专题07与有理数有关的四大创新题型40题举一反三数学湘教版2024七年级上学期

1．计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字0-0123456789ABCDEF0123456789二进制数(1101)2转化为十进制数为()采用七进制（如2513=2×73+5×72+1×71+3用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．制，几进制的基数就是几，以此类推，M(M≠10)进制就是逢M进一．为与十进制进行区分，我们常把用M进制表示的数a写成(a)M．M进制的数转化为十进制的数的方法是：若M进制表示的数为(1111)M，则转换为十进制数的过程为×M3+1×M2+1×M1+1×M0（规定当M≠0时，M0=1根据你所学知识与学【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进【解决问题】(1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期n进制数，只需将十进制数除以n取余数，再倒序排列，例如：将十进制数231转换成七进【材料2】n进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满n进一，数位称呼仍把@在八进制中计算(435)8×2；则称x和y是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为m，个位数字为n的“同位数”x和y满足(x)9÷(10)9+(y)8÷(10)8=(203)4-(3013)4÷(1020)4×n，若存在，求出m和 @把十进制数29转换为二进制数．查阅资料一和，可得式子：3925=3×103+9×102+2×101+5×a0=1可见，一个数可以表示成各数位上根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为2若aÄb=a*b，则称有理数a，b为“隔一数对”．2n个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1,2,4,8,…为等比数列，其中a1=1,a2=2，公比为q=2．【公式推导】 则2S=2+22+…+22020+22021@，@-①得2S-S=S=22021-1，:S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1．14．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=a+b+a-b．如(-3)☆2=-3+2+-3-2=4．(1)计算：(-6)☆(-10)；(2)计算：(-1)☆0☆7☆(-2)．15．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；@当n为偶数时，材料一：对实数a，b，定义F(a,b)的含义为：当a≤b时，F(a,b)=a+b；当a>b时，则S=100+99+...+3+2+1@，(2)已知x+y=20，且x>y，求F(6,x)-F(10,y)的值；(3)对于正数a，满足关系式F(-a2+1,1)=-2时，求：(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的下3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)4，读作“-3的下4次方”．一般地，把记作an，读作“a的下n次方”．（1）直接写出计算结果：(-2)4=______，()3=______．东说：“你的理解完全正确．”(1)计算：(-4)▽(-2)=．①6▽3；②5▽2；③3▽4；④2.8▽1.4；⑤1▽3；20．定义新运算右边的运算为平常的加、减、(2)计算：(-3)*4-(-3)Ä4+(-2023)*(-2023)．如图①,如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1和A2的距离．如图②,如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间A处最合适，不难知道，【拓广应用】（3）求x-1+2x-3+3x-4的最小值．（4）求f(x)=x-1+2x-1+…+2011x-1的最小值．24．阅读下列材料：我们知道x的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距x=x-0，也可以说，x表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为A-B表示数轴上数A与数B对应点之间的距离．(1)用绝对值表示数轴上-5与3之间的距离；(2)若x-2=3，则x可以表示数轴上的哪些数；(4)由以上的探索猜想对于任何有理数x，求出x-4+x(1)如图，有一根木尺PQ放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A，数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数(2)借助上面的方法解决问题：一天，小明去是多少岁？请你画出示意图，求出小明和爷爷的年龄，【问题解决】【拓展思考】-12,-10,-8,-6,-4,-2,1,3,5,7,9,11这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、“56789”为产品代码，而最后一位数字“2”其中，校验码可以用来校验商品条形码中前12......