专题07三角形的初步认识章末易错压轴题型17易错10压轴2025年新八年级数学讲义浙教版2024

角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有()（3）△AEF中，顶点A所对的边是，边AF所对的顶点是；3．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE．(1)图中共有多少个以线段AB为边的三角形？用符号表示这些三角形．(2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示7．如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是()(2)若第三边的长是偶数，则c的值为___________．AB上的一动点，则线段CP的最小值()则点C到直线AB的距离是()13．如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为()15．如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD,AC边上的高为BG，已知AF=6，(1)求△ABC的面积所以ADⅡ________（依据：________所以，三角形的内角和等于180°18．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分ÐADE，交ÐACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，上ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．(3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出ÐA的度数．知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中为真命题的有()③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为()匀速运动，若△ABP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为()3C．5cms或cmsD．5cms2上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．BB¢(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得31．如图，B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD，AC=AE，BC=DE，若等，则t的值是()34．如图，点C为ÐAOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，连接OC，若ÐAOC=23°,则ÐBOC的度数为()A．40°B．30°C．25°D．23°36．已知：如图，在四边形ABCD中，BC=CD，过点C作CETAB于E，CF丄AD于F且DF=BE．(1)求证：AC平分7DAB；(2)若AB=8cm，DF=2cm，求AD的长．37．如图，点O是△ABC内一点，BO平分7ABC，OD丄BC于点D，连接OA，若OD=4，AB=20，则△AOB的面积是()A．20B．30C．4038．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分7ABC，交CD于点DE丄AB交AB于点E,DF丄AC交AC于点F．AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是()图痕迹推断ÐBOC的度数为．(1)请用无刻度的直尺和圆规作ÐABC的平分线BD，交AC于点D，作线段BD的垂直平分△ABC的()44．在△ABC中，AB=AC,O是平面内一点且OB=OC．若点A到BC的距离为8，点O到交AC于点F，且AD平分ÐBAC，连接EF．证明：AD垂直平分EF．的周长为32，则△ABC的周长是()47．如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是M，48．如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于点E．(1)当AE=13cm时，BE=___________；(2)当△BEC的周长为26cm时，BC的长度是___________；）；511）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图作PC的垂直平分线EF，交AC于E，交BC于F（保留作图痕迹，不写作法）53．在△ABC中，上BAC=50°,点D是边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使点C55．如图，四边形BDEF面积为11cm2，DE=2AE，BF=3AF，则△ABC的面积等于A．36cm2B．40cm2C．44cm2D．48cm2为28，则△ABC的面积为()57．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，BC=3BD，连接AD，点E是AD上一点，AE:ED=2:3，连接CE，点F是CE上一点，连接BF交AD于点G，若S△BGD-S△一动点E从A点出发，以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点EA、B、C组成的三角形全等．