−2，E＝2，F＝0，故圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2思维升华求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径；(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程；②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程．【对点练习】1.(人教A版选择性必修一P84)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．解：解法1：设圆心C的坐标为(a，b)，因为圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，所以a－b＋1＝0①.因为A，B是圆上两点，所以|CA|＝|CB|，根据两点间距离公式，有a−12即a－3b－3＝0②.由①②可得a＝－3，b＝－2，所以圆心C的坐标是(－3，－2)，圆的半径r＝|AC|＝1+32所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.解法2：如图，设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，－2)，可得点D的坐标为32，−12，直线AB因此，线段AB的垂直平分线l′的方程是y＋12＝13x−由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组x−3y−3＝0，解这个方程组，得x＝−3所以圆心C的坐标是(－3，－2)．圆的半径r＝|AC|＝1+32所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.题型二与圆有关的轨迹问题【例2】(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是()A．y2＝4xB．x2＋y2－2x－2y－3＝0C．x2＋y2－2y－3＝0D．y2＝－4x解析：选B.因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1，1)，半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，又AM与圆相切，且|AM|＝2，则|AC|＝MC2设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.(2)已知A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________．解析：设M(x，y)，则|MA|＝x+22因为|MA|＝2|MB|，所以x+22整理可得3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－203x所以点M的轨迹是圆，方程为x2＋y2－203x答案：x2＋y2－203x(3)已知O为坐标原点，点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解：设P(x，y)，N(x0，y0)，∵四边形MONP为平行四边形，则OP＝即(x，y)＝(－3，4)＋(x0，y0)，即x＝−3+x0又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x02+y02＝4，故(x＋3)易知直线OM的方程为y＝－43x联立y＝−解得x＝−95∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点−95，思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法；(1)直接法：直接根据题设条件列方程；(2)定义法：根据圆的定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【对点练习】2.(1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，若动点M满足MAMO＝2A．x2＋(y＋2)2＝22B．x2＋(y－2)2＝22C．x2＋(y＋2)2＝8D．x2＋(y－2)2＝8解析：选D.设M(x，y)，因为MAMO＝2所以x2所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程．(2)(人教A版选择性必修一P89)长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：设线段AB的中点P(x，y)，若A、B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且∠AOB为直角，则OP＝12AB，而AB＝2a∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，方程为x2＋y2＝a2(a＞0)；若A、B有一个是原点，同样满足x2＋y2＝a2(a＞0)．故线段AB的中点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(a＞0)，表示圆心在原点，半径为a的圆．圆的参数方程(人教A版选择性必修一P89习题10)在平面直角坐标系中，如果点P的坐标(x，y)满足x＝a+rcosθ，y＝b+rsinθ，其中θ为参数．证明：点P证明：由x＝a+rcosθ，y＝b+rsinθ可得x−ar＝cosθ，y−br＝sinθ，又因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以x−ar2＋y−br2＝1，即(x－a)结论：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为x＝a+rcos【典例】1.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是()A．1＋322C．1＋32 D．7解析：选C.法一令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－32≤故x－y的最大值是32＋1.法二x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝32cosθ+π∵θ∈[0，2π]，所以θ＋π4∈π4，9π4，则θ＋π4＝2π，即θ＝7法三由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝2−1−k2≤3，解得1－32故x－y的最大值为32＋1.2．(2024·广东广州三模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线l：2x＋y－5＝0，点A，B为圆x2＋y2＝1上两动点，且满足∠AOB＝2π3，则A，B到直线A．25−23 B．2C．25−3 D．2解析：选D.设A(cosθ，sinθ)，B(cosθ+2π3点A到直线l：2x＋y－5＝0的距离dA＝2cos同理可得点B到直线l：2x＋y－5＝0的距离dB＝|2cos所以点A，B到直线l的距离之和为dB＋dA＝2＝1＝1＝15(10−2cosθ−sinθ+＝15[10−1+32cos其中cosφ＝3−125，sin故当sin(θ－φ)＝－1时，此时dA＋dB取最小值1510−5题型三与圆有关的最值问题角度1圆上的点到直线的最值问题【例3】(2024·天津四校联考)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离是()A．36B．82C．18D．62解析：选B.因为圆x2＋y2－4x－4y－10＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圆心坐标为(2，2)，半径r＝32，因为圆心到直线x＋y－14＝0的距离d＝2+2−1412+所以直线x＋y－14＝0与圆(x－2)2＋(y－2)2＝18相离，所以圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为d＋r＝52思维升华设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离．如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝r＋d；如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为AD＝2r；如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为BD＝d－r，最大距离为AD＝r＋d.