专题10等边三角形的判定与性质3知识点6大题型4大拓展训练2025年新八年级数学讲义浙教版2024

3．如图，在△ABC中，点D在△ABC内部，连接DB、DC、DA，BD=BC，(2)求证：△ABE是等边三角形．①等腰三角形和等边三角形对比性质对称轴（1条）对称轴（3条）@等腰三角形和等边三角形的判定4．如图，在等边△ABC中，DA=DC，DM丄BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，5．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF丄BC于点F，延长FD、CA交于点6．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于(1)若△ADE的周长为8cm，线段BC的长为________；(3)若上BAC=120°,求ÐDAE的度数．是等边三角形．上述结论中正确的有()8．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是().其中正确的个数是()(1)尺规作图：过点D作DE丄BC于点E，交AB于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，15．如图，CD为△ABC的角平分线，过点A作AE∥DC交BC的延长线于点E．若上ACE=60°,则△ACE是__________三角形，并写出推理过程．(2)判断△AED的形状，并说明理由．则ÐFED的度数是()A．15°B．20°18．如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，作DE∥AB，交AC的延长线于点E．若AB=5，DE=3，则AE的长为()19．如图，点P是ÐAOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是M、N，直线MN交OA、OB于点C、D，若MN=8cm，且上AOB=30°,则△MON的周长是()于点F，AD=BF，BE=4，则AB的长为．△BOC≌△ADC，上OCD=60°时，上AOB=60°,如图2，则此时A，B两点之间的距离是()A．9cmB．18cmC．223．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且24．小夏在2024年国庆假期期间去太原市大熊猫繁育研究基地参观．如图，AB为熊猫基25．如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25o的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西35o的方向行驶50海里到达A地，则A，C两地相距海里．261）观察发现点B关于直线的对称点B¢,连接AB¢,与直线的交点就是所求的点P．如图2，在等边三角形ABC中，AD=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．方法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就如图3，在四边形ABCD中，点B与点D关于AC对称，对角线AC与BD交于点O,AO=4，点P是对角线AC上的一个动点，AB=BC=CD=AD=BD，点M是AB的中(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D（不写作法，保留作图(2)连接AD，求证：△ABD是等边三角形．28．如图，在△ABC中，点P为AB边上一点．(1)请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E（要求：(2)连接AD，求证：△ABD是等边三角形．30．如图，AB，CD相交于点O，DEⅡAB．N第一次到达点B时，M，N同时停止运动．(2)点M，N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？33．如图：△ABC是边长为8cm的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A以2cm/s速度（点Q不与点B重合当点P到达点C时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t(s)．过点P作PE丄AB于点E，连接PQ交AB于点D．(2)点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如34．如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为2cm/s，N的速度为4cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．(2)点M、N在BC边上运动时，当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时，请求出此时M、N运动的时间；(3)点M、N运动过程中，当△AMN是直角三角形时．请求出此时M、N运动的时间．△BOC≌△ADC，上OCD=60°(2)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；38．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE．(1)如图（1若点D是AC的中点，求证：AD=CE；(3)如图（3若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．接BD、CE．