专题09等腰三角形的判定与性质3知识点8大题型4大拓展训练2025年新八年级数学讲义浙教版2024

2．分别以B，C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A；【即时训练】分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画()2．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是()3．如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则此等腰三角形的周长为．③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，:BD=CD②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，:AD⊥BC③已知角平分线：∵AB=AC，<BAD=<CAD，:A如下中图所示，已知AD是<BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线【即时训练】(1)求ÐDBC的度数；5．如图，在△ABC中，AB=AC，点P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且(1)求证：DB=DE．(2)设△BCD的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1:S2的值．@有两个角相等的三角形是等腰三角形简称“【即时训练】7．如图，在△ABC中，AB=AC，ED∥AB，分别交BC、AC于点D、E，点F在BC的延长线上，且CF=DE，(2)连接AD，当ADTBC，BC=8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC9．在△ABC中，BD和CD分别平分7ABC和7ACB，过点D作EFⅡBC，分别交AB,AC于点E，F．(2)若△ABC的周长为18，BC=6，求△AEF的周长．10．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C等腰三角形，这样的格点C的个数为()11．等腰三角形的一个内角是40°,则它的底角是()A．70°B．40°C．40°或70°D．30°或75°(2)若其中一边的长为7cm，求这个等腰三角形其余两边的长．16．如图：在△ABC中，AB=AC，BD平分ÐABC，交AC于点D，若BD=BC，则ÐA等于()A．30°B．36°C．40°17．如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若上B=50°,则ÐDAC的度数为()18．等腰三角形的顶角等于50°,则一个底角的度数为；等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角为．20．下列说法正确的有()21．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是7BAC的平分线，点D是AE上的一点，AD=2DE，若△ADC的面积为4，则△ABC的面积是()22．如图，△ABC中，AB=AC，ADTBC，DETAB，DFTAC，垂足分别下列结论：①AD平分7BAC；②DA平分上EDF；③AE=AF；④AD上的点到AB，AC两边距离相等．其中正确的有()24．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN，交边AC于点D，交边BC于点E，连接BD．相交于点P，求证：PD=PE．任意一点，过点E作EF丄AD交AC于点F，作EGⅡAB交AC于点G．求证：△GEF是28．如图，在△ABC中，分别以B，C为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN交边BC于点F，交边AB于点E，连接CE．29．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且(1)求BC的长；30．如图，在△ABC中，AB=AC=6，点E，F，D分别在边AC，AB，BC上，EF32．如图，在△ABC中，ED∥BC，ÐABC沿着AD边翻折得到△AED，AF平分上EAC，连接EF，若△DEF是等腰三角形，则34．如图，BD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，EFⅡBC，EF交AC于点F，交BD于点G．顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为()也是图中的格点，且使得△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是()37．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段AB是等腰三角形△ABC(1)在图1中画出1个以AB为底的等腰△ABC，要求顶点C是格点．(2)在图2中画出1个以AB为直角边的直角△ABC，要求顶点C是格点．40．如图，在△ABC中，上A=441．如图，在四边形ABCD中，点E是BC边上的点，请用尺规作图法作一个等腰△BEP，点P在四边形ABCD内部，且点P到边AB、BC的距离相等作出符合题意的一个等腰43．