2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（人教版）-课下巩固精练卷(八十五)

课下巩固精练卷(八十五)离散型随机变量及其分布列、数字特征【基础巩固题】1．已知离散型随机变量X的分布列为X123P3a1则X的均值E(X)等于()A．32C．52解析：选A.由题意得35+a+110＝1，解得a＝310，故E(2．已知随机变量X的分布列为X123P111且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a等于()A．－3 B．－2C．53 解析：选A.E(X)＝1×12+2×13+3×16＝53.∵Y＝aX＋3，∴E3．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：甲产业收益分布列收益X/亿元－102概率0.10.30.6乙产业收益分布列收益Y/亿元012概率0.30.40.3则下列说法正确的是()A．甲产业收益的期望大，风险高B．甲产业收益的期望小，风险小C．乙产业收益的期望大，风险小D．乙产业收益的期望小，风险高解析：选A.由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高．4．随机变量X的取值范围为{0，1，2}，若P(X＝0)＝14，E(X)＝1，则D(XA．14B．C．12D．解析：选C.设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由题意得E(X)＝0×14＋p＋2q且14＋p＋q＝1，解得p＝1所以D(X)＝14×(0－1)2＋12×(1－1)2＋14×(2－1)25．(2024·绵阳诊断)若离散型随机变量X的分布列如下，E(X)＝0，D(X)＝1，则P(X<1)＝()X-1012Pabc1A．12B．C．34D．解析：选D.由题意知，a＋b＋c＋112由E(X)＝0，即E(X)＝－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，得－a＋c＋1由D(X)＝1，即D(X)＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112得a＋c＋13联立①②③解得a＝512所以P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝a＋b＝236．(2024·桂林模拟)设0<a<1.随机变量X的分布列为X0a1P111当a在(0，1)上增大时，则()A．E(X)不变B．E(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大解析：选D.E(X)＝0×13+a×13+1×D(X)＝a+132×13+a−a+132×13＋1−a+132×13＝127[(a＋1)∴当a在(0，1)上增大时，D(X)先减小后增大．7．(多选)已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表：X1234P1mn1则下列正确的是()A．E(X)＝12B．E(X)＝9C．m＝13 D．n＝解析：选BCD.根据分布列可知m＋n＝1－14因为Y＝12X＋7，所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，解得E(X)＝94又由分布列可得E(X)＝1×14整理得2m＋3n＝53联立①②解得m＝138．(多选)(2024·潍坊段考)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则()A．X的所有可能取值是3，4，5B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率为1D．X的数学期望是6解析：选AC.记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是1A2B，2A1B，3A，A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正确；P(X＝3)＝C51C22C73＝17，P(XE(X)＝3×179．(人教A版选择性必修三P91)已知随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)＝10，则n的值为________．解析：因为随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，所以P(X＝i)＝1n(i＝1，2，…，n所以E(X)＝1×1n+2×1n+…+n所以n+12＝10，解得n答案：1910．(2024·江苏南京高三期中)某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向M，N两个目标投掷，先向目标M掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标N连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标M的概率为34，套中目标N的概率为23，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为(1)求小明恰好套中2次的概率；(2)求X的分布列及数学期望．解：(1)记“小明恰好套中2次”为事件A，分3种情况：第一次、第二次套中，第一次、第三次套中，第二次、第三次套中，则P(A)＝34故小明恰好套中2次的概率为49(2)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，P(X＝0)＝14P(X＝1)＝34P(X＝2)＝14P(X＝3)＝34P(X＝4)＝14P(X＝5)＝34所以X的分布列为所以E(X)＝0×136【综合应用题】11．(多选)(2024·哈尔滨质检)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，E(X)，D(X)分别为随机变量XA．P(X＝1)＝E(X)B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4D．D(X)＝4解析：选AB.随机变量X服从两点分布，由P(X＝0)＝13，得P(X＝1)＝2E(X)＝0×13D(X)＝0−2在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×23在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×29在D中，D(X)＝2912．(多选)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N*)的非负整数，它的分布列为X0123…nPp0p1p2p3…pn定义由X生成的函数f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，g(x)为函数f(x)的导函数，E(X)为随机变量X的均值．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4四个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为f1(x)，则()A．E(X)＝g(2)B．f1(2)＝15C．E(X)＝g(1)D．f1(2)＝225解析：选CD.因为f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，则g(x)＝f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2＋…＋ipixi-1＋…＋npnxn-1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，当x＝1时，E(X)＝g(1)，故A错误，C正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为X2345678P1234321f1(x)＝116x2+21613．(北师大版选择性必修一P206)已知某离散型随机变量ξ的均值Eξ＝76，ξξ0123Pa11b则a＝________，b＝________．解析：由Eξ＝76，可得0·a＋1×13+2×16+3×b＝76，即23+3b＝答案：114．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则白球的个数为________；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(解析：设白球的个数为y，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则Cy2+Cy1C10−y1C102＝79，化简得y2－19y＋70＝0，解得y＝5或y＝14(舍)，由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C53C103ξ0123P1551所以E(ξ)＝512答案：5315．(2024·汕头模拟)某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验________次．(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983)解析：设一组中每个人需要化验的次数为X，若混合血样呈阴性，则X＝15若混合血样呈阳性，则X＝65因此PX＝15＝0.955，PX＝65＝1－0.955，则E(X)＝15×[0.955＋6×(1－0.955)]≈所以平均每个人需要化验0.4262次．答案：0.426216．(2024·泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设员工所获得的奖励金额为X，①P(X＝1000)＝C3∴员工所获得的奖励金额为1000元的概率为12②X所有可能的取值为400，1000，P(X＝400)＝C3∴X的分布列为X4001000P11∴员工所获得的奖励金额的均值为E(X)＝400×12＋1000×1(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，∴先寻找均值为1000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200，200，200，800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1000元，如果选择(800，800，800，200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，∴可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400，1000，1600，P(X1＝400)＝C2P(X1＝1000)＝C2P(X1＝1600)＝C2∴E(X1)＝400×16＋1000×23＋1600×D(X1)＝(400－1000)2×16＋