角度2斜率型、截距型、距离型最值问题【例4】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时2k−0k2+1＝3所以yx的最大值为3，最小值为－3(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2−0+b2＝3，解得b＝－2±所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是2+32＝7＋43，x2＋y2的最小值是2−32＝7－4思维升华与圆有关的最值问题的三种几何转化法角度3用对称性求最值【例5】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，点M，点N分别是圆C1，圆C2上的动点，点P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B．17－1C．6－22D．17解析：选A.由题可知圆心C1(2，3)，圆心C2(3，4)．因为点P是x轴上任意一点，所以|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，所以|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4，作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)(图略)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝52，即PM+PN思维升华求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【对点练习】3.(1)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6] B．[4，8]C．2，32解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝2+0+22所以点P到直线的距离d1∈2，根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝12AB·d1＝2d因为d1∈2，32，所以S(2)已知动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，则|PO|的最大值是________．解析：如图，方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可以转化为x−122＋y−122＝12，所以动点P(x，y)的轨迹为原点和四段圆弧．由于对称性，仅考虑圆弧x−122＋y−122＝12(x≥0，答案：2(3)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·解析：由题意，得PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6答案：12[课下巩固精练卷(六十五)]圆的方程__________________________________________________________________【基础巩固题】1．(2024·吉林长春三模)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三个点的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1解析：选C.设经过A，B，C三个点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意可得1+1+D+E+F＝0，1+1−D+E+F＝0，0+4+2E+F＝0，解得D＝0，E＝−2，F＝0所以经过A，B，C三个点的圆的方程为x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1.2．(2024·北京三模)已知A(－1，0)，B(1，0)，若点P满足PA⊥PB，则点P到直线l：mx−3＋n(yA．1B．2C．3D．4解析：选C.由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直径的圆，圆心为(0，0)，半径为1，又直线l：mx−3＋n(y－1)＝0，其过定点3，13．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x＋4)2＋(y－2)2＝4解析：选A.设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则x＝x1+42，y＝y1−22，可得x1＝2x−4，y1＝2y+2，代入x2＋y4．(2024·河北沧州二模)若点A(2，1)在圆x2＋y2－2mx－2y＋5＝0(m为常数)外，则实数m的取值范围为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)解析：选C.由题意知22＋12－4m－2＋5>0，故m<2，又由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可得D2＋E2－4F>0，即(－2m)2＋(－2)2－4×5>0，即m<－2或m>2，所以实数m的取值范围为m<－2.5．(2024·北京延庆一模)在等边△ABC中，AB＝2，P为△ABC所在平面内的动点，且PA＝1，Q为边BC上的动点，则线段PQ长度的最大值是()A．3－1B．3＋1C．3＋2D．3解析：选D.根据题意可知，点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，如图，Q为边BC上的动点，线段PQ取最大值时，|PQ|＝|AQ|＋|AP|＝|AQ|＋1，而当Q与点C重合时，|AQ|最大，且最大值为2，此时线段PQ长度的最大值为2＋1＝3.6．若点M(x，y)是圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9上的一点，则x2＋2x＋y2＋4y的最小值为()A．8 B．3C．－1 D．－3解析：选C.x2＋2x＋y2＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5，只需求圆C上的点到定点(－1，－2)的最小距离即可，又圆心(3，1)到(－1，－2)的距离d＝42+32＝5，而圆∴d－r＝2≤x+12+y+22≤故原式的最小值为(d－r)2－5＝22－5＝－1.7．(多选)圆M与y轴相切，且经过A(1，0)，B(2，1)两点，则圆M可能是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝4B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25C．(x－1)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9解析：选BC.设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|.又点A(1，0)，B(2，1)在圆上，所以有|MA|＝|MB|，即a−12整理可得a＋b＝2.又|MA|＝r＝a，即a−12整理可得b2－2a＋1＝0.联立a+b＝2，b2−2a+1＝0所以圆心坐标为(1，1)或(5，－3)．当圆心坐标为(1，1)时，r＝1，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25.综上所述，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.8．(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是()A．yx的最大值为B．yxC．x2＋y2的最大值为5＋1D．x＋y的最大值为3＋2解析：选ABD.由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图象，如图所示．因为yx表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx则2k−1k2+1＝1，解得k＝0或k∴yx∈0，43，∴yxx2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，所以x2＋y2最大值为(|OC|＋1)2，又|OC|＝22+12＝5，所以x2因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可设x＝2＋cosθ，y＝1＋sinθ，所以x＋y＝2＋cosθ＋1＋sinθ＝3＋2sinθ+π所以当θ＝π4，即x＝2＋22，y＝1+22时，9．写出一个过原