已知：如图，点M在ÐAOB的边OA上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱(1)填空：由作图可知，射线OP是ÐAOB的______；(2)以点M为圆心、OM长为半径画弧，交射线OP于点N，连接MN，试判断MN与OB的44．已知：△ABC中，边BC上一点D．45．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=10，D是BC的中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F．在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是().(2)在图②中，连结PA、PB，使PA=PB；(3)在图③中，连结PA、PB，使△PAB为直角三角形．481）观察发现点B关于直线的对称点B¢,连接AB¢,与直线的交点就是所求的点P．如图2，在等边三角形ABC中，AD=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．方法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就如图3，在四边形ABCD中，点B与点D关于AC对称，对角线AC与BD交于点O,AO=4，点P是对角线AC上的一个动点，AB=BC=CD=AD=BD，点M是AB的中49．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E在AB，AC上，DE∥BC，请仅用）．(2)如图2，F为线段BD上一点，请在等腰三角形ABC的对称轴上找一点P，使得点P到F，B两点的距离之和最小．50．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE丄AC于点E，AD与BE相(2)若CE=EF，求证：AF=2BD．与CE之间的数量关系：．______连结BD、CE，试说明（1）中BD和CE之间的数量关系是否还成立？若成立，上ACB=上DCE=90°,点A，D，E在同一条直线上，CN为△CDE的高，连结BE，请直接写出线段CN，AE，BE之间的数量关系：．52．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①,在锐角△ABC中，AB<AC，AD是ÐBAC的平分线，DM，DN分别是△ABD，△ACD的高，点E是边DC上一点，且），【问题提出】（1）填空：DM______DN填“>”“=”或“<”）【问题探究】活动2用全等三角形研究“筝形”如图，四边形ABCD中，一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有【概念理解】(1)如图，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形ABCD；【性质探究】性质“筝形有一组对角相等”，判定这两个三角形全等的依【拓展应用】当四边形AEDC为筝形时，请直接写出上BDE的度数：______；②如图4，在筝形ABCD中，过点D作DEⅡAB交BC于点E，若DE=5，CE=3，求AB角形互为“均等三角形”另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫【概念理解】【应用拓展】【发现问题】BP=4．Q为CD上一动点，连接PQ．【探究发现】（2）小华将小明的数学问题进行了改动，将原来的长方形ABC与PQ相等吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，如图3．小林连接了AQ，交CD于点F，连接PF．试判断BP、PF、FD之间的数量关系，只写结论，不需要证明．56．如图：△ABC是边长为8cm的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A以2cm/s速度（点Q不与点B重合当点P到达点C时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t(s)．过点P作PE丄AB于点E，连接PQ交AB于点D．(2)点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如点E沿BA方向运动，且AD=BE．连接CD，作直线AF丄CD，垂足为F，交BC于点G，直线GE交CD（或CD延长线）于点H．；（③猜想HD与HE之间的数量关系，并证明你的猜想：(2)如图2，当点D，E在直线AB上时，其他条件不变1）③中你猜想的结论是否还成合过B作BE丄AD于点E，交AC的延长线于点F，连接CE．59．在Rt△ABC中，上CAB=90o，AB=AC，点O点（点P不与点O、B重合过点C作CE丄AP于点E，过点B作BF丄AP于点F，连接EO并延长，交直线BF于点G．位置出发，沿射线CA方向匀速运动，速度为1cm/s，DF，DE分别与AB交于点M，N(1)当DF垂直平分AC时，求t的值；(4)连接BF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BCF为等腰三角形，若存在，请直时，BD=CE．其中正确的结论的个数是()62．如图，AB=AC，上BAC=36°,以点B圆心任意长为半径画弧交AB，BC分别于点M，N，再以点M,N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP，D为射线BP上一点，若△ABD为等腰三角形，则上BDC的度数为．BD翻折后得到△BDE，边BE交AC于点F．若△DEF是等腰三角形，则ÐABD的度数为-°.两个角中，有一个是直角，我们称这样的四18，求△AEF的面积．