求证：△ABD≌△ACE；个动点(不与点B重合，且BC≠BE)①若点C与点D重合，请根据题意补全图1_____；@如图2，若点C不与点D重合，请证明：AE=BF+CD；(2)当点C在线段BD的延长线上时，直接写出AE，BF，CD之间的数量关系．(1)如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD=CE．求证(2)如图2，点D为△ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知(3)如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时上BDC的度数．42．已知△ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP．(1)如图1，点E在AC边上，且AE=BP，连接BE交CP于点F．@填空：上BFC=______°;(3)如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，使CE=BP，连接QE，DE．在点P运动过程中，当S△APC=5S△QCE时，则S△QDE:S△BPC=______．44．已知线段AB，点C是平面内一动点，连接AC、BC，且AB=AC，过点B作BD丄BC，且BD=BC，连接CD，AD，AD交BC于点E．(2)如图2，过点B作BH丄AB，且使BH=BA，连接AH，若AD=6，求AH+AC的最小45．如图，等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E、P分别在BD延长（2）若上BAC=60°,如图2，探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明你的结论．46．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD、DE．(1)如图①,当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE=DC．(2)如图②,当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关系，并(3)如图③,当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED丄DC时，求上DEC度数．连AD交CO于E，连CB交OD于F，连EF．(3)若P为直线l上一动点，求PC+PD的最小值．48．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，PA=CQ，连接PQ交AC于D，若CD=3，BQ=10，则PA的长为()A．2B．2.249．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点，连接PQ，则有以下确的有()50．如图，点C为线段AB上的一动点（不与A，B重合在AB同侧分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△CEB,AE,BD相交于点F，AE交CD于点M，BD交CE于点N，连接④AD=DF．51．如图，边长为4的等边△ABC，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接CD、CE、EF，则以下结论：①AC丄BF；②DC=DE；③ÐACE的大小随着点D的移18，求△AEF的面积．如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=BC，我们把【概念理解】如图②,四边形ADBC中，BC=BD，上ABC=上ABD．【性质探究】已知：如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=C________【拓展应用】四边形AEDC为筝形时，请直接写出上BDE的度数．(1)如图2，△ABC为等腰直角三角形，请满足条件的图形，并直接写出ÐADC的度数．“手拉手模型”．有___________≌_____(2)如图，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接(3)如图，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，的度数为()58．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为()A．75°B．15°C．30°或150°D．15°或75°59．如图，已知ÐAOB的大小为30°,P是ÐAOB内部的一个定点，且OP=1分别是OA、OB上的动点，则!PEF周长的最小值等于()形；④DN=BN．其中结论正确的序号有()接BD，CE相交于点F，CEⅡAB．若CE=9，则CF的长为()关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为．用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①,衣架杆OA=OB=20cm，若衣架收拢，上AOB=60°,如图@，则此时A，B两点之间的距离是cm．△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个68．如图，上AOB=30°,点M，N分别是射线OB，69．如图，点P、M、N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP丄AB于点P，MN丄BC(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)若上BAC=60°,求ÐACE的度数．72．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF丄DE，交BC的延长线于点F．