从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为2cm/s，设时间为ts．(2)如图①,当t=______s时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q中的运动速度．内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．A．SSSB．SASC．AASD．HL.________与AD的数量关系，并说明理由．提示：EF=2AD．延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS（AE=CM，EF=2AD．【初步探索】小聪：延长BD至E，使DE=BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．小明：过点C作CEⅡAB，交BD的延长线于点E．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE【灵活运用】（2）如图2，在△ABC中，点D是AC的上ABM=上NBC=90°,连接MN，试判断BD与MN的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】①求证：AF丄CD；@若AE=12，DE=8，则五边形ABCDE的面积为_AC=8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．点E，使DE=AD，连接BE．根据SC【问题拓展】（3）如图3，点D是BC边上的一点，连接AD，过点A分别向外作AE丄AB、AF丄AC，使得AE=AB，AF=AC，若AD丄EF，求证：EF=2AD且AD为△ABC的中CF，延长BE交CF于点D．则上BDC=°;(90°<a<180°)，连接BE，CF，延长BE，FC交于交于点D，连接CE，连接AD并延长交C(2)大胆猜想：如图2，在（1）的条件角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，DC，BC，AM之间的数量关系并说明理由；(2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接AE交DC于点H，连接BD交AE于点F，试说明AE丄BD；旋转，同时线段AD绕点D以每秒20°的速度顺时针旋转180°后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当AD回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当BD和AD互相平行时，请直接写出此时t的值．(2)将△ABC和△ADE绕点A向相反方向旋转，如图2，BD与CE交于点O，BD与AC交于①若上BAC=70°,求ÐBOC的度数；②连接AO，求证：OA平分上BOE；交边AC、BC于M、N．(3)如图3，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）上B=上ADC=90°,点E，F分别是BC，CD上的点，且上EAF=60°,连接EF，探究线段(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出上的点，且上上BAD，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的上EAF=45°,AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得EF=BE+FD．EF=BE+DF．上EAF=60°,AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理 BC、CD上的点，且上EAF=60°,试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的BC，CD上的点，且上上BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2=2024，F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；(3)如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为作DE丄AC于点E．求证：AC=DE，BC=AE．图1且BC丄AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点．上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，(1)为了证明结论“AB+BD=AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，解答了①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在DC上截取DE=BD，连接AE，从而@如图3，小亮从结论出发，作AC的垂直平分线交DC于点E，连接AE，从而解决问题．【迁移应用】【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，上CAD=上CBD=90°,组成一个四边形ACBD，以D为顶点作上MDN，交边AC、BC于M、N．