【解决问题】①若甲商品条形码的数字为“6903244@若某正规商品的条形码数字为“978740.376241”，其中有一个数字被污染了，请求出这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为|a-b|或|b-a|，记为|AB|=|a-b (2)类比几个相同加数的和可以写成乘积的形式，我们可定义钟表上的乘法，用符号“Ä”表①计算：4Ä2024；@类比有理数中的倒数，我们可定义：若aÄb=1，则称b是a的钟表倒数（其中a为1~12掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，②-①得即S=___________；(3)请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的是多少？第2024次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2n（n是正整数）次跳动的落【问题情境】________；【问题拓展】次次次-1-2次次次+4-3+m定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”,低于40单的部分记为“-”,一二三四五六七-4-2+20+22-3素素材架上有一根水平杆，喷头架在水平杆上来回喷头架从左到右喷墨，停止后纸张向前移动素素材2始位置为-10，向右2个单位长度记为+2，向左3个单位记为-3，以下记录了喷头架的6次运动情况：+18，-10，+6，-10，+8，-12．任任务经过6次喷墨任任务2经过6次喷墨知道两地存在时间上的差异，即时差．为了解时差的奥秘，小明个时区，并规定零度经线所在的时区（西经7.5°一东经7.5°的区域）称为中时区（零时区区内各地的时间相同，不同时区内各地有各自的时间，每相邻时区的时差为1小时．这样，的中时区，就好比数轴上-1与+1之间的0一样．将数轴上的数与时区对应的点、经度对应其中7.5°E表示东经7.5°,对应点M；7.5°W表示西经7.5°,对应点N；对应点O．法国巴黎和中国北京分别采用东经15°（东一区）和东经120°（东八区）的时间，因此北京料中数轴上的数简明地表示，分别是_____(2)下一届奥运会将于2028年在美国洛杉矶【知识再现】我们都知道，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a，因为原点表示的数是0，所以a=a-0，由此可知，7-(-2)表示7与-2之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与-2的两点之间的距离，所以7-(-2)=9；如图，把一根长度为acm木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm）上，它的两端M,N分别落在点A,B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为17，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为5．（1）由此可得，CD=____________cm，a的值为____________cm．【拓展应用】请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，【实践操作】重合，则数轴上数-2表示的点与数2表示的点重合．两点折叠后重合，M、N两点折叠后重合．【实践探索】(2)若点A到原点的距离是5个单位长度，求点B表示的数；(3)若数轴上MN两点之间的距离为20且点M表示的数比点N表示的数大，现有一只电子蚂蚁从点N出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向射线NM的方向运动，求当电子蚂七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为400m．400m标准跑道一般设置8条跑道，300m跑道设置6条跑道，直道长均为84.5m，每道宽1.22m．在一个标准的400m跑道内，100m，200m，400m，800m等比赛跑道的起点不同，终点相(1)海安某校操场是400m跑道．@小明、小勇参加学校运动会200m比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度(2)小丽、小红参加学校运动会200m比赛，若小丽在第三跑外圈跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸10.98m，素材@：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．123456789甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥【解决问题】（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构【实践应用】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，在新“幻方”（图3所示）中，将-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，则b-a+c的值为________．:数156用十六进制可表示为9C，即C×D=9C，【详解】解：因为，七进制是满七进一，所以，从右到左依次排列的绳子，分别代表绳结数乘以70，71，72，73的天数，所以孩子自出生后的天数是：6×70+2×71+3×72+1×73=6+14+147+343=510．故答案为：(3720)8．(2)②,理由见解析2能被2整除．故答案为：11,139；+1×23+0×22+0×21+1×:25=(11001)2；(3)存在m=0且n=6或m=3且n=4或m=6且n=228；8即存在m=0且n=6或m=3且n=4或m=6且n=2．