ÐABC，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．如图①,线段BD，CE把△ABC分成三个等腰三角形，则线段BD，CE叫做△ABC的三分(2)如图③,在△ABC中，上B=30°,线段AD，DE是△ABC的三分线，点D，E分别在边BC，AC上，且AD=BD，DE=CE．求ÐC的度数．(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是_____线段CO、OE是△ACD的“三等腰线”．70．等腰三角形中，若一个角度数为80°,则底角度数是()A．80°B．50°或80°C．80°或20°D．50°71．如图，在△ABC中，AB=AC，AD丄BC于点D，点E，F是AD上的两72．如图，D为△ABC内一点，CD平分ÐACB，BE丄C点E，OF丄AC于点F，若该等腰三角形的面积为15，则OE+OF的值为()74．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以2cm/s的速度从树枝的A点处出发沿树枝AB方只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是()C．4s或12s交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则ÐCEF的度数是()于点E，F．P为线段EF上一动点，D为边BC上的一动点，则DP+CP的最小值是作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线EF于点P，连接BP，则上BPA的度数是．81．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分ÐABC，过A作AE丄BD于点上AED=90°,且可绕着点A旋转，边AE、AD分别交线段BC于Q、P两点；当上PAC=证明：连结AC．:BC=DC．85．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分ÐABC交AC于点E，过点E作EFⅡBC交AB于点F．(2)求证：FB=FE．案.(2)请在第一小组或第三小组中选择一个方87．如图，点C在线段AB上，ADPBE,AC=BE,AD=BC．88．如图，在△ABC中，BE平分ÐABC，DEⅡBC．(2)若BD=AE,上DBE=20°,求ÐC的度数．(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；AB为腰得出符合题意的图形即可．:这样的直线最多可画4条．:这个等腰三角形的周长是22．【分析】本题考查等腰三角形性质，以及三角形内角:上DBA=45°.（2）证明：Q△ABD和△ACE均为等腰直角又QAB=AC，:△ABD≌△ACE(SAS)．:BD=CE．:△BDP≌△CEP(AAS)；:△BDP≌△CEP(AAS)，（1）根据等边三角形中三线合一可得上DBC=上ABC=30°,根据三角形外角的性质和等明DB=DE．:BD=DE．（2）解：如图，过点D作DM丄BC则S1=BC×DM:DE=EC，:CE=CF，:△CEF是等腰三角形．:DE=FE，:ÐBDE+ÐBED=180°-ÐB=180°-70°=110°,9．(1)△AEF是等腰三角形，理由见解析:AE=AF:△AEF是等腰三角形；∵BD平分ÐABC，:BE=ED，:△AEF的周长为：:它的一个底角的度数是40°或70°,:不能构成等腰三角形；:符合等腰三角形的定义，:这个等腰三角形的周长为4+10+10=24，设该等腰三角形的较短边长为xcm(x>0)，则较长边长为4xcm，分①xcm为腰；②4xcm【详解】解：设该等腰三角形的较短边长为xcm(x>0)，则较长边长为4xcm.①当xcm为腰时，Qx+x<4x，:x,x,4x不能组成三角形；②当4xcm为腰时，4x,4x,x能够组成三角形，Q4x+4x+x=18，:x=2，:该等腰三角形底边长为2cm．14．(1)10cm,10cm,5cm(2)7cm与11cm，或9cm与9cm（1）设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据“周长是25cm”列方程求解即可；即各边长分别是10cm,10cm,5cm；:其余两边分别为7cm,11cm，此时能构成三角形；当底为7cm时，腰长为，:其余两边分别为9cm,9cm，此时能构成三角形；综上所述：其余两边分别为7cm与11cm，或9cm与9cm．由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得ÐA．又∵BD=BC，质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线MN为线段AB的垂直平分线，则AD=BD，:AD=BD，【详解】解：Q等腰三角形的顶角等于50°,两底角相等，:一个底角等于Q等腰三角形的底角等于50°,两底角相等，故答案为：65°；80°.QAB=AC，AE是中线，:AE丄BC，即上AEB=90°.:上CBF=35°.识是解题的关键．根据角平分线的性质定理和等腰三角形的综上，正确的说法是①④,有2个．∵AD=2DE，:AD平分ÐBAC，:AD上的点到AB，AC两边距离相等，:△AED≌△AFD(AAS)，:AE=AF，上ADE=上ADF，:DA平分上EDF【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到ÐBDC=90°,利用等边对对:上CDE=上E=20°,(2)100°（2）根据对顶角相等可得上CDN=60°,根据垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性∵△ABD的周长为10，:△ABC的周长为18；∵MN垂直平分BC，:ÐA的度数为100°.