题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE=AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论．(1)如图1，当点D在△ABC的外部时，过点D作DE丄AB于E，作DF(2)如图2，当点D在线段BC上时，若上C=90°,BE平分ÐABC，交与点F，过点F作FG丄BE，交BC于点G．离相等，则点D到直线l的距离是______．80．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE丄BC交ÐBAC的平分线于点E，EF丄AB交AB于点F，EG丄AC交AC的延长线于点G．(1)连接BE、CE，求证：BF=CG；(4)在（2）的条件下，若AE与BC@已知△ABC中，如图，上BAC=135°,AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析），④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角:上述说法中正确的有2个.2．4△ABC,△EBG,△AEF,△CGFB、G，EBE,EG,BG上B,上BEG,上BGEEF##FEEACBAEFAB##BA【详解】解1）图中共有4个三角形，分别是：△ABC,△EBG,△AEF,△CGF，故答案为：4，△ABC,△EBG,△AEF,△CGF；（2）△BGE的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是BE,EG,BG，三个角分别是（3）△AEF中，顶点A所对的边是EF，边AF所对的顶点是E；故答案为：EF，E；（4）ÐACB是△ACB的内角，上BEF是△AEF的外角，ÐACB的对边是AB；故答案为：ACB，AEF，AB．解得：a=20°,:△ABC钝角三角形，(2)△ABC按边分类，属于等腰三角形；△ABC按角分类，属于直角三角形x+x+2x=180°,:AC=BC，:△ABC按边分类是等腰三角形；:△ABC按角分类是直角三角形．任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边【详解】解：由题意，得：7-2<第三边<7+2，:5cm<第三边<9cm；【详解】解：∵a2+b2-8a-4b+20=0，:(a2-8a+16)+(b2-4b+4:(a-4)2+(b-2)2=0，∵(a-4)2≥02≥0:(a-4)2=(b-2)2=0，:a-4=0，b-2=0，故答案为：2<c<6．:在直角三角形中，由面积公式得【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的合S△从而可得答案.:点C到直线AB的距离是．【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出S△再根据S△ABP=S△ADP+S△BDP，得出S△:BC=6，据AE是中线即可求解．:BC=6，根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出S△ABE=S△△ABC，得出S△ABF=S四边形CEFD，再由中线的性质得出∵S△ABF=S△ABE-S△BEF，S四边形CEFD=S△BCD-S△BEF，:S△ABF=S四边形CEFD，连接CF并延长交AB于点K，如图所示：:CK为中线，:S△AKF=S△BKF,S△ADF=S△CDF,S△BEF=S△CEF，:S△BKF=S△CDF，同理得：S△BEF=S△ADF，:S△AKF=S△BKF=S△ADF=S△CDF=S△BEF=S△CEF，:S△AKF=S△BKF=S△ADF=S△CDF=S△B:四边形CDFE的面积为S△CDF+S△CEF=12，:AC=24．所以ADⅡBC（依据：内错角相等，两直线平行为180°,从而求出这个外角与它相邻的内角的度数．根据这个外角还等于与它不相邻的一【详解】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，:可设这一内角为x°,则与它相邻的外角为5x°,:x°+5x°=180°,:5x°=150°,:与它不相邻的一个内角为：150°÷3=50°,【点睛】本题考查的是三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握：∵DP平分ÐADE，故答案为：110，20；∵DP平分ÐADE，CP平分ÐACB，解得：a=60°,【分析】逐一判断各命题的真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②无理数是无限不循环小数，必为无限小数；③同一平面内，过一点有且仅命题②：无理数的定义为无限不循环小数，而无限不循环小数必为无命题③：在同一平面内，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直，【详解】解：把命题“三角形的内角和等于180°”改写成“如果…那么…”的形式：如果三个故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和:EFⅡGH（内错角相等，两直线平行）角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判【详解】解：∵△ABC≌△CDA，:AB与CD是对应边，故①错误；24．