(1)求证：CE=CF；B重合)，将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ．(1)求证：CP=CQ；(3)当点D是AB的中点时，判断△DPQ是何种三角形，并说明理由．74．如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF丄AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连接CG．(1)若D是AC的中点，求证：AC=2AB；75．已知：在△ABC中，BC=BA=6，D为AC边上一点，过点D作AB、BC的垂线，垂足分别为点E，F，(1)当D为边AC中点时，求证：DE=DF；(3)在（2）的条件下，当点D在线段AC上运动时，DE+DF的值是否为一个定值？若是，个动点(不与点B重合，且BC≠BE)①若点C与点D重合，请根据题意补全图1_____；(2)当点C在线段BD的延长线上时，直接写出AE，BF，CD之间的数量关系．:上A=上CEB，:CB=CE；:△BCE是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，关键在于能够熟记等边三角形的判定方法．（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定出△DBC是等边三角形，根据等:△DBC是等边三角形，ïï:AB=BE，:△ABE是等边三角形．:上CDE=上E，:上E=30°,:BD=ED，:MB=ME．:上EFC=90°,:上BAC=上B=上C，:△ABC为等边三角形．(2)点O在BC的垂直平分线上:DA=DB，∵l2是AC边的垂直平分线，:EA=EC，故答案为：8cm；∵l2是AC边的垂直平分线，:点O在BC的垂直平分线上；④有两个角都是60°的三角形，则另一个角也是60°,故是等边三角形；正确；有一个内角是60°,有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．【详解】解：根据题意得：a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，:三角形为等边三角形．【分析】先证明这个等腰三角形是等边三角:这个等腰三角形是等边三角形，边长为4，60度的等腰三角形是等边三角形．根据AB=AC，结合等边三角形的判定定理:AC=AB=BC，即△ABC是:△ABC是等边三角形；故答案为：AC=BC（答案不唯一）60度的等腰三角形是等边三角形．根据AB=AC，结合等边三角形的判定定理:AC=AB=BC，即△ABC是:△ABC是等边三角形；故答案为：AC=BC（答案不唯一）【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，则可证明AD=AF，据此可证明结论．:AD=AF．:△ADF是等边三角形．【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定，进而得上CAE=上E=上ACE=60°,据此可得出结论．:上ACB=180°-上ACE=120°,:上CAE=上E=上ACE=60°,:△ACE是等边三角形．:上CAD=上BAE=90°,:△ADE是等边三角形．【分析】本题考查了含45°直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的知识，本题先求得上EAF=60°,然后证得△EAF是等边三角形，然后得到上AFE=60°,然后根据:△EAF是等边三角形，:ÐFED=ÐAFE-ÐD=60°-45°=15°;∵DE∥AB，【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的【详解】解：如图所示，连接OP，∵点P关于OA、OB的对称点是M、N，:OM=ON，作DGⅡBC交AB于点G，可由△ABC是等边三角形，推导出△AGD是等边三角形，设【详解】解：作DGⅡBC交AB于点G，:△AGD是等边三角形，:DF丄AC交CB的延长线于点F，AD=BF，:GH=GD=m，BH=BF:BC=AB=AG+GH+BH=3m，:m=2，:OC=DC，:△AOD是直角三角形．:△OAB是等边三角形:CD=BC，:△BCD是等边三角形，:BD=CD=50cm，:△PQR为等边三角形，【详解】解：连接AC，:△ABC为等边三角形，故答案为：50．261）22）43）见解析（2）由题意可知AC所在直线是BD的对称轴，连接MD交AC于点P，连接PB，此时PM+PB的值最小，PM+PB=MD，由M，O为AB,BD的中点，得到BM=BO，（3）如图所示，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点E，连接BE交AC于点F，连接DE并延长交AC于点P，可证【详解】解1）∵△ABC是等边三角形，AD是高，:作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，BP+PE的最小值为CE的值，（2）由题意可知AC所在直线是BD的对称轴，连接MD交AC于点P，连接PB，:PD=PB，此时PM+PB的值最小，PM+PB=MD，∵M，O为AB,BD的中点，:△BMD≌△BOA(SAS)，:PM+PB的最小值为4；（3）如图所示，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点E，连接BE交AC于点F，连接DE并延长交AC于点P，:BF=EF,PB=PE,PF=PF，:点P即为所求点的位置．个内角的度数为60°,进而可得结论．:AD=CD，:上CAD=30°,:上ADB=60°,:上B=60°,:上DAB=60°,:△ADB是等边三角形．