【详解】证明：过点D作DG∥AE于点G，:△GDF≌△CEF(ASA)，:DG=CE又:BD=CE，:BD=DG，:DG∥AE，:AB=AC，:△ABC是等腰三角形．【详解】证明：:在△ABC中，BC=BA，又:AE=CD，AC=CA,:△ACE≌△CAD，:CP=AP，即PD=PE．【详解】证明：:AD平分ÐBAC，:EGⅡAB，:EF丄AD，:△GEF为等腰三角形．28．(1)MN垂直平分BC；BE=CE（答案不唯一）:点M、点N都在线段BC的垂直平分线上，即直线MN垂直平分线段BC；Q直线MN交边AB于点E，:BE=CE．故答案为：MN垂直平分BC；BE=CE（答案不唯一:EC=EA，:△ACE为等腰三角形．:AE=BE，:BC=25-15=10cm．由（1）得，AE=BE，:上BEC=上C，:BC=BE．定可得DF=DB,EF=EC，由此即可得．QEFⅡAB，DFⅡAC，:DF=DB,EF=EC，:△ABD是等腰直角三角形，:AD=BD，ïï:△ADF≌△BDC(ASA)，:DF=CD，【详解】解：∵ED∥BC，:BE=EG，CD=DF，:FG=2，角形，从而求得BD的长．:AE=AC，在△AEF和△ACF中，ïìAE=ACï:△AEF≌△ACF(SAS)，:△DEF是等边三角形，:DE=EF=DF，:BC=DE+DF+EF，:BD=4，:上ABC=180°-上A-上C=70°,QBD平分ÐABC，:上EGB=35°, 分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，根据△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，【详解】解：∵△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，:当AB=AP时，结合正方形小网格的特征，AP1=AB,或AP2=AB,:当AB=BP时，结合正方形小网格的特征，BP3=AB,或BP4=AB,综上：满足△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形的点P有4个，【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以AB为底和以AB为腰时，符合题意的【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别AB为腰找等腰三角形和AB为底【详解】解：如图，分别AB为腰画出等腰三角形和AB【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，【分析】此题考查了尺规作等腰三角形，角平分线，解题的关键是掌握以点B为圆心，BE为半径画弧交AB于点F，然后作出ÐABC的平分线交于点P，连接BP，PE，△BEP即为所求．根据题意得，BP=BE，且点P到AB，BC的距离相等:等腰△BEP即为所求．再连接AC、CB，△ABC即为所求．【分析】本题考查尺规作图--作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定．（1）根据作图可知：射线OP是ÐAOB的角平分线；:OP是ÐAOB的角平分线，:MN∥OB．【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是明确垂直平分线和角平分线质，根据题意得到AD的长度=PB+PD的最小值是解题的关键．由EF垂直平分AB，得到点A,B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．【详解】∵AB=AC，D是BC的中点，∵EF垂直平分AB，:PA=PB,PB+PD=PA+PD，如图，当P为EF与AD的交点时，PB+PD取最小值，此时PA+PD=AD=10，:PB+PD的最小值为10，OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，得到△PMN的周长的最小值为FG，再证得△FOG为边长为4的等边三角形即可得出答案．【详解】解：作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，如图：:MP=MF，NP=NG，:△PMN的周长的最小值为FG，:FG=4，:△PMN的周长的最小值为4．【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决（2）作线段AB的垂直平分线，与CD的交点即为点P；【详解】（1）解：如图①,在线段CD上取格点P，（2）解：如图②,作线段AB的垂直平分线，（3）解：如图③,在线段CD上取格点P，481）22）43）见解析（2）由题意可知AC所在直线是BD的对称轴，连接MD交AC于点P，连接PB，此时PM+PB的值最小，PM+PB=MD，由M，O为AB,BD的中点，得到BM=BO，（3）如图所示，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点E，连接BE交AC于点F，连接DE并延长交AC于点P，可证【详解】解1）∵△ABC是等边三角形，AD是高，:作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，BP+PE的最小值为CE的值，（2）由题意可知AC所在直线是BD的对称轴，连接MD交AC于点P，连接PB，:PD=PB，此时PM+PB的值最小，PM+PB=MD，∵M，O为AB,BD的中点，∵AB=BD，:BM=BO，:△BMD≌△BOA(SAS)，:MD=AO=4，:PM+PB的最小值为4；（3）如图所示，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点E，连接BE交AC于点F，连接DE并延长交AC于点P，:BF=EF,PB=PE,PF=PF，:△PBF≌△PEF(SSS)，:ÐAPB=ÐAPD，:点P即为所求点的位置．