(1)其他对应边：AB和CD，DE和BF；对应角：ÐB和ÐD，上AFB和上CED；（2）根据全等三角形的性质可得：DE=BF，结合等量代换即可求解【详解】（1）解：其他对应边：AB和CD，DE和BF；对应角：ÐB和ÐD，上AFB和（2）:△ABF≌△CDE，:DE=BF，:DE-FE=BF-FE，即DF=BE:DF+BE+FE=BD，:2BE=BD-FE=5，:BE=2.5【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为:CP=(15-5t)cm，:△BAP≌△CQP或△BAP≌△CPQ，综上所述，点Q运动速度为5cms或cms．3（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长；故答案为：①4t，②at；l4tl4t,【分析】根据题意，对选项一一分析，选择正确答案．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【详解】解：:AE=CF，:AE+EF=CF+EF:AF=CE:DFⅡBE:若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，:△ABC≌△DEF（SSS:在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，（2）证明：:△ABC≌△DEF．:AB∥DE．:△ABC≌△ADE(SSS)，【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADC≌△BDF是解题的关键．:△ADC≌△BDF，故答案为：7cm；:BE丄AC．【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点C到AO的距离与点C到OB的距离【详解】解：∵点C为7AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，:点D是△ABC的角平分线的交点，:Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，:CE=CF，:AC平分ÐBAD；且CE=CF，AC=AC，:Rt△ACE≌Rt△ACF，:AE=AF，:AE=AF=8-2=6cm，:AD=AF-DF=6-2=4cm性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．:ED丄AB，∵BE平分ÐABC，:EF=DE=2，即点E到BC的距离EF为2．【分析】本题主要考查角平分线性质，熟练掌握（1）根据AD平分ÐBAC得出上BAC=84°,再由三角形内角和即可得出结果．（2）:点D是ÐBAC的平分线上一点，且DE丄AB于点E,DF丄AC于点F，:DF=DE=3，解得AC=9．【详解】解：作DE丄AB交AB于点E，:DC丄AC，QDETAB，:DE=CD=4，【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明上上ABC，【详解】解：由作法得BO平分7ABC，CO平分7ACB，∵EF垂直平分BD，:△BOE≌△BOF(ASA)．凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线:凳子应该放在三边垂直平分线的交点上；在BC的垂直平分线上，然后分类讨论：当点O在△ABC的内部时，:点O在BC的垂直平分线上，QAB=AC，:点A在BC的垂直平分线上，:AO所在直线是BC的垂直平分线，如图，D为直线OA与BC的交点，证明△AED≌△AFD，可得AE=AF，DE=DF，从而得到点A和点D在EF的垂直平分线上，【详解】证明：∵DETAB，DFTAC，∵AD平分7BAC，在△AED和△AFD中，:△AED≌△AFD(AAS)，:AE=AF，DE=DF，:点A和点D在EF的垂直平分线上，:AD垂直平分EF．关键．由垂直平分线可得BE=CE，再结合△ACE的周长得到AB+AC=32，即可求出【详解】解：△ABC中，BC=20，直线DE垂直平分BC，:BE=CE，:AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，:△ABC的周长是AB+AC+BC=32+20=52，离相等，可得DA=DB，EA=EC，通过等量代换即可求解．【详解】解：QMD垂直平分AB，NE垂直平分AC，:DA=DB，EA=EC，:△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+CE+DE=BC=10，(2)10cm（2）由（1）得AE=BE，结合△BEC的周长求出AC+BC=26cm，即可得出答案；:AE=BE，:BE=13cm．（2）解：由（1）得，AE=BE，:△BEC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26cm，:BC=26-16=10cm．（3）解：由（2）得，△BCE的周长=AC+BC，:△BCE的周长=16+15=31cm，:△BCE的周长是31cm．【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法，准确画出图形是以O为圆心，OC为半径画弧，以A为圆心，AC为半径画弧交前弧于点D，连接CD则OA②以A为圆心，AC为半径画弧交前弧于点D，③连接CD则OA垂直平分线段CD，如图所示，:点O在CD的垂直平分线上，:点A在CD的垂直平分线上，:OA垂直平分线段CD．（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段AB的垂直平分线511）图见解析【详解】解1）如图所示：故答案为：8．