利用同位角相等两条直线平行作上APD=上ABC,则P（2）QAB=BC,:△APD为等边三角形.ÐDAB=60°,即可证明△ABD是等边三角形．:ÐDAB=60°,:△ADB是等边三角形．性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟:△ODF为等边三角形．311）见解析2）见解析【详解】解1）如图，△CDE即为所求作．:△ABC是等边三角形，:∠B=∠ACB=∠ECD＝60°,:△CDE是等边三角形．【点睛】（1）设点M，N运动xs时，M，N两点重合，由点N运动路程=点M运动路程+AB间的路（2）解：由题可知△ABC是等边三角形，由(1)可知当点M在边AC上，点N在边AB上，且AM=AN时，△AMN是等边三角形．设点M，N运动ts时，可得到等边三角形△AMN，则:t=12-2t，:点M，N运动4s时，可得到等边三角形AMN．（2）过点P作BC的平行线交AB于M，证得△PDM≌△QDB(AAS)，得到BD=DM，进而求得DE=DM+ME=AB=3．:AB=BC=AC=8cm， 以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合当点P到达点C时，P，:AP=BQ=2tcm，（2）解：点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE=4cm，理过点P作BC的平行线交AB于M，如图所示：∵PMⅡBC，:△AMP是等边三角形，:MP=AP=AM=2t，:AE=ME，:QB=MP，:BD=DM，:点P，Q在运动过程中，线段ED的长不发生变化，DE=4cm．三角形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等(2)小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A(3)小明和小楠运动的时间是秒．边三角形的性质和判定，最基本的数量关系：（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知当A（2）解：:△ABC是等边三角形，:10-2t=t，答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A的距离相等，即AM=AN，:AM=AN，:上AMN=上ANM，:△ABC是等边三角形，:△AMC≌△ANB(AAS)，:CM=BN，:t-10=30-2t，:t=．:当小明和小楠在边BC上运动时（B、C两点除外能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒．(2)运动8秒时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形(3)当t=或或或9时，△AMN为直角三角形:△ABC为等边三角形，:AM=AN，:上AMN=上ANM，:△ABC为等边三角形，:△AMC≌△ANB(AAS)，:AN=12-4t，若上ANM=90°,如图3则AM=2AN，即2t=2(12-4t)，若N为BC中点，如图4，由△ABC为等边三角形，得AN丄BC，△AMN为直角三角形，若M为BC中点，如图5，由△ABC为等边三角形，得AM丄BC，△AMN为直角三角形，(3)125°三角形的判定来解答．通过已知条件和图形分析，逐步:OC=DC，即360°-110°-60°-a=a-60°,得a=125°,:上DAE-上CAD=上BAC-上CAD，ïìAB=ACï:BD=CE,上ACE=上ABC．:AB=CD+BD=BC．QAB=AC，:AB=AC=BC．:△ABC为等边三角形，:上ACE=上BAC=60°,:CEⅡAB．（2）AD=CE这仍成立，过D作DFⅡBC，交AB于F，证△DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案；（2）证明：如图2，过D作DFⅡBC，交AB于F，:△AFD是等边三角形，∵DFⅡBC，在△BFD和△DCE中:△BFD≌△DCE(AAS)，:△ABC是等边三角形，:△APD也是等边三角形，:DB=DE，:DPⅡBC，:△BPD≌△DCE(AAS)，391）见解析2）BD=CE，BD丄CE，理由见解析3）180°-a（3）延长DC至P，使DP=DB，连接PB，可得△BDP是等边三角形，再证明在△ABD和△ACE中，ïìAB=ACï:△ABD≌△ACE(SAS)；在△ABD和△ACE中，ïìAB=ACï:△ABD≌△ACE(SAS)，:BD丄CE；理由：如图3，延长DC至P，使DP=DB，连接PB，:△BDP是等边三角形，:BD=BP，上DBP=60°,40．(1)①补全图形见解析，AE=BF；②见解析②如图2，在BE上截取BG=BD，连接DG，证明△GBD是等边三角形得到:△ABC是等边三角形，:AE=BF，故答案为：AE=BF；②证明：如图2，在BE上截取BG=BD，连接DG，:△GBD是等边三角形，AG=CD，:△DGE≌△DBF(AAS)，:GE=BF，（2）解：当点A在点E右边时，如图3，在BE上截取BG=BD，连接DG，:AE=BF-CD；:AE=CD-BF．（2）如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，利用全等三角形的性质证明BD=（3）如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．构造全等三角形，证明BT=AD，求出BT的取值范围即可解决问题．:△ABD≌△BCE(SAS)．（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ=CD，:△CDJ是等边三角形，:△BCJ≌△ACD(SAS)，:BJ=AD，:BT=AD:3-2≤BT≤3+2，:1≤BT≤5，:AD的最小值为1，最大值为5．