（2）如图，连接CF，则CF与直线AM的交点即为所求．QAB=AC，:ÐABC=ÐACB，:ÐADE=ÐABC，ÐAED=ÐACB，:ÐADE=ÐAED，:AD=AE，由等腰三角形的对称性可知：点B与点C、点D与点E都关于△ABC的对称轴对称，:连接CD，BE，交于点M，则点M在等腰△ABC的对称轴上，:直线AM即为等腰△ABC的对称轴；（2）解：如图，连接CF，则CF与直线AM的交点即为所求的点P．:PB=PC，由“两点之间，线段最短”可知：当点P在CF与对称轴AM的交点处时，点P到F、B两点:ÐCAD=ÐBAD，ADTBC，:7CBE=7BAD．ïï:AF=BC，QAD是BC边上的中线:BC=2BD，:AF=2BD．(3)AE-BE=2CN（1）通过△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，得出上BAC=上DAE，AB=AC，（2）通过△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，得出上BAC=上DAE，AB=AC，（3）通过已知条件，证明△ACD≌△BCE(SAS)，得出AD=BE，:上BAC=上DAE，AB=AC，AD=A:BD=CE，:上BAC=上DAE，AB=AC，AD=A:BD=CE；:ÐACD=ÐBCE，:△ACD≌△BCE(SAS)，:AD=BE；:N为DE的中点，:DE=2CN，:AE-BE=2CN．521）=2）证明见解析3）理由见解析；或【分析】（1）由角平分线的性质定理可得（2）过点D作DH丄EF于点H，证明△BDM≌△EDH，再证明Rt△DNF≌Rt△DHF，（3）延长MD交FE的延长线于点Q，证明△BDM≌△EDH得DM=DQ，从而得又∵AD平分ÐBAC，:DM=DN，（2）证明：如图1，过点D作DH丄在△BDM和△EDH中，:DM=DH，又由（1）知：DM=DN，:DN=DH，在Rt△DNF和Rt△DHF中，:Rt△DNF≌Rt△DHF(HL)，:ÐNFD=ÐHFD，（3）解：如图2，延长MD交FE的延长线于点Q，:BMⅡEF，即BMⅡEQ，在△BDM和△EDQ中，:△BDM≌△EDQ(ASA)，:DM=DN，:DN=DQ，:DF平分上AFQ，:点E关于DF的对称点E¢落在边AC上，AB=5，BM=1，DM=3，过点D作DH丄EF于点H，:EH=BM=1，NF=HF，在Rt△ADM和Rt△ADN中，:Rt△ADM≌Rt△ADN(HL)，:AM=AN，:AN=AM=AB-BM=5-1=4，又:DN=DM=3，:点E关于DF的对称点E¢落在边AC上，AB=5，BM=1，DM=3，:EQ=BM=1，:DF平分上NDQ，:FN=FQ，又:DN=DM=3，AN=AM=4，又:DN=DM=3，(2)①SSS；@两条对角线互相垂直（答案不唯一）判定、等腰三角形的性质与判定，理解筝形的定义及上BDE的度数即可；@根据筝形的性质得到AB=BC，AC丄BD，:△ABC≌△ADC(SSS)．故答案为：SSS；@QAB=AD，BC=DC，:AC是BD的垂直平分线，:AC丄BD，:筝形的两条对角线互相垂直（答案不唯一:@Q筝形ABCD，:AB=BC，ACTBD，:上ABD=上CBD，:上EDB=上CBD，:BE=DE=5，:AB=BC=8．:△BCD和△ACD是均等三角形.:△ACD与△ABC为均等三角形，:△BCD为等腰三角形，:CD为△ABC的“均等分割线”．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角551）见解析2）AP与PQ相等，理由见解析3）BP+FD=PF（3）由（2）可得：AP=PQ，则△APQ为等腰直角三角形，延长CD至G，使得:AP=PQ；:CQ平分ÐDCE，:AB-BM=BC-BP，:AM=PC，:ÐB=90°,:PQ丄AP，:AP=PQ；:△APQ为等腰直角三角形，如图，延长CD至G，使得DG=BP，连接AG，,:AF=AF，:PF=FG，（2）过点P作BC的平行线交AB于M，证得△PDM≌△QDB(AAS)，得到BD=DM，进:AB=BC=AC=8cm，:P是AC边上一动点，由点A以2cm/s速度向点C运动（P与点A、C不重合同时，点Q 以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合当点P到达点C时，P，:AP=BQ=2tcm，（2）解：点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE=4cm，理过点P作BC的平行线交AB于M，如图所示：∵PMⅡBC，:△AMP是等边三角形，:MP=AP=AM=2t，:AE=ME，:QB=MP，:BD=DM，:点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE=4cm．三角形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等57．