【分析】首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210°,再利用折叠性质可得∠MD'B=∠D，∠NC'A=∠C，即∠MD'B+∠NC'A=210°,从而得出∠MD'A+∠NC'B=150°,最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.:匕MD'B+解题关键.53．20°或40°或90°或110°综上所述，ÐACB的度数为20°或40°或90°或110°;故答案为：20°或40°或90°或110°.故答案为：80°.【分析】连接DF，设S△AEF=x，S△AEC=y，根据已知得出3x+y=11①,进而得出设S△AEF=x，S△AEC=y:DE=2AE:BF=3AF，【分析】连接CG、BF，过点F作FM丄AB于点M，设S△AFG=a，根据同高的三角形的SΔACG【详解】解：连接CG、BF，过点F作FM丄AB于点M，:S△AFG=S△FGB=a，:S△AFB=2a，同理可得：S△BCF=4S△AFB，:S△BCF=8a，:BC=3EC，QG是AB的中点，:BC=3BD，四边形DEFG△△:S=S-S-S-S=10aa--四边形DEFG△△:a=6，【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的S△△DEF=S△CDE-S△设S△EFG=x，则S△BGD=2+x，可得S△BEG=2-x，【详解】解：∵S△ABC=20，BC=3BD，:CD=2BD，△ACD=如图，连接BE，DF，∵S△BGD-S△EFG=2，:S△BED-S△BEF=2，:S△BEF=2，:S△BCF=S△BCE-S△BEF=12-2=10，:CD=2BD，设S△EFG=x，则S△BGD=2+x，:S△BGE.S△FGD=S△BGD.S△EFG，解得：x=，:四边形FGDC的面积是：S△CDE-S△【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点Q的运动速度是xcm/s，则有AP=tcm,BP=(6-t)cm,BQ=xtcm，分两种情况：当AP=BP,AC=BQ时，当AP=BQ，【详解】解：设点Q的运动速度是xcm/s，则有AP=tcm,BP=(6-t)cm,BQ=xtcm，:△ACP与△BPQ全等有两种情况：t=6-t，tx=4，解得：t=3，x=，即点Q的运动速度是cm/s；当AP=BQ,AC=BP时，t=tx,6-t=4，解得：t=2,x=1，即点Q的运动速度是lcm/s；59．0或2或6或8【分析】本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思分四种情况讨论：①当E在线段AB上，AC=BE时；②当E在BN上，AC=BE时；③当E在线段AB上，AB=EB时；④当E在BN上，AB=EB时；分别画出图形解答即可．①当E在线段AB上，AC=BE时，则△ACB≌△BED，:BE=4，:AE=8-4=4，:点E的运动时间为4÷2=2（秒)；②当E在BN上，AC=BE时，则△ACB≌△BED，:BE=4，:AE=8+4=12，:点E的运动时间为12÷2=6（秒)；③当E在线段AB上，AB=EB时，这时E在A点未动，因此运动时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，:点E的运动时间为16÷2=8（秒)；综上，当点E运动0或2或6或8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的故答案为：0或2或6或8．(3)Q运动的速度为cm/s或cm/s或cm/s或cm/s（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点P、Q所走的路程，进:点P速度为2cms，故答案为：4；:△APC的面积等于△ABC面积的一半，①当点P在BC上时，:CP=2t-8，②当点P在AB上时，:AP=24-2t，（3）设点Q的运动速度为xcm/s，①当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DEF时，:x=5÷(4÷2)=；②当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DFE时，:x=4÷(5÷2)=；③当点P在AB上，点Q在AC上，△AQP≌△DEF时，:点P的路程为6+8+10-5=19cm，点Q的路程为6+8+10-4=20cm，④当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DEF时:Q运动的速度为cm/s或cm/s或cm/s或cm/s611）B2）C3）EF=2AD，理由见解析（2）延长AD到M，使DM=AD，连接BM，得出AM=2AD，由（1）得（3）延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由（1）得△ADC≌△MDB，得上ABM=上EAF，利用SAS证明△ABM≌△EAF，得出AM=EF，结合DM=AD，进一步推出EF=2AD即可．【详解】解1）QAD是BC边上的中线，:BD=CD，:△ADC≌△MDB(SAS)，:由已知和作图能得到△ADC≌△MDB的理由是SAS，（2）如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM，:AM=2AD，:BM=AC=6，在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM，:8-6<AM<8+6，:2<2AD<14，（3）EF=2AD，理由如下：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，:BM=AC，上ACD=上MBD，:ACⅡBM，QAF=AC，:BM=AF，:上BAC+上EAF=180°,:上ABM=上EAF，在△ABM和△EAF中，:△ABM≌△EAF(SAS)，:AM=EF，QDM=AD，:AM=2AD，:EF=2AD．