2所以63转换为五进制数为(223)5；（3）解：(1210)3与(303)4互为“久久数”，(303)4转换为十进制数为3×42所以(1210)3与(303)4互为“久久数”．101）见解析2）九年级六班3）13=(1101)2，二维码见解析【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意:(-1)Ä1≠(-1)*1，:不是“隔一数对”．(2)-861=(-7)※(-65)=(-7)2-2×(-65)×(-7)=49-910=-861．131）3，2432）qn-13）【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题【详解】解1）根据题意得：等比数列3,9,27,…的公比q为3，第5项是35=243；（2）根据题意得：等比数列的通项公式：an=a1.qn-1；故答案为：qn-1则3S=3+32+…+32025+32026②,②-①得3S-S=2S=32026-1，【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新（2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求(-1)☆0和7☆(-2)，再计算(-1)☆0☆7☆(-2)即可．【详解】（1）解：(-6)☆(-10)=-6-10+-6+10=-12．故答案为：-12；（2）解：(-1)☆0☆7☆(-2)=(-1)+0+(-1)-0☆7+(-2)+7-(-2)=(-1+1)☆(5+9)=0+14+0-14【分析】本题考查的是数字的规律探究，能根据所找出规律是解答此题的关键．先分别计算出n=449时第一、二、三、四、五、六次运算的为奇数应先进行F①运算，需再进行F@运算，再进行F@运算，即512÷29=1（奇数再进行F①运算，得到3×1+5=8（偶数再进行F@运算，即8÷23=1，即第1次运算结果为1352，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…,可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．(2)16（2）根据x+y=20,且x>y,可得x>10,y<10,再根据当a≤b时,F(a,b)=a+b；当a>b（3）由于-a²+1<1,由F(-a²+1,1)=-2,可得a²=4,根据a是正数可求a，再代入故答案为：2，5；（2）∵x+y=20,且x>y,:x>10,y<10,:F(6,x)-F(10,y)=6+x-(10-y)=x+y-4=20-4故F(6,x)-F(10,y)的值为16；（3）∵a为正数,:a>0,a²>0,-a²<0，:1-a²<1，:F(-a²+1,1)=-a²+1+1=-2，:a²=4,则a=2(负值舍去)，17132）①a6=()4；②(-)5=(-5)33）(çèn-24）620244；②(-1)5=(-1)÷(-1)÷(-1)÷(-1)÷(-1)=(-1)×(-5)(-5)(-5)(-5)=(-5)3；=62025-5×(-6)2024=62025-5×62024:绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对(3)-1或0或1．（2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和（3）根据新定义的运算化简后，通过分类讨论x的取值范围把含有绝对值的方程转化为一【详解】（1）解：(-4)▽(-2)，=-4-(-2)-(-2)，:6▽3是互为“望一”数；:5▽2既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数；:3▽4是互为“望外数”；:2.8▽1.4是互为“望一数”；:1▽3是互为“望外数”；综上所述：互为“望一”数的是①④,互为“望外”数的是③⑤.:x-1-1+x+1+1=2，:x-1+x+1=2，解得x=-1，:x的取值范围为-1≤x≤1，:x=-1或0或1．:aÄb=a*b，则①是“隔一数对”；:aÄb=a*b，则②是“隔一数对”；:aÄb≠a*b，则③不是“隔一数对”；（2）解：(-3)*4-(-3)Ä4+(-2023)*(-2023)（3）解：1Ä2+2Ä3+3Ä4+4Ä5+…+2020Ä2021P应该在第台和第+1台之间的任何位置3）54）1005【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，（4）由阅读材料，找准规律，得到当2x-12011x-1有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案．【详解】解1）由阅读材料可知，7是奇数，故P应该在第四台位置；当n为奇数时，P应该在第台位置；（3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当P在3所对应的点时，即当x=3时，x-1+2x-3+3x-4有最小值，:x-1+2x-3+3x-4=3-1+23-3+33-4（4）f(x)=x-1+2x-1+…+2011x-1表示x的点到表示的点距离之和，共:当2x-12011x-1有最小值，f(x)=x-1+2x-1+…+2011x-1=-1+2×-1+…+201110061006100610061006100610=1005．【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法:解法一不正确；=-7+9-28+12=-14，【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，解题24．