(1)①图见解析；②见解析；③猜想：H平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助（2）如图，过点B作BP∥AC交AG的延长线于点P．先证明△ACD≌△ABP(ASA)得出:上AFH=90°.③猜想：HD=HE．:△ABC≌△EFG(AAS)．:BP=AD=BE．:△EBG≌△PBG(SAS)．:上HED=上HDE．:HD=HE．（2）解1）③中的结论仍然成立．证明：如图，过点B作BP∥AC交AG的延长线于点P．在△ACD和△ABP中:△ACD≌△ABP(ASA)．:△BPG≌△BEG(SAS)．:上E=上D．:HD=HE．(2)为定值，定值为45°（2）过点C作CG丄CE交AE于点G，可证△AC本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，:△ACD≌△BCF(ASA)；过点C作CG丄CE交AE于点G，:△ACG≌△ABCE(ASA)，:CE=CG，:ÐCEF的大小为定值，定值为45°.(2)满足条件的△OEF的面积为或．:△AEC≌△BFA(AAS)；:CE=AF，AE=BF，:CEⅡBG，∵O是BC的中点，:AF=BG，:EF=FG，:EF=FG=5-2=3，综上所述，满足条件的△OEF的面积为或．性质与判定，平移的性质等知识内容，利用分类讨论（3）连接BE，由平移的性质可得DEⅡBC，可证明DE垂直平分AB，则AE=BE，导角∵DF垂直平分AC，（2）解：如图所示，连接CM，:∠MCF=∠MCB，由平移的性质可得DEⅡBC，:DE丄AB，:DE垂直平分AB，:AE=BE，:BE=CE，:BF丄AC，:BG=DF；:DE=BF，:Rt△BGF≌Rt△DFE(HL)，:FG=EF，:点E与点G重合，则点F在BC的垂直平分线上，:同理可得②∵D为BC中点，AB=AC，:DETAC，:当AE=DE时，当AD=DE时，:CD=AC，:BD=CE，62．18°或36°或72°三角形的外角，根据等边对等角，三角形的内角和定理以及三角由作图可知：BP平分ÐABC，=36°,此时点D1为BP与AC的交点，D22B，:AD1=AD2，:AC-AD1=BD2-BD1，即：CD1=D1D2，D2C，上AD3CD2-当DF=EF时，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：:在△ABC中，上ABC=80°,综上所述，ÐABD度数为16.5°或33°.故答案为：16.5°或33°.:OC=DC，故答案为：65°;:上ABD=90°-上A=90°-45°=45°,\7CDE=90°,:上ADE=上BDC，:△ADE≌△BDC(ASA)，:DE=DC=5．等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全:△ABC和△ADE都是等腰三角形，:AB=AC，AD=AE，上BAC=上DAE，:BD=CE；（2）理由如下：如图2，延长DC至点P，使DP=AD，:△ADP为等边三角形，:上ACB=45°,:△FDC和△ADE互为“兄弟三角形”，:上CDF=90°,:上ADE=90°,ïï:CEⅡAB，:S△ACE=S△ECB，:S△AEF=S△BCF=18．671）③2）DA=DC，证明见解析3）见解析:DA=DC，:BD平分上EBF，DE丄BE，DF丄BF，:DE=DF，:DA=DC；（3）证明：如图3，在BC上截取BG=BD，连接DG，∵BD平分ÐABC，:AD=DG=CG，(2)20°或40°又∵线段AD，DE是△ABC的三分线，综上，ÐC的度数为20°或40°.72°或36°或45°或（2）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三:△ADC和△BCD是等腰三角形；相等的线段为AD=CD=BC；如图，作AB的垂直平分线DE，交AC于D，交AB于E，连接BD，:AD=BD，:CD=BC，:△ADB和△BCD是等腰三角形；相等的线段为AD=BD，CD=BC；（2）解：①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图，②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图，:上ADB=2y°,:y°+2y°+2y°=180°,:y=36°,③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图，当AB=BD，AD=CD时，AD为BC的垂:z=45°, 故答案为：72°或36°或45°或:△AOC是等腰三角形，:点E在OD的垂直平分线上，:ED=EO，:线段CO、OE是△ACD的“三等腰线”．:其底角为:其底角为80°.先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD是BC的垂直平分线，从而可得:AD是BC的垂直平分线，在△EBF和△ECF中，:△EBF≌△ECF(SSS)，:△EBF的面积=△ECF的面积，:△ABD的面积△BDC≌△EDC，得到DB=DE，BC=EC；根据等角对等边:DB=DE，BC=EC，:AE=BE，:AE=4，:DB=2．【分析】分别计算△AOC和△AOB的面积，再根据等腰三角形的面积直接【详解】解：连接AO，QSAOC+SQAB=AC，:OE+OF=5，【详解】:当OM=ON时，:12-2t=t，解得t=4，当点M在点A上方时，:OM=ON，:2t-12=t，:t=4或12，【点睛】本题考查等腰三角形的性质，一元一次方程，运用分类【详解】解：如图，连接OB，又AB=AC，:OA=OB，:上ABO=上BAO=20°,:上OBC=上ABC-上ABO