三边关系、平行线的判定与性质，灵活运用知识点推621）SAS，2<BD<102）MN=2BD，理由见解析3）①证明见解析；②168（2）延长BD至E，使DE=BD，连接CE，如图所示，由（1）得：△ABD≌△CED，△BCE≌△NBM得出BE=MN,上EBC=上MNB，则2BD=MN；延长DB交MN于G，证（3）①延长AF，BC交于点G，证明△AEF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到:BD是AC边上的中线，AB=12,BC=8，在△ABD和△CED中，:△ABD≌△CED(SAS)，在△CBE中，由三角形三边关系可得CE-BC<BE<:2<BD<10，（2）解：2BD=MN，BD丄MN，延长BD至E，使DE=BD，连接CE，如图所示：:上ABD=上E,AB=CE，D:上BCE=上MBN，QAB=MB,BC=BN，:CE=BM，:△BCE≌△NBM(SAS)，:BE=NM,上EBC=上MNB，:2BD=MN；延长DB交MN于G，如图所示：:上BGN=90°,即BD丄MN；（3）①证明：延长AF，BC交于点G，如图所示：Q△ABC≌△ADE，在△AEF和△GBF中，:△AEF≌△GBF(AAS)，:AE=BG，:BG=AC，在△ABG和△DAC中，:△ABG≌△DAC(SAS):AF丄CD；:S△ACD=72，Q△ABC≌△ADE，:S△ABC=S△ADE，:五边形ABCDE的面积=S△ABC+S△ACD+S△ADE△ACD+2S△ADE【点睛】本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与倍长中线，构造三角形全等，掌握全等三角形的判定[方法探究]（1）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE[问题解决]（2）根据题意可得点D是BC中点，如图所示，延长AE到点M，使得[问题拓展]（3）如图所示，延长DA交EF于点P，延长AD到点N，使得AD=ND，过点B作BS丄AN于点S，过点C作CR丄AN于点R，可证Rt△ABS≌Rt△EAP(AAS)，∵点D是BC的中点，:△ADC≌△EDB(SAS)，:BA=BD，:CD=DB=AB，即点D是B如图所示，延长AE到点M，使得AE=EM，:BE=DE，:△ABE≌△MDE(SAS)，:CD=MD，:△ADC≌△ADM(SAS)，:AC=AM，:AC=2AE；[问题拓展]（3）如图所示，延长DA交EF于点P，延长AD到点N，使得AD=ND，过点B作BS丄AN于点S，过点C作CR丄AN于点R，∵AE丄AB，AF丄AC，AP丄EF，点N,S,D,R,A,P共线，又∵AE=AB,AF=AC，:Rt△ABS≌Rt△EAP(AAS)，Rt△ACR≌Rt△FAP(AAS)，:BS=AP，AS=EP，CR=AP，AR=FP，:BS=CR=AP又:上BDS=上CDR，BS=CR，:Rt△BDS≌Rt△CDR(AAS)，ìAD=NDìAD=ND:AE=CN，在△ACN和△AFE中，ïï:△ACN≌△AFE(AAS)，:AN=EF，:EF=2AD．【分析】本题考查了三角形有关的内容，利过点A作AM丄BE,AN丄CF，由△BAM≌△CAN，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得AM=AN，由角平分线的判定定理，知点A在上BDF的角平分:△BAE≌△CAF(SAS)，:△BAE≌△CAF(SAS):BE=CF在四边形ABDC中，:上BDC+上BAC=180°,:上BDC=180°-a．如图3，过点A作AM丄BE,AN丄CF．设AE与CF交于O，:△BAE≌△CAF(SAS):BE=CF，ÐAEB=ÐAFC．:上BDO=90°,:AN=AM．:DA平分上BDF．（2）过A作AE丄OC于E，过B作BF丄OD交DO延长线于点F，根据余角的性质得到有OG=GH，又S△BCO=OC.BH=18，即，求出OC，再根据线段和差得出:AD=BC；:AE=BF，:S△AOC=S△BOD；（3）解：过B作BH丄OG交OG的延长线于H，:AC=OH，OC=BH，ïï:OG=GH，:S△BCO=OC.BH=18，即OC2=18，:CG=8，（3）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作AM丄AC，使AM=AC，连接BM、CM，理求BM即可；:AB=AD，AC=AE，ïï设BE与CD交于点O，AC与BE交于点F，:△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，:AB=AD，AC=AE，:DE=BC，:EC=2ME，:EM=AM，:EC=2AM，（3）如图，作AM丄AC，使AM=AC，连接BM、CM，则△AC:BM=CD，:△ACM是等腰直角三角形，:ÐBCM=90°,在Rt△BCM中，BC=40，故答案为：50．ïï:△ACE≌△BCD，:AE=BD；ïï:△ACE≌△BCD，如图，设AC与BD交于点M，即75°-20°t=10°t，综上所述，t的值为2.5s、8.5s或10.5s．