(1)-5-3(2)-1，(3)-4（3）根据（2）结论表示为：在数轴上某点到-4所对应的点的距离和到3所对应的点的距与数轴上表示有理数x的点与表示有理数-5的点之间的距离之和，则当时，最小，求出答【详解】（1）解：:A-B表示数轴上数A与数B对应点之间的距离，:数轴上-5与3之间的距离表示为-5-3；:x=-1或x=5，可以表示数轴上的数-1或数5；（3）x-3+x+4=7，表示为在数轴上某点到-4所对应的点的距离和到3所对应的点的距:-4≤x≤3，:满足条件的整数x可为-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，:整数的和为-4+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3=-4；（4）解：x-4+x+5表示在数轴上表示到4和-5的距离之和，所以当x在-5与4之间的数轴上时，有最小值为4-(-5)=4+5=9，即x-4+x+5的最小值为9．可知PQ是AB的三分之一，据此求得PQ的长，进而求得点A、点B所表示的数；所以木尺PQ的长为(32-8)÷3=8(cm)，点B表示的数为32-8=24．261）见解析2）见解析3）-120或111(-12-10-8-6-4-2+1+3+5+7+9+11)÷3=-2，进而代入求解即可． 【详解】解1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之:对角线上的数字之和为：4+5+6=15，第一行第三列的数为：15-7-6=2，第一行第二列的数为：15-4-2=9，第三行第一列的数为：15-2-5=8，第三行第二列数为：15-6-8=1，第一行第一列的数为：12-0-7=5，第三行第一列的数为：12-5-6=1，第二行第二列的数为：12-0-8=4，第二行第三列的数为：12-6-4=2，第三行第三列的数为：12-1-8=3；(-12-10-8-6-4-2+1+3+5+7+9+11)÷3=-2，解得a=-4,b=7，又∵x+y+11+(-10)=-2，且数字不重复，:x=9,y=-12或x=-12,y=9，当x=9,y=-12时，:ax+by=-4×9+7×(-12)=-120；当x=-12,y=9时，:ax+by=-4×(-12)+7×9=111；综上，ax+by的值为-120或111．【详解】解：①条形码是假的理由：由题意得：a=9+3+4+6+2+8=32，:c=3a+b=3×32+23=119，:d=120，:校验码m=d-c=120-119=1≠3:条形码是假的.:a=7+7+0+3+6+4=27，b=9+8+4+x+7+2=30+x，:c=3a+b=3×27+30+x=111+x，:d=c+m=112+x，:d=120，:x=8；（2）由|x+2|+|x-3|表示在数轴上数x对应的点与数-2，3对应的点的距离之和，当数x在-2与3之间时，即-2≤x≤3时，|x+2|+|x-3|最小，再进一步解答即可；（2）解：∵|x+2|+|x-3|表示在数轴上数x对应的点与数-2，3对应的点的距离之和，:当数x在-2与3之间时，即-2≤x≤3时，|x+2|+|x-3|最小，:当-2≤x≤3时，式子|x+2|+|x-3|有最小值，最小值是3-(-2)=3+2=5，:调运方案如下：(2)1-；1- +++=1-…;即S=1-；故答案为：1-；1- ②-①得(3)m-1，m+1012，第(2m-1)次（3）根据（12）所得规律可进行求解第2次跳动的落点位置表示的有理数是0-1+2=1，第3次跳动的落点位置表示的有理数是0-1+2-3=-2，第4次跳动的落点位置表示的有理数是0-1+2-3+4=2，第5次跳动的落点位置表示的有理数是0-1+2-3+4-5=-3，第6次跳动的落点位置表示的有理数是0-1+2-3+4-5+6=3，…0-1+2-3+4-5+6-…-2023+2024=0+1012×1=1012．（2）解：跳蚤从-8对应的点处出发，第1次跳动的落点位置表示的有理数是-8-1=-9，-8-1+2-3+4-5+6-…-2023+2024=-8+1012×1=1004，因为-8-1+2-3+4-5+…+16=-8+8=0，（3）解：第1次跳动的落点位置表示的有理数是m-1，m-1+2-3+4-5+6-…-2023+2024=m+1012×1=m+1012，第2n（n是正整数）次跳动的落点位置表示的有理数是m-1+2-3+4-5+6-…-(2n-1)+2n=m+n×1=m+n，解得n=m-1，所以2n+1=2m-1，故第(2m-1)次跳动的落点位置是原点．321）-22）43）①m=2；②30个长度单位（2）利用点B表示的数=点A表示的数+2×转动的周数，即（3）①利用点O与原点的距离=2×每次转动的周数之和，可列出关于m的一元一次方程，【详解】解1）根据题意得：0-2×1=-2，故答案为：-2；故答案为：4；解得m=2@(3+1+2+4+3+2)×2=30算法则．任务一：把6次运动的数据加起来，即可求解；任务二：把6次运动数据的绝对值答：喷头架在初始位置-10；任务二：+18+-10++6+-10++8+-12=64cm，答：喷头架移动的总路程为64cm．:A在东一区，B在东八区，C在西八区，:A，B，C三地数轴上表示的数分别为：1，8，-8．故答案为：1，8，-8．（2）解：:洛杉矶和中国北京分别采用西八区和东八区的时间，（3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒MN，再对应【详解】解1）根据题意有，:CD=12cm，a的值为4cm；QC所表示的数是5，:点A所表示的数是5+4=9，点B所表示的数是9+4=13，到A点时，此时点A所对应的数为-35．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此