AD最大时上BDC=120°(C在BD上方)，AD最小时上BDC=60°(C在BD下方)．（2）在AC上截取AE=BP，连接BE，QE，证明△EBD≌△CQD，推出ED=CD，即可得边三角形，得到S△MCQ=5S△QCE，即可求出答案．:△ABE≌△BCP(SAS)，:BE=CP；（2）如图2，在AC上截取AE=BP，连接BE，QE，:BE=CQ，:上BFC=上QCP，:BEⅡCQ，:△EBD≌△CQD(ASA):ED=CD:BP+2CD=4；:△ACP≌△MCQ，:△EMQ是等边三角形，QS△APC=5S△QCE，:S△MCQ=5S△QCE，:S△APC=4S△BPC，（3）△ABF和△ACF都是等边三角形，△DBF≌△EAF(SAS)，再证明△DEF为等边三角形，:△ADB≌△CEA(AAS)，ïï:△ADB≌△CEA(AAS)，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，在△DBF和△EAF中，ïï:△DBF≌△EAF(SAS)，:△DEF为等边三角形．(2)AH+AC最小值为6．【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，两点之间线段最三点共线时，AH+HD有最小值，即AH+AC最小值AD=6．:△ABC是等边三角形，:AB=BD，（2）解：如图，连接DH，:△ABC≌△HBD(SAS)，:AC=HD，:当A、H、D三点共线时，:AH+HD有最小值，即AH+AC最小值为6．451）见解析2）AP+EP=BP，见解析（2）在BP上取点G，使PG=PC，连接GC，易证△GPC和△ABC为等边三角形，从而【详解】解1）证明：QAB=AC，AB=AE，:△ACP≌△AEP(SSS)，:上BPC=上BAC；如图，在BP上取点G，使PG=PC，连接GC，QAB=AC，:△ABC为等边三角形，:上ACB=60°,:△BCG≌△ACP(SAS)，:BG=AP，:EP=GP，（2）猜测DE=DC，在射线AB上截取BF=BE，利用等边三角形的性质及AD=BE可知△BEF为等边三角形，再利用边角边即可证质即可证明DE=DC；（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB:AD=DB，:DB=BE，:DE=DC．（2）解：DE=DC，理由如下：在射线AB上截取BF=BE，连接EF，:△BEF为等边三角形，由题意知AD=BE，:AD=BF=EF，:AD+DB=BF+DB．:DF=AC．:DE与DC之间的数量关系是DE=DC．（3）如图，在射线CB上截取BF=BD，连接DF，如图所示，:△ABC为等边三角形，由题意知AD=BE，:BD=BF=DF，:AD-DB=BE-BF，:△DEF≌△DCB(SAS)，:DE=DC．【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，有最小值，最小值为CG的长，证明点C、O、G共线，根据CG=AB即可求解．:AD=CB；又:上COD=180°-上AOC-上DOB=:OE=OF，:△CEF为等腰三角形，（3）解：作点D关于直线l的对称点G，连接OG，CG，直线CG交直线l于点P，:点D与点G关于直线l对称，:点C、O、G共线，:点O与点P重合，交AC于点F；得出△APF是等边三角形，进而证明△PDF≌△QDC(AAS)，得到FD=CD，设AP=x，则有AF=PF=CQ=x，根据BQ=BC+CQ，列式计算即可求解．【详解】解：如图，过点P作PFPBC交AC于点F，:△APF是等边三角形，:△PDF≌△QDC(AAS)，:FD=CD，:DF=3，CF=CD+DF=6，:BC=AC=6+x，:6+2x=10，△PCQ为等边三角形，又由上PQC=上DCE，根据ÐDQE=ÐECQ+ÐCEQ=60°+ÐCEQ,ÐCDE=60°可知ÐDQE≠ÐCDE，可知④错误；【详解】解：Q△ABC和△CDE是等边三角形，:AC=BC,CD=CE,上ACB=上DCE=60°,ïìAC=BCï:△ACD≌△BCE(SAS)，:AD=BE，故①正确；:上CBE=上DAC，:上BCD=60°,即上ACP=上BCQ，:△CQB≌△CPA(ASA)，:CP=CQ，又Q上PCQ=60°,可知△PCQ为等边三角形，:PQⅡAE，故②正确；:AP=BQ，故③正确；QAD-AP=BE-BQ，即DP=QE，:ÐDQE≠ÐCDE，则DE≠DP，故④错误；:上CBE=上BED，:上AOB=60°,故⑤正确；等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②假设AD=DF，根据上DFM=60°得△ADF是等边三角形，则上ïï:△ACE≌△DCE(SAS)，:AE=BD，②:△ACE≌△DCE，ïï:CM=CN，④假设AD=DF，:△ADF是等边三角形，:假设AD=DF是错误的，:AD≠DF，故结论④不正确，等知识．①根据等边三角形三线合一可以判断；②由BF垂直平分AC，得到AD=CD，而AD=DE，得到DC=DE，得到②中结论；③证明△ABD≌△ACE，推出明点E在射线CE上运动，作A点关于直线CE的对称点M，连接FM交直线CE于E¢,连接EM，△AEF的周长最小，即AE+EF最小，而AE=EM，即EF+EM最小，当E和E¢重合时，AE+EF取最小值FM，而此时上AFE=90°,据此可判断．