(2)①70°；@见解析；③上AEG+@过点A作AM丄BD于点M，AN丄CE于点N，根据△BAD≌△CAE，得出ïï:BD=CE；@证明：过点A作AM丄BD于点M，AN丄CE于点N，如图所示：:S△ABD=S△ACE，BD=CE，:AM=AN，\OA平分上BOE；ïï:△ADO≌△AEG(SAS)，QAG∥BD，:上BOA=上BOC，:AO=CO，:OF垂直平分AC，:AD=CD，(3)BN-AM=MN，证明见解析证明：延长CB到E，使BE=AM，在△DAM和△DBE中ïìAM=BEï:△DAM≌△DBE，在△MDN和△EDN中ïï:△MDN≌△EDN，:MN=NE，:AM+BN=MN；（2）AM+BN=MN，证明：延长CB到E，使BE=AM，连接DE，在△MDN和△EDN中ïï:△MDN≌△EDN，:MN=NE，:AM+BN=MN；（3）BN-AM=MN，证明：在CB截取BE=AM，连接DE，在△DAM和△DBE中ìAM=BEìAM=BE:△DAM≌△DBE，在△MDN和△EDN中:△MDN≌△EDN，:MN=NE，:NE=BN-BE=BN-AM，:BN-AM=MN．(3)EF=BE-FD，证明见解析（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF，由全等三角形的性质（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，:△ABE≌△ADG(SAS)．又∵AF=AF，:△AGF≌△AEF(SAS)．:FG=EF．:EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；（2）解1）中的结论EF=BE+FD仍然成证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．在△ABM与△ADF中，:△ABM≌△ADF(SAS)．:EF=ME，即EF=BE+BM，:EF=BE+DF；（3）解：结论：EF=BE-FD．证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．在△ABG与△ADF中，:EG=EF，:EF=BE-FD．证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，:M、B、E三点共线，:△MAE≌△FAE(SAS)，:ME=EF，:EF=ME=MB+BE=DF+BE．:△ABE≌△ADG(SAS)，:上EAF=上GAF，在△AEF和△GAF中，:△AEF≌△AGF(SAS)，:EF=FG，:EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．:上EAF=上GAF，在△AEF和△GAF中，:△AEF≌△AGF(SAS)，:EF=FG，:EF=BE+DF；:△AEB≌△CGB(SAS)，:BE=BG，上ABE=上CBG．:上CBF+上CBG=45。．:上EBF=上GBF在△EBF与△GBF中，:△EBF≌△GBF(SAS)，:EF=GF，:△DEF的周长=EF+ED+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=573．(1)DE，AE，CE（2）过D作DM丄AF于M，过E作EN丄AF于N，利用“K字模型”的结论可得△ABF≌△DAM，故可推出AF=DM，同理可得AF=EN，再证△DMG≌△ENG即可证明利用“K字模型”的结论可得△ADM≌△DCP(AAS)，△DFN≌△EDP(AAS)，进一步可证△AMQ≌△FNQ(AAS)，再求解即可．:△ABC≌△DAE(AAS):AC=DE，BC=AE，:BC+DE=AE+AC=CE，（2）证明：如图2，过D作DM丄AF于M，过E作EN丄AF于N，由“K字”模型得：△ABF≌△DAM(AAS)，:AF=DM，同理：AF=EN，:EN=DM，:△DMG≌△ENG(AAS)，:DG=EG，:点G是DE的中点；于N，由“K字”模型得：△ADM≌△DCP(AAS)，△DFN≌△EDP(AAS)，:S△ADM=S△DCP，S△DFN=S△EDP，得△AMQ≌△FNQ(AAS)，:S=S△AMQ△FNQ，:S+S+S△△△ADQFNQDFN△△△ADQAMQDFN△ADM+S△DFN即S1=S2，QS12:S1的值为1012．（2）作DM丄AF,EN丄AF，利用“K字模型”的结论可得△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN，故可推出DM=EN，再证△DMG≌△ENG即可；:AC=DE故答案为：DE；:AF=DM,AF=EN:DM=EN:△DMG≌△ENG:GM=GN即：点G是DE的中点∵四边形ABCD和四边形DEGF均为正方形:S△ADM=S△DCP,S△DFN=S△EDP:△AMQ≌△FNQ:S△AMQ=S△FNQ即：S1=S2751）见解析2）503）见解析:上CBA=上DAE，ïï:△ABC≌△DAE(AAS)，:AC=DE，BC=AE；:PH=PA+AG+GC+CH=16，:图中实线所围成的图形的面积=梯形EPHD的面积-S△EPA-S△ABG-S△BGC-S△CHD故答案为：50．（3）作DM丄AF于点M，EN丄AF于点N，:AF=DM，:EN=DM，:△DMG≌△ENG(AAS)，:DG=EG，即点G是DE的中点．（2）在AE上截取AF=AD，连接CF，由三角形内角和定理可得上DAC=30°,证明【详解】（1）证明：在AC上截取AE，使得AE=ABQAD平分ÐBAC，:DE=CE，:BD=EC，:AB+BD=AC；（2）解：在AE上截取AF=AD，连接CF，:△DAC≌△FAC(SAS)，:上