【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：BFTAC，故①正确；②:BF垂直平分AC，而AD=DE=AE，在△ABD和△ACE中，:△ABD≌△ACE，:7ACE的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误；④连接CE并延长，作A点关于直线CE的对称点M，连接FM交直线CE于E¢,连接EM，:点E在射线CE上移动；:A、M关于直线CE对称，:△ACM为等边三角形，又:F为AC中点，:AF丄FM，△AEF周长最小，则AE+EF最小；∵直线CE为AM的垂直平分线，:AE=EM，在△EFM中，EF+EM>FM，所以当E与E¢重合时EF+EM最小，即为FM的长，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全:△ABC和△ADE都是等腰三角形，:AB=AC，AD=AE，上BAC=上DAE，:BD=CE；（2）理由如下：如图2，延长DC至点P，使DP=AD，:△ADP为等边三角形，:上ACB=45°,:△FDC和VADE互为“兄弟三角形”，:上CDF=90°,:上ADE=90°,:CEⅡAB，:S△ACE=S△ECB，:S△AEF=S△BCF=18．（3）设AC与BD交于点O，根据筝形的定义即可求解；（4）分①当AC=DC，AE=DE在Rt△ABC和RtVABD中，:BC=BD，在VABC和△ABD中，:AC=AD，故答案为：①②;（2）证明：连接AC，在VABC和△ADC中，:△ABC≌△ADC(SSS)，:筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等；（3）解：如图，设AC与BD交于点O，:四边形ABCD是筝形，:BD垂直平分AC，综上可知：筝形的性质为①筝形是轴对称图形；②筝形直平分AC（答案不唯一（4）解：①如图，当AC=DC，AE=DE时，:△ACD是等边三角形，同上理得：EC垂直平分AD，:AE=DE，综上可知：上BDE的度数为100°或20°定理，三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，（1）取三边的中点D，E，F，并连接，即可画出一个这个VABC的4等分线的示意图；和CB的中点D，E，连接DF，EF，得△ADF和△BEF是等边三角形，VCDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE=2AE，CF=2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，△AEF是等边三角形，△DAB是等腰三角形，VADE和VBDF是等腰三角形．①如图，取三边的中点D，E，F，得4个等边三角形；是等边三角形，VCDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE=2AE，CF=2BF，再取EF的中点D，连接DA，DB，VADE和VBDF是等腰三角形．（3）分三种情况讨论，一是四边形ABCD“等腰四边形”，且AB=AD，可证明接CF交DE于点G，连接DF，可证明△DCF是等边三角形，得上CDF=60°,则,所以上ADE=上BDE=15°,得7ADC=45°.:AB=AD，CB=CD，当AB=AD时，如图2，则上在△ABD和△CBD中，:△BCD是等边三角形，作DE丄AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，垂直平分CF，:BC∥ED，:FD=CD=CF，:△DCF是等边三角形，【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度（2）解：Q等边△ABD和等边△ACE，:ÐDAB+ÐBAC=ÐCAE+ÐBAC，:△DAC≌△BAE(SAS)，故答案为：60；在△ABD和△ACE中，:BD丄CE．判断出VABC是等边三角形可得结论．:△ABC是等边三角形，:上ACB=60°是等边三角形，得到上ACD=60°,然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可，当VABC钝角三角形时，同理求解即可．:上ADE=上ADC=90°,又:DE=CD，AD=AD:△ADE≌△ADC(SAS):AE=AC:AE=AC=EC:△AEC是等边三角形:上ACD=60°:AB=AC如图②：VABC是等腰三角形，AB=AC，CD丄AB，延长AD使DE=AD，:AB=AC综上所述，这个三角形的底角为15°或75°.【分析】本题考查轴对称求最短距离．作P点关于OA的对称点P¢,作P点关于OB的对称此时!PEF周长最小，件无法证明DN=BN，可判断④.【详解】解：:△DAC和△EBC均是等边三角形，:△ACE≌△DCB(SAS):AE=DB．故①正确，:VACE≌VDCB，:AC=CD，:CM=CN，:△CMN为等边三角形，故③正确．根据现有条件无法证明DN=BN，故④错误:正确的有①②③,称点Q¢,连接PQ¢交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小【详解】解：如图，:VABC是等边三角形，:D为AC中点，:BD丄AC，:PQ¢:PE+QE的最小值为10．【详解】解：连接AC交BD于点O，∵AB=AD=12，BC=DC，上A=60°:DE=EF=AD-AE=3，AE=CE【详解】解：如图，P为AB中垂线上一:AB=4cm，:PA=PB=AB，:△ABP是等边三角形，【分析】根据平行线的性质得出上ACB=60°,进而可得VABC是等边三角形，根据等边三【详解】解：:直尺的两边平行，:VABC是等边三角形，:点B，C表示的刻度分别为1cm,3cm，:BC=2cm，:线段AB的长为2cm,故答案为：2．【分析】连接PM，PN，AM，AP，AN，利用轴对称的性质可推出△AMN是等边三角形，进而得到MN=AP，当AP丄CB时，即可求出MN的最小值．【详解】解：如图，连接PM，PN，AM，AP，AN，:点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，:AB垂直平分PM，AC垂直平分PN，:AM=AP，AN=AP，:△AMN是等边三角形，:MN=AM=AP，当AP丄CB